LIneare Unabhängigkeit R^4 < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:33 So 22.04.2012 | | Autor: | doom0852 |
| Aufgabe | | Überprüfen Sie, ob die folgenden Vektoren linear unabhängig sind: [mm] x_1=(1,2,3,0)^t x_2=(2,2,1,3)^t x_3=(0,3,0,1)^t x_4=(3,0,2,6)^t [/mm] |
Mein Vorschlag wäre, das homogene Gleichungssystem zu lösen nachdem man die Vektoren Zeilenweiße in eine MAtrix umgeschrieben hat.
Mir ist dann aufgefallen dass 3 der 4 Vektoren jeweils 0 Einträge an unteschiedlichen x-stellen hat, somit kann man doch darauslesen dass die 4 insgesamt lin unabhängig sein müssten, da sie ja nichttriviale als lin.Kombination der anderen nicht dargestellt werden können.
Wenn das nicht ausreicht um die Aufgabe zu "überprüfen", muss man doch so lange mit Gauß umformen, bis man feststellt dass die MAtrix vollen Rang hat, oder?
|
|
| |
|
> Überprüfen Sie, ob die folgenden Vektoren linear
> unabhängig sind: [mm]x_1=(1,2,3,0)^t x_2=(2,2,1,3)^t x_3=(0,3,0,1)^t x_4=(3,0,2,6)^t[/mm]
>
> Mein Vorschlag wäre, das homogene Gleichungssystem zu
> lösen nachdem man die Vektoren Zeilenweiße in eine MAtrix
> umgeschrieben hat.
Hallo,
zeilenweisse..
Genau, so kann man das machen und dann den Rang betrachten.
Wenn Dein Ansinnen wirklich ist, das homogene LGS zu lösen, dann mußt Du sie spaltenweise in die Matrix stellen.
> Mir ist dann aufgefallen dass 3 der 4 Vektoren jeweils 0
> Einträge an unteschiedlichen x-stellen hat, somit kann man
> doch darauslesen dass die 4 insgesamt lin unabhängig sein
> müssten, da sie ja nichttriviale als lin.Kombination der
> anderen nicht dargestellt werden können.
> Wenn das nicht ausreicht um die Aufgabe zu "überprüfen",
Mich würde dies ohne Rechnung nicht überzeugen.
> muss man doch so lange mit Gauß umformen, bis man
> feststellt dass die MAtrix vollen Rang hat, oder?
Ja, so kann man es machen.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 So 22.04.2012 | | Autor: | doom0852 |
Danke!
Das klang jetzt so als pob es garnicht nötig wäre das LGS zu lösen? Wie sonst komme ich auf den Rang wenn ich die Vektoren zeilenweise reinschreib.
Ok, also wenn ich das LGs lösen will muss ich sie spaltenweise eintragen, aber warum?
|
|
|
| |
|
> Danke!
> Das klang jetzt so als pob es garnicht nötig wäre das
> LGS zu lösen?
Hallo,
so ist es.
Es reicht für die Frage nach der linearen unabhängigkeit, wenn Du den Rang der Matrix bestimmst.
Rang= Anzahl der Vektoren: die Vektoren sind linear unabhängig
Rang< Anzahl der Vektoren: die vektoren sind linear abhängig.
> Wie sonst komme ich auf den Rang wenn ich
> die Vektoren zeilenweise reinschreib.
Durch Zeilenumformungen.
Gauß.
> Ok, also wenn ich das LGs lösen will muss ich sie
> spaltenweise eintragen, aber warum?
Machen wir ein kleines Beispiel:
Du willst lösen [mm] a*\vektor{1\\0}+ b*\vektor{2\\0}=\vektor{0\\0},
[/mm]
also das LGS
1*a+2*b=0
0*0+0*0=0.
Als Matrixprodukt sieht das so aus [mm] \pmat{1&2\\0&0}*\vektor{a\\b}=0.
[/mm]
Das LGS [mm] \pmat{1&0\\2&0}*\vektor{a\\b}=0 [/mm] ist ein völlig anderes mit anderen Lösungen.
Aber wie gesagt: geht es nur um abhängig oder unabhängig, es schnuppe, ob Du die Vektoren in Zeilen oder Spalten packst.
LG Angela
|
|
|
|
