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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Do 12.01.2006 | | Autor: | Lavanya |
Hallo ihr lieben....
Ich habe hier eine Frage... Eine Matrix in LR zu erlegen ist ist niht so schwer... das habe ich gemacht...
das sieht folgerndermaßen aus...
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 5 & 8 & 11 \\ 3 & 8 & 14 & 20 \\4 &11 & 20 & 30 }
[/mm]
so und die Zerlegung ist :
L = [mm] \pmat{ 4 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 0 \\2 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1}
[/mm]
und für
R = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
so jetzt soll ich mit der Hilfe von L und R das Inverse finden... Wie mach ich das ?
Danke
ciao
Lavanya
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Hallo!
Da ja $A=LR$, ist [mm] $A^{-1}=R^{-1}L^{-1}$...
[/mm]
Kommst du damit weiter?
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Do 12.01.2006 | | Autor: | Lavanya |
Danke im vorraus...
also muss zunächst die Inversen von R und L bilden und die dann Mulitpilizieren ?
Das was da ruaskommt ist dann das Inverse ?
Ciao Lavanya
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Hallo Lavanya,
Ich habe deine Zerlegung jetzt mal überprüft. Wenn ich das Produkt [mm]LR[/mm] ausrechne, müßte doch [mm]A[/mm] rauskommen? Aber das tut es nicht. Hast Du denn auch die Probe gemacht? Eine andere Sache ist, daß doch normalerweise bei [mm]L[/mm] alle Diagonaleinträge zwingend 1 sind, und nicht bei [mm]R[/mm]. Aber das ist vermutlich nur Konvention... .
> also muss zunächst die Inversen von R und L bilden und die
> dann Mulitpilizieren ?
>
> Das was da ruaskommt ist dann das Inverse ?
Ich denke Du machst dir hier Arbeit, die du schon verrichtet hast.
Die [mm]LR\texttt{--Zerlegung}[/mm] ist das "Nebenprodukt" des Gauss-Algorithmus. Es gilt ja:
[mm]A = LR \gdw L^{-1}A = R[/mm]
Und was ist das Endresultat bei der Gauss-Elimination, die Du an [mm]A[/mm] durchführst? Das ist [mm]R[/mm]! Die Gauss-Elimination funktioniert nun so, daß Du eigentlich [mm]A[/mm] durch schrittweise Multiplikation mit speziellen Matrizen [mm]F_i[/mm] in [mm]R[/mm] überführst. Die Eliminationsschritte, die Du machst, sehen dann so aus:
Start:[mm]A[/mm]
1ter Schritt: [mm]F_1A[/mm] (setzt [mm]a_{2,1}[/mm] auf 0)
2ter Schritt: [mm]F_2F_1A[/mm] (setzt [mm]a_{3,1}[/mm] auf 0)
u.s.w.
am Ende hast Du dann ein Produkt:
[mm]F_n\cdot{}\ldots\cdot{}F_1A = R[/mm]
Dann ist aber [mm]F_n\cdot{}\ldots\cdot{}F_1 = L^{-1}[/mm], so daß Du das nicht mehr zu berechnen brauchst. Diese speziellen Matrizen nennt man übrigens Frobenius-Matrizen.
Viele Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Do 12.01.2006 | | Autor: | Lavanya |
Stimmt
da hast du recht... A müsste raus kommen, aber es kommt nicht raus....
Was habe ich denn bei der Zerlegung falsch gemacht ?
Ich muss doch nur unter der Diagonale von A alles Nullen stehen haben oder ?Das ist doch dann mein R oder '? Wie bekomme ich denn Mein L ? Was muss ich da machen ? ....
Wäre super wenn mir das jemand sagen kann..
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Hallo!
> Stimmt
>
> da hast du recht... A müsste raus kommen, aber es kommt
> nicht raus....
>
> Was habe ich denn bei der Zerlegung falsch gemacht ?
Wie hast du diese Zerlegung denn gemacht? Du machst doch quasi den Gaußalgorithmus und speicherst in der L Matrix immer in der ersten Spalte, die du quasi gerade zu Null machst, die Zahl, mit der du die "erste" Zeile multiplizierst um auf die Null zu kommen, falls du verstehst, was ich meine. Falls nicht, frag nochmal nach.
> Ich muss doch nur unter der Diagonale von A alles Nullen
> stehen haben oder ?Das ist doch dann mein R oder '? Wie
> bekomme ich denn Mein L ? Was muss ich da machen ? ....
Ich habe die LR-Zerlegung gerade mal gemacht - deine R-Matrix scheint wohl zu stimmen. Dass da zufällig auch überall Einsen auf der Diagonalen stehen, ist wohl Zufall bzw. liegt an dieser sehr schönen Matrix.
Wie du L berechnest, habe ich ja gerade schon kurz angedeutet, vielleicht sagst du aber dochmal, was du dafür gemacht hast, oder hast du dir gar nichts dabei gedacht? 
Mist, ich bin mir ziemlich sicher, dass ich vor einiger Zeit mal einen ausführlichen Artikel zur LR-Zerlegung geschrieben habe, bzw. eine Aufgabe vorgerechnet habe. Aber ich finde ihn leider nicht. :-( Also, entweder schreibst du es so auf, wie ich es oben erklärt habe (wie gesagt, ggf. nachfragen), oder du schreibst und rechnest es mit ![[]](/images/popup.gif) Elementarmatrizen. Das finde ich allerdings etwas komplizierter, jedenfalls muss man sich da immer merken, welche Matrix was macht, ist aber sicher nicht verkehrt, das auch mal zu lernen und sich zu merken. 
Ich hab übrigens als L-Matrix raus: [mm] \pmat{1&0&0&0\\2&1&0&0\\3&2&1&0\\4&3&2&1}
[/mm]
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:09 Do 12.01.2006 | | Autor: | Lavanya |
Hallo Bastiane,...
Danke,... aber diesmal nicht im vorraus....sondern für deinen Beitrag ....
also ich habe jetzt die Lösung :
hab es auch überprüft mit der Einheitsmatrix...
R war ja richtig...
Für L kommt raus...
L := [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \\4 & 3 & 2 & 1 }
[/mm]
und für das Inverse von habe ich raus...
[mm] A^{-1} [/mm] := [mm] \pmat{ 6 & -4 & 1 & 0\\ -4 & 6 & -4 & 1\\1& -2&1&0\\0&1&-2&1}
[/mm]
Das müsste richtig sein....
LG
Lavanya
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