LIPSCHITZ-Bedingung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | LIPSCHITZ-Bedingung |
Hallo,
ich hätte folgende Fragen:
1) Was ist die Lipschitz-Bedingung?
2) Wofür braucht man sie?
Ich habe mich schon eingelesen, aber ich verstehe das nicht?
Bitte nicht auf den Wiki-Link verweisen.
Danke vielmals.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:40 Sa 09.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo monstre
Die Lipschitzbedingung für eine fkt f(x) in einem Intervall I=[a,b] heisst daß die funktion dort Lipschitz stetig ist mit der sog. lipschitzkonstanten L.
also dass für [mm] x,x_=\in [/mm] I gilt [mm] |f(x)-f(x_0|\le L*|x-x_0| [/mm] das ist etwas stärker als nur stetig. die meisten stetigen fkt. die du kennst sind auch Lipschitzstetig.
für f(x)=a*x ist für [mm] x\in \IR [/mm] L=a
für [mm] f(x)=x^2 [/mm] ist etwa in [0,1] L=2 in [2,4] L=8 usw.
wenn f differenzierbar ist kannst du L durch max(f'(x)) in dem Intervall abschätzen. überleg dir warum!
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:00 Sa 09.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo monstre
> Die Lipschitzbedingung für eine fkt f(x) in einem
> Intervall I=[a,b] heisst daß die funktion dort Lipschitz
> stetig ist mit der sog. lipschitzkonstanten L.
> also dass für [mm]x,x_=\in[/mm] I gilt [mm]|f(x)-f(x_0|\le L*|x-x_0|[/mm]
Hier möchte ich einhaken.
Das kann man schreiben als
[mm] |\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}|\le [/mm] L.
[mm] |\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}| [/mm] beschreibt bekanntlich den Betrag des Sekantenanstiegs zwischen zwei Punkten des Graphen, und dieser Anstieg ist (bei beliebiger Wahl der Punkte im Intervall) stets durch den Wert L beschränkt.
Die Funktion [mm] f(x)=\wurzel{x} [/mm] ist z.B. in [mm] \IR [/mm] nicht lipschitzstetig, weil der Anstieg in der Nähe von x=0 undendlich groß werden kann und somit jedes vorgegebene L übersteigt.
Gruß Abakus
> das ist etwas stärker als nur stetig. die meisten stetigen
> fkt. die du kennst sind auch Lipschitzstetig.
> für f(x)=a*x ist für [mm]x\in \IR[/mm] L=a
> für [mm]f(x)=x^2[/mm] ist etwa in [0,1] L=2 in [2,4] L=8 usw.
> wenn f differenzierbar ist kannst du L durch max(f'(x)) in
> dem Intervall abschätzen. überleg dir warum!
> Gruss leduart
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