L'Hopital Regel < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:05 So 11.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
| Aufgabe | Überprüfe die Anwendbarkeit der Regel von L'Hopital und berechne den Grenzwert:
[mm] f(x)=\limes_{x\rightarrow 0}\frac{x^2 \cdot cos(\frac{1}{x})}{sin(x)} [/mm] |
Hallo!
Die Regel von L'Hopital ist doch nur anwendbar, wenn ich einen Term der Form [mm] \bruch{0}{0};\bruch{\infty}{\infty};0 \cdot \infty [/mm] oder [mm] \infty-\infty [/mm] habe, oder?
Bei dieser Aufgabe könnte ich also zunächst L'Hopital anwenden.
[mm] f(x)=\limes_{x\rightarrow0}\frac{x^2 \cdot cos(\frac{1}{x})}{sin(x)}=\limes_{x\rightarrow 0}\frac{2x \cdot cos(\frac{1}{x})+sin(\frac{1}{x})}{cos(x)}
[/mm]
Nun erhalte ich aber für den [mm] f(x)=\limes_{x\rightarrow0} [/mm] keinen Ausdruck der obigen Form.
Heißt das nun dass ich hier nicht weiter machen kann?
Die Frage ist also, ob man bei jedem weiteren L'Hopital Schritt wieder auf eine der obigen Ausdrücke [mm] \bruch{0}{0};\bruch{\infty}{\infty};0 \cdot \infty [/mm] oder [mm] \infty-\infty [/mm] kommen muss um weiter L'Hopital anwenden zu können?
Hier wäre das ja nicht der Fall. Deshalb würde ich behaupten, dass ich hier mit L'Hopital nicht zum Ergebnis komme.
Gruß Hans
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:19 So 11.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Überprüfe die Anwendbarkeit der Regel von L'Hopital und
> berechne den Grenzwert:
>
> [mm]f(x)=\limes_{x\rightarrow 0}\frac{x^2 \cdot cos(\frac{1}{x})}{sin(x)}[/mm]
>
> Hallo!
>
> Die Regel von L'Hopital ist doch nur anwendbar, wenn ich
> einen Term der Form [mm]\bruch{0}{0};\bruch{\infty}{\infty};0 \cdot \infty[/mm]
> oder [mm]\infty-\infty[/mm] habe, oder?
>
> Bei dieser Aufgabe könnte ich also zunächst L'Hopital
> anwenden.
>
> [mm]f(x)=\limes_{x\rightarrow0}\frac{x^2 \cdot cos(\frac{1}{x})}{sin(x)}=\limes_{x\rightarrow 0}\frac{2x \cdot cos(\frac{1}{x})-sin(\frac{1}{x})}{cos(x)}[/mm]
>
> Nun erhalte ich aber für den [mm]f(x)=\limes_{x\rightarrow0}[/mm]
> keinen Ausdruck der obigen Form.
> Heißt das nun dass ich hier nicht weiter machen kann?
>
> Die Frage ist also, ob man bei jedem weiteren L'Hopital
> Schritt wieder auf eine der obigen Ausdrücke
> [mm]\bruch{0}{0};\bruch{\infty}{\infty};0 \cdot \infty[/mm] oder
> [mm]\infty-\infty[/mm] kommen muss um weiter L'Hopital anwenden zu
> können?
>
> Hier wäre das ja nicht der Fall. Deshalb würde ich
> behaupten, dass ich hier mit L'Hopital nicht zum Ergebnis
> komme.
Ja
[mm] \bruch{x^2cos(1/x)}{sin(x)}=(\bruch{x}{sin(x)})*(x*cos(1/x))
[/mm]
Hilft das ?
FRED
>
>
> Gruß Hans
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:28 So 11.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
Hallo Fred!
Danke erstmal für deine Hilfe.
> [mm]\bruch{x^2cos(1/x)}{sin(x)}=(\bruch{x}{sin(x)})*(x*cos(1/x))[/mm]
>
> Hilft das ?
Ja, zum Teil. Man kann hier also durch eine einfache Umformung zum Ziel kommen?
Mal meine Gedanken dazu.
Ein Produkt ist in der Regel Null, wenn einer der beiden Faktoren Null ist. Dies wäre hier (x*cos(1/x)) da der cos(1/x) für x gegen Null ständig Werte zwischen Null und eins annimmt.
Der erste Faktor hat allerdings die Form [mm] \frac{0}{0} [/mm] für x gegen Null. Dies wäre dann wieder unbestimmt.
Wie ist also mit dem ersten Faktor zu verfahren?
Kann hier einfach der Satz vom Nullprodukt angewendet werden?
[mm] \red{EDIT}
[/mm]
Mir ist gerade eingefallen, dass der [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \frac{sin(x)}{x}=1 [/mm] daraus müsste ja dann folgen, dass der [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \frac{x}{sin(x)}=1 [/mm] ist.
Dann hätte sich die Aufgabe erledigt wenn der Gedanke richtig ist.
Gruß Hans
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 So 11.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred!
>
> Danke erstmal für deine Hilfe.
>
> >
> [mm]\bruch{x^2cos(1/x)}{sin(x)}=(\bruch{x}{sin(x)})*(x*cos(1/x))[/mm]
> >
> > Hilft das ?
>
> Ja, zum Teil. Man kann hier also durch eine einfache
> Umformung zum Ziel kommen?
Ja
>
> Mal meine Gedanken dazu.
> Ein Produkt ist in der Regel Null, wenn einer der beiden
> Faktoren Null ist. Dies wäre hier (x*cos(1/x)) da der
> cos(1/x) für x gegen Null ständig Werte zwischen Null und
> eins annimmt.
Nein. Zwischen -1 und +1
Es ist $|x [mm] \cos(1/x)| \le [/mm] |x|$
Also: x [mm] \cos(1/x) \to [/mm] 0 für x [mm] \to [/mm] 0.
>
> Der erste Faktor hat allerdings die Form [mm]\frac{0}{0}[/mm] für x
> gegen Null. Dies wäre dann wieder unbestimmt.
>
> Wie ist also mit dem ersten Faktor zu verfahren?
> Kann hier einfach der Satz vom Nullprodukt angewendet
> werden?
>
> [mm]\red{EDIT}[/mm]
> Mir ist gerade eingefallen, dass der [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \frac{sin(x)}{x}=1[/mm]
> daraus müsste ja dann folgen, dass der
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \frac{x}{sin(x)}=1[/mm] ist.
Ja
FRED
> Dann hätte sich die Aufgabe erledigt wenn der Gedanke
> richtig ist.
>
> Gruß Hans
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:16 So 11.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
Alles klar, danke für die Hilfe
Gruß Hans
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Hiho,
eine kleine Anmerkung noch.
Deine Ableitung des Zählers enthält einen Vorzeichenfehler, das macht aber für die Aufgabe nix aus.
Aber schau nochmal drüber 
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:31 So 11.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
Hallo!
Danke für den Hinweis. Im Zähler sollte ein "+" stehen.
Habe es in der Frage ausgebessert.
Gruß Hans
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