LGS über den komplexen Zahlen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ich soll alle lösungen des linearen gleichungssystems über den komplexen Zahlen bestimmen.
[mm] x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5=i
[/mm]
[mm] x_1+2x_2+3x_3+6x_4+6x_5=3i
[/mm]
[mm] x_1+2x_2+3x_3+6x_4+8x_5=6i
[/mm]
[mm] x_1+2x_2+3x_3+4x_4+8x_5=4i
[/mm]
[mm] (10+2i)x_4+(5+i)x_5=-2+10i [/mm] |
meine Fragen hierzu sind nun:
1. Berechne ich die Lösungen wie bei einem ganz normalen LGS? Zeilenstufenform z.B.??
2. was ist mit den i? soll ich die auch als variable ansehen und nach links bringen oder wie rechne ich mit denen?
3. was heißt "bestimme ALLE Lösungen des LGS? Also [mm] x_1, x_2, x_3, x_4 [/mm] und [mm] x_5 [/mm] und i??
Wenn ihr mir das vielleicht beantwortenkönnt, dann kriege ich das sicher gut hin!
lg
mathegirl
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> Ich soll alle lösungen des linearen gleichungssystems
> über den komplexen Zahlen bestimmen.
>
> [mm]x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5=i[/mm]
> [mm]x_1+2x_2+3x_3+6x_4+6x_5=3i[/mm]
> [mm]x_1+2x_2+3x_3+6x_4+8x_5=6i[/mm]
> [mm]x_1+2x_2+3x_3+4x_4+8x_5=4i[/mm]
> [mm](10+2i)x_4+(5+i)x_5=-2+10i[/mm]
> meine Fragen hierzu sind nun:
>
> 1. Berechne ich die Lösungen wie bei einem ganz normalen
> LGS? Zeilenstufenform z.B.??
Hallo,
ja, das geht haargenauso.
>
> 2. was ist mit den i? soll ich die auch als variable
> ansehen und nach links bringen oder wie rechne ich mit
> denen?
Nein. i ist keine Variable, sondern eine Zahl. Die sind in Deinem GS schon mundgerecht plaziert.
>
> 3. was heißt "bestimme ALLE Lösungen des LGS?
"Alle Lösungen" heißt "alle Lösungen".
Es gibt ja lineare GS, die nicht eindeutig lösbar sind, sondern eine Vielzahl von Lösungen haben.
Du sollst die komplette Lösungsmenge angeben.
> Also [mm]x_1, x_2, x_3, x_4[/mm]
> und [mm]x_5[/mm] und i??
i ist doch keine Variable.
Ein Lösungsraum könnte z.B. so aussehen:
[mm] L=\vektor{1\\2\\3\\4\\5} [/mm] + [mm] <\vektor{1\\2\\3\\4\\5}, \vektor{0\\4\\3\\2\\1}>.
[/mm]
(Die spitzen Klammern stehen für die lineare Hülle/das Erzeugnis.)
Gruß v. Angela
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> Wenn ihr mir das vielleicht beantwortenkönnt, dann kriege
> ich das sicher gut hin!
>
>
> lg
> mathegirl
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Danke angela.
Aber ich denke nicht, das ich den Lösungsraum so angeben soll...ehr [mm] x_1=, x_2= [/mm] usw...das gehtd doch ganz normal als LGS zu lösen??
okay...dann werde ich das auch gleich mal probieren!
lg
Mathegirl
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> Danke angela.
> Aber ich denke nicht, das ich den Lösungsraum so angeben
> soll...ehr [mm]x_1=, x_2=[/mm] usw...das gehtd doch ganz normal als
> LGS zu lösen??
Hallo,
ja, sicher.
Ob Du die Lösungen in einen Vektor stapelst oder als [mm] x_1= [/mm] ... usw. schreibst, ist im Prinzip egal.
Wenn die Lösung nicht eindeutig ist, hast Du halt 'nen Parameter mit drin, den Du natürlich nicht unterschlagen darfst.
Gruß v. Angela
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okay...ich schreibe meinen Lösungsweg mal auf:
[mm] 1x_+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5= [/mm] i
[mm] 1x_+2x_2+3x_3+6x_4+6x_5= [/mm] 3i
[mm] 1x_+2x_2+3x_3+6x_4+8x_5= [/mm] 6i
[mm] 1x_+2x_2+3x_3+4x_4+8x_5= [/mm] 4i
[mm] (10+2i)x_4+(5+i)x_5=-2+10i
[/mm]
I+II*(-1)
[mm] 1x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5=i
[/mm]
[mm] 0x_1+0x_2+0x_3-2x_4-1x_5=-2i
[/mm]
[mm] 1x_1+2x_2+3x_3+6x_4+8x_5=6i
[/mm]
[mm] 1x_1+2x_2+3x_3+4x_4+8x_5=4i
[/mm]
[mm] (10+2i)x_4+(5+i)x_5=-2+10i
[/mm]
I*(-1)*III
[mm] 1x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5= [/mm] i
[mm] 0x_1+0x_2+0x_3-2x_4-1x_5= [/mm] -2i
[mm] 0x_1+0x_2+0x_3+2x_4+3x_5= [/mm] 5i
[mm] 1x_1+2x_2+3x_3+4x_4+8x_5= [/mm] 4i
[mm] (10+2i)x_4+(5+i)x_5=-2+10i
[/mm]
Gleichungen mal etwas sortieren (das geht doch oder?)
[mm] 1x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5= [/mm] i
[mm] 1x_1+2x_2+3x_3+4x_4+8x_5= [/mm] 4i
[mm] 0x_1+0x_2+0x_3 -2x_4-1x_5= [/mm] -2i
[mm] 0x_1+0x_2+0x_3+2x_4+3x_5= [/mm] 5i
[mm] (10+2i)x_4+(5+i)x_5=-2+10i
[/mm]
I*(-1)+II
[mm] 1x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5= [/mm] i
[mm] 0x_1+0x_2+0x_3+0x_4+3x_5= [/mm] -3i
[mm] 0x_1+0x_2+0x_3-2x_4-1x_5= [/mm] 5i
[mm] 0x_1+0x_2+0x_3+2x_4+3x_5= [/mm] 4i
[mm] (10+2i)x_4+(5+i)x_5=-2+10i
[/mm]
Gleichungssystem umformen
[mm] 1x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5= [/mm] i
[mm] 0x_1+0x_2+0x_3-2x_4-1x_5= [/mm] 5i
[mm] 0x_1+0x_2+0x_3+2x_4+3x_5= [/mm] 4i
[mm] (10+2i)x_4+(5+i)x_5=-2+10i
[/mm]
[mm] 0x_1+0x_2+0x_3+0x_4+3x_5= [/mm] -3i
so, damit müsste das ganze soweit schonmal gelöst sein. Ich hoffe nicht das ich mich verrechnet habe??
[mm] x_5= [/mm] -1i
[mm] x_4= \bruch{9i+i^{2}}{10+2i}
[/mm]
und so weiter einsetzen um [mm] x_3, x_2 [/mm] und [mm] x_1 [/mm] zu bestimmen.
Aber ich denke ich habe mich verrechnet. So seltsame Ergebnisse habe ich nicht erwartet...
Grüße
Mathegirl
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> okay...ich schreibe meinen Lösungsweg mal auf:
>
> [mm]1x_+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5=[/mm] i
> [mm]1x_+2x_2+3x_3+6x_4+6x_5=[/mm] 3i
> [mm]1x_+2x_2+3x_3+6x_4+8x_5=[/mm] 6i
> [mm]1x_+2x_2+3x_3+4x_4+8x_5=[/mm] 4i
> [mm](10+2i)x_4+(5+i)x_5=-2+10i[/mm]
>
> I+II*(-1)
> [mm]1x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5=i[/mm]
> [mm]0x_1+0x_2+0x_3-2x_4-1x_5=-2i[/mm]
> [mm]1x_1+2x_2+3x_3+6x_4+8x_5=6i[/mm]
> [mm]1x_1+2x_2+3x_3+4x_4+8x_5=4i[/mm]
> [mm](10+2i)x_4+(5+i)x_5=-2+10i[/mm]
>
> I*(-1)*III
> [mm]1x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5=[/mm] i
> [mm]0x_1+0x_2+0x_3-2x_4-1x_5=[/mm] -2i
> [mm]0x_1+0x_2+0x_3+2x_4+3x_5=[/mm] 5i
> [mm]1x_1+2x_2+3x_3+4x_4+8x_5=[/mm] 4i
> [mm](10+2i)x_4+(5+i)x_5=-2+10i[/mm]
>
> Gleichungen mal etwas sortieren (das geht doch oder?)
> [mm]1x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5=[/mm] i
> [mm]1x_1+2x_2+3x_3+4x_4+8x_5=[/mm] 4i
> [mm]0x_1+0x_2+0x_3 -2x_4-1x_5=[/mm] -2i
> [mm]0x_1+0x_2+0x_3+2x_4+3x_5=[/mm] 5i
> [mm](10+2i)x_4+(5+i)x_5=-2+10i[/mm]
>
> I*(-1)+II
> [mm]1x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5=[/mm] i
> [mm]0x_1+0x_2+0x_3+0x_4+3x_5=[/mm] [mm] \red{-}3i
[/mm]
> [mm]0x_1+0x_2+0x_3-2x_4-1x_5=[/mm] 5i
> [mm]0x_1+0x_2+0x_3+2x_4+3x_5=[/mm] 4i
> [mm](10+2i)x_4+(5+i)x_5=-2+10i[/mm]
Hallo,
das markierte Minuszeichen ist falsch.
> Gleichungssystem umformen
> [mm]1x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5=[/mm] i
> [mm]0x_1+0x_2+0x_3-2x_4-1x_5=[/mm] 5i
> [mm]0x_1+0x_2+0x_3+2x_4+3x_5=[/mm] 4i
> [mm](10+2i)x_4+(5+i)x_5=-2+10i[/mm]
> [mm]0x_1+0x_2+0x_3+0x_4+3x_5=[/mm] -3i
Mal abgesehen von dem angemerkten Fehler:
Du hast den Gaußalgorithmus nicht ganz bis zum Ende durchgeführt. Normalerweise tut man das. Du kommst zwar auch so aufs Ergebnis, aber an einer richtigen Zeilenstufenform kann man die Ergebnisse besser ablesen - erst recht an der reduzierten ZSF, aber vielleicht war die ja noch nicht dran.
Richtige Rechnung vorausgesetzt, kommst Du natürlich auch so zum Ergebnis, es besteht ja nicht die Pflicht, den bequemen Weg einzuschlagen.
Eine gute Idee wäre es, würdest Du die "komplexe" Zeile mal duch 10+2i dividieren. das macht manches übersichtlicher.
Übersichtlicher und mit weniger Schreibarbeit verbunden es ist auch, wenn man das Gleichungssystem im Matrixform aufschreibt und umformt. das habt Ihr bestimmt auch so gemacht.
Auf die Richtigkeit der rechnung hat dies aber auch keinen Einfluß.
Gruß v. Angela
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okay...in matrixform habe ich das ja auch grechnet, war für mich hier nur einfacher so zu schreiben.
also wenn ich das minuszeichen weglasse stimmt das so?
und was ist mit dem i?? was muss ich da jetzt zeigen?
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> okay...in matrixform habe ich das ja auch grechnet, war
> für mich hier nur einfacher so zu schreiben.
> also wenn ich das minuszeichen weglasse stimmt das so?
Hallo,
wenn Du richtig weiterrechnest, dann ja.
Wie gesagt: ich empfehle, bis zur ZSF weiterzurechnen, das ist ja auch Standard.
>
> und was ist mit dem i?? was muss ich da jetzt zeigen?
Ich weiß nicht, was Du mit dem i hast : das i ist doch eine ganz normale komplexe Zahl, an welcher ebensoweinig zu drehen ist wie an einer 7. 7 ist 7 und i ist i.
Gruß v. Angela
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Das LGS ist doch auf Zeilenstufenform gebracht! oder verstehe ich da was falsch? Es ist nicht möglich, dass nur vor der Stufe eine 0 steht, denn die ersten zeilen sind ja annährend gleich!
danke für die Hinweise und die korrektur!
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> Das LGS ist doch auf Zeilenstufenform gebracht! oder
> verstehe ich da was falsch? Es ist nicht möglich, dass nur
> vor der Stufe eine 0 steht, denn die ersten zeilen sind ja
> annährend gleich!
>
> danke für die Hinweise und die korrektur!
Hallo,
ich weiß ja nicht, wie Dein System jetzt aussiht.
Das, was Du zuletzt gepostet hattest, war keine ZSF. Guck Dir doch mal die 4.Spalte an!
Wenn Du Dir die richtige ZSF erobert hast, siehst Du übrigens, daß das System nicht lösbar ist.
Gruß v. Angela
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Kann sein, dass ich gerade auf dem schlauch stehe aber in der vorletzten Zeile sind doch immer [mm] x_4 [/mm] und [mm] x_5 [/mm] mit zahlen versehen... oder meinst du den Ausdruck umzuformen? denn das habe ich bereits gemacht und auch herausbekommen, dass das LGS nicht lösbar ist :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 Sa 31.10.2009 | | Autor: | abakus |
> Kann sein, dass ich gerade auf dem schlauch stehe aber in
> der vorletzten Zeile sind doch immer [mm]x_4[/mm] und [mm]x_5[/mm] mit zahlen
> versehen
Du hast Recht. Außer diesen beiden Zahlen (die da stehen dürfen) hat man vorher die drei für diese Zeile in der Stufenform erforderlichen Nullen stehen.
Gruß Abakus
>... oder meinst du den Ausdruck umzuformen? denn
> das habe ich bereits gemacht und auch herausbekommen, dass
> das LGS nicht lösbar ist :)
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wie komme ich bei [mm] x_5 [/mm] denn auf 1,5i?
Schau dir mein bei dem Beitag (wo ich mit angela geschrieben habe) an, das ich als [mm] x_5= [/mm] 1i herausbekommen habe. setze ich aber in die 3. Gleichung mein [mm] x_5=1i [/mm] ein so bekomme ich für [mm] x_4 [/mm] auch wieder 1i raus...
komisch.. jedenfalls komme ich auch darauf, dass das LGS nicht lösbar ist.
Grüße
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Sa 31.10.2009 | | Autor: | abakus |
> wie komme ich bei [mm]x_5[/mm] denn auf 1,5i?
Hallo,
Wenn du die Differenz zwishen der zweiten und dritten Gleichung bildest, erhältst du [mm] 2x_5=3i.
[/mm]
Gruß Abakus
> Schau dir mein bei dem Beitag (wo ich mit angela
> geschrieben habe) an, das ich als [mm]x_5=[/mm] 1i herausbekommen
> habe. setze ich aber in die 3. Gleichung mein [mm]x_5=1i[/mm] ein so
> bekomme ich für [mm]x_4[/mm] auch wieder 1i raus...
Da das Gleichungssystem widersprüchlich ist, ist es nicht verwunderlich, dass man bei verschiedenen Wegen für die gleiche Variable unterschiedliche Zwischenergebnisse hat.
Gruß Abakus
>
> komisch.. jedenfalls komme ich auch darauf, dass das LGS
> nicht lösbar ist.
>
> Grüße
> Mathegirl
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> Kann sein, dass ich gerade auf dem schlauch stehe aber in
> der vorletzten Zeile sind doch immer [mm]x_4[/mm] und [mm]x_5[/mm] mit zahlen
> versehen... oder meinst du den Ausdruck umzuformen? denn
> das habe ich bereits gemacht und auch herausbekommen, dass
> das LGS nicht lösbar ist :)
Hallo,
das von Dir gepostete Endsystem lautete
$ [mm] 1x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5= [/mm] $ i
$ [mm] 0x_1+0x_2+0x_3\green{-2x_4-1x_5}= [/mm] $ 5i
$ [mm] 0x_1+0x_2+0x_3\green{+2x_4+3x_5}= [/mm] $ 4i
$ [mm] \green{(10+2i)x_4+(5+i)x_5}=-2+10i [/mm] $
$ [mm] 0x_1+0x_2+0x_3+0x_4+3x_5= [/mm] $ -3i,
und das ist keine Zeilenstufenform.
Klar kann man das Ergebnis auch ohne finden - aber es ist generell schon wichtig, daß man erkennt, wann man eine ZSF hat und wann nicht. Man brauch die ja für allerlei.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 Sa 31.10.2009 | | Autor: | abakus |
> Ich soll alle lösungen des linearen gleichungssystems
> über den komplexen Zahlen bestimmen.
>
> [mm]x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5=i[/mm]
> [mm]x_1+2x_2+3x_3+6x_4+6x_5=3i[/mm]
> [mm]x_1+2x_2+3x_3+6x_4+8x_5=6i[/mm]
> [mm]x_1+2x_2+3x_3+4x_4+8x_5=4i[/mm]
> [mm](10+2i)x_4+(5+i)x_5=-2+10i[/mm]
> meine Fragen hierzu sind nun:
>
> 1. Berechne ich die Lösungen wie bei einem ganz normalen
> LGS? Zeilenstufenform z.B.??
Kann man.
Aber:
Bei genauem Hinsehen (Vergleich von 2. und 3. Gleichung) erhält man sofort [mm] 2x_5=3i [/mm] , also [mm] x_5=1,5i.
[/mm]
Der Vergleich von 3. und 4. Gleichung führt auf [mm] x_4=i. [/mm]
Einsetzen dieser beiden Werte in die 5. Gleichung liefert eine Widerspruch. Das Gleichungssystem ist also nicht lösbar.
Gruß Abakus
>
> 2. was ist mit den i? soll ich die auch als variable
> ansehen und nach links bringen oder wie rechne ich mit
> denen?
>
> 3. was heißt "bestimme ALLE Lösungen des LGS? Also [mm]x_1, x_2, x_3, x_4[/mm]
> und [mm]x_5[/mm] und i??
>
>
> Wenn ihr mir das vielleicht beantwortenkönnt, dann kriege
> ich das sicher gut hin!
>
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> lg
> mathegirl
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