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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:29 Do 25.11.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo zusammen!
Ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe.
Gegeben sei eine reelle nxn-Matrix.
Ihre Transponierte sei streng diagonaldominant.
Ich soll nun zeigen:
Maximumsnorm(R) < [mm] 2^{n-1} [/mm] * Maximumsnorm (A),
wobei die Maximumsnorm die grösste Zeilensumme einer Matrix ist.
Als Tipp soll man versuchen, eine beliebige Zeile Von R durch über ihr liegende Zeilen auszudrücken.
Da habe ich mal ein wenig getüftelt, aber leider finde ich keinen Weg, wie ich eine Zeile von R durch darüberliegende auszudrücken.
Spilet man da auf die Zeilensumme oder ähnliches an?
Anders kann ich mir das nicht vorstellen.
Vielleicht kann man mir jemand einen Tip geben, wie ich da starten kann.
Ansonsten komme ich leider bei dieser Aufabe nicht weiter.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:22 So 28.11.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo zusammen!
Da mich die Aufgabe nicht losgelassen hat, habe ich weitergetüftelt.
Also:
Da die transponierte Matrix streng diagonaldominant ist, ex. eine LR-Zerlegung von A.
Dann kann man [mm] r_{i,j} [/mm] wie folgt darstellen:
[mm]r_{i,j} = a_{i,j} - \Summe_{k=1}^{i-1} l_{i,k}*a_{k,j} [/mm],
wobei [mm] l_{i,j} [/mm] die Einträge der Matrix L und [mm] a_{i,j} [/mm] die Einträge der Matrix A sind.
Jetzt ist noch zu zeigen, dass
Maximimsnorm(R) <= [mm] 2^{n-1} [/mm] * Maximimsnorm(A).
Dazu kann man zeigen (mit Induktion), dass
[mm] |r_{n,n}| <= |a_{n,n}| + 2^{n-2}*|a_{1,n}| + 2^{n-3}*|a_{2,n}+....+2^0|a_{n-1,n}|[/mm].
Darauf bin ich gestossen, als ich den Induktionanfang für n=1, n=2 und n=3 mal durchgerechnet habe und die obere Darstellung der r genutzt habe, wobei die [mm] l_{i,j} [/mm] <= 1 (ging aus einem anderen Aufgabeteil hervor) sind.
Leider hapert es noch ein wenig beim Induktionsschritt.
Der ist noch nicht ganz sauber.
Mein Ansatz:
[mm] r_{n+1,n+1} [/mm] = ...
Dann müsste ich doch eigentlich mal auf [mm] r_{n,n}stossen, [/mm] um die Ind.voraussetzung anwenden zu können. Dazu kommt es aber nicht.
Vieleicht hat da noch jemand eine Idee!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:32 Di 30.11.2004 | | Autor: | Joergi |
In Bezugnahme auf den Artikel LR Zerlegung: Weg gefunden von Wurzelpi im Forum Uni-Numerik)
Hy Wurzelpi!
Wir haben uns mal auf Deine Aufgabe gestürzt und denken, dass Du in der obigen Formel einen Fehler hast, wie wäre es denn mit der folgenden Version?
[mm]r_{i,j} = a_{i,j} - \summe_{k=1}^{i-1}l_{i,k}*r_{k,j}[/mm]
Könntest Du uns Deine Formel für die Induktion mal erklären??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 Di 30.11.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Jörg!
Also zunächst mal der Darstellung der r:
Wendet man den GA auf A an, so erhält man n-1 Schritten die gewünschte LR-Zerlegung.
Unsere Formel unterscheidet sich lediglich nur durch das a bzw. r.
Wer hat Recht?
Ich finde zur Zeit meinen Fehler noch nicht, melde mich sobald ich was entdecke.
Falls ich den Fehler gemacht habe, ist die aufgestellte Formel natürlich auch zu überdenken.
Falls ich Recht habe führt einfach mal den Induktionsschritt für n=1, n=2 und n=3 durch.
Dabei setzt man wie folgt an:
Die maximale Zeilensumme von R ist die erste Zeile: ....
Die maximale Zeilensumme von R ist die zweite Zeile: ....
etc.
Also Fallunterscheiduung.
ABer bei n=2 merkt ihr schnell, dass nur der Fall für [mm] r_{n,n} [/mm] als maxiale Zeilensumme interessant ist,dieser impleziert die anderen.
Daduch bin ich auf die Formel gestossen.
Ich kann es ja für n=2 vormachen:
|r22|=...=(meine Formel einsetzen)
= |a22-summe...|
<|a22|+|Summe..| (2.Dreiecksungleichung)
<|a22|+ |r12| (Betrag in Summe ziehen, l<1)
=|a22|+|a12|
<|a11|+|a12| + |a21|+|a22|
<2*Maxnorm(A)
Entsprechend für n=3 sieht man denn, dass mehrere Einträge mehrfach addiert werden.
So erhalte ich diese Beh.
Wenn ihr einen anderen Weg habt, sagt Bescheid.
PS:Habt ihr in ANA schon A.1?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:13 Di 30.11.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo nochmal!
So,
es hat sich in meinen Aufzeichnungen ein Fehler eingeschlichen!
Eure Formel ist richtig.
Mit dieser habe ich aber auch meine Induktion geführt.
D.h. ich hbae hier im Forum aus dem r irrtümlicherweise ein a gemacht.
Folglich war mein Induktionsanfang richtig.
Dennoch hapert es noch im Induktionsschritt!
Vielleicht fällt Euch noch was ein!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:52 Di 30.11.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Jörg,
ihr hattet Recht.
Meine Formel ist falsch.
Dann habe ich immer so gute Beispiele gewählt, bei denen es passte.
Danke.
Dann müssen wir noch mal ernaut überlegen.
Aber der Weg könnte klappen!
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Hallo Wurzelpi,
Wie man das beweist weiß ich auch nicht aber auf jeden Fall mußt Du im Beweis noch mehr die Diagonaldominanz ausnutzen weil die bloße Existenz einer LR Zerlegung keine solche Ungleichung rechtfertigt.
gruß
mathemaduenn
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