LHospitalsche Regel? < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie: Für alle z [mm] \in \IC [/mm] gilt:
(a) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} x^{z} e^{-x} [/mm] = 0
(b) [mm] \limes_{x\rightarrow0} x^{z} e^{-\bruch{1}{x}} [/mm] = 0 |
Also beim zweiten Limes soll es "x von oben gegen 0" heißen...
Kann mir da jemand helfen? Ich hab zuerst an die LHospitalsche Regel gedacht, aber die gilt ja nur für reelle zahlen, oder? aber wie zeigs dann?
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> Zeigen Sie: Für alle z [mm]\in \IC[/mm] gilt:
> (a) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} x^{z} e^{-x}[/mm] = 0
> (b) [mm]\limes_{x\rightarrow0} x^{z} e^{-\bruch{1}{x}}[/mm] = 0
> Also beim zweiten Limes soll es "x von oben gegen 0"
> heißen...
das heisst einfach downarrow !
> Kann mir da jemand helfen? Ich hab zuerst an die
> LHospitalsche Regel gedacht, aber die gilt ja nur für
> reelle zahlen, oder? aber wie zeigs dann?
Wenn ich recht verstanden habe, soll das x jedenfalls reell sein.
Dann meine ich, dass man die ganze Aufgabe leicht auf eine
ganz im Reellen spielende reduzieren kann.
Wenn es gelingt zu zeigen, dass die Beträge gegen null streben,
also:
(a) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\ | x^{z} e^{-x} |[/mm] = 0
(b) [mm]\limes_{x\downarrow 0}\ | x^{z} e^{-\bruch{1}{x}} |[/mm] = 0
ist alles erledigt.
LG al-Chwarizmi
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Ok, stimmt, dann kann ich auch die Regel anwenden...mir ist nur noch nicht ganz klar, wie ich [mm] |x^{z} e^{-x}| [/mm] bilden kann....
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> Ok, stimmt, dann kann ich auch die Regel anwenden...mir ist
> nur noch nicht ganz klar, wie ich [mm]|x^{z} e^{-x}|[/mm] bilden
> kann....
[mm]|x^{z} e^{-x}|[/mm] = [mm]|x^{z}|*| e^{-x}|[/mm]
zum Bestandteil [mm] |x^z| [/mm] :
[mm] |x^z| [/mm] = [mm] |x^{a+ib}| [/mm] = [mm] |x^{a} [/mm] * [mm] x^{i*b}| [/mm] = [mm] |x^{a} [/mm] * [mm] (e^{ln(x)})^{i*b}| [/mm] = [mm] |x^{a} [/mm] * [mm] (e^{i*b*ln (x)})| [/mm]
= [mm] |x^{a}| [/mm] * [mm] |(e^{i*b*ln (x)})| [/mm] = [mm] |x^{a}| [/mm] * 1 = [mm] |x^{a}| [/mm] mit [mm]a = Re(z)[/mm]
Also haben wir:
[mm]|x^{z} e^{-x}|[/mm] = [mm]|x^{Re(z)}|*| e^{-x}|[/mm]
Schönen Abend ! ![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") al-Ch.
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Ok, vielen Dank schonmal!
jetzt hab ich aber noch ein problem:
jetzt ist zwar alles reell, aber ich bekomm den granzwert trotzdem nicht raus, ich kann L´Hospital so oft anwenden, wie ich will, es kommt nie was sinnvolles raus...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:51 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Albtalrobin!
Für $a \ = \ Re(z) \ [mm] \le [/mm] \ 0$ bist Du ja sofort fertig.
Für $a \ = \ Re(z) \ < \ 0$ erhältst Du im Exponenten den Wert $a-1_$ usw. Da musst Du halt Herrn de l'Hospital $n_$-mal bemühen, bis $a-n \ [mm] \le [/mm] \ 0$ .
Was entsteht dann im Zähleer für ein Grenzwert? Und was im Nenner?
Gruß
Loddar
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ah ja, ok, alles klar... Vielen dank!
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