L'hopital < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen sie folgende grenzwerte:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{sin^2(x)}{e^x-1-x} [/mm] |
Kann man hier l'hopital anwenden?
nenner und zähler gehn schön gegen null für [mm] x\to [/mm] 0
aber dann komm ich nicht weiter bei den ableitungen
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{2sin(x)cos(x)}{e^x-1}
[/mm]
kann man da noch was umformen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 So 10.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kinghenni!
Wie wäre es mit nochmals de l'Hospital?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:02 So 10.05.2009 | | Autor: | Kinghenni |
danke, das ergebnis scheint zu stimmen
weil ich das nochnie gesehn hab und uns nicht erzählt wurde kam ich garnicht auf diese idee und hab mich grad auch nen bisschen gewundert ob man das auch darf
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:48 So 10.05.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo,
ja, man darf. Oft muss man sogar...
Grüße
reverend
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da die funktion zur selben aufgabenstellung gehört frag ich nochmal hier:
[mm] \limes_{x\rightarrow\0}(1+\bruch{1}{\pi}arcsinx)^{1/2}
[/mm]
geht auch hier l'hopital? wenn ja, wie kann ich die funktion teilen?
wenn nicht bitte nen tipp zur vorgehensweise
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Hallo Kinghenni,
> da die funktion zur selben aufgabenstellung gehört frag ich
> nochmal hier:
> [mm] $\limes_{x\rightarrow \red{0}}(1+\bruch{1}{\pi}arcsinx)^{1/2}$
[/mm]
Lasse den Backslash vor der 0 weg, dann wird sie auch angezeigt 
> geht auch hier l'hopital? wenn ja, wie kann ich die
> funktion teilen?
> wenn nicht bitte nen tipp zur vorgehensweise
Ein direkter Grenzübergang tut's doch wunderbar.
Was passiert, wenn x gegen 0 geht mit [mm] $\arcsin(x)$ [/mm] ?
Dann setze den Rest zusammen, ist ja alles stetig, da kann nix passieren ..
LG
schachuzipus
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danke
> > [mm]\limes_{x\rightarrow \red{0}}(1+\bruch{1}{\pi}arcsinx)^{1/x}[/mm]
hatte nen tippfehler 1/x statt 1/2
> Lasse den Backslash vor der 0 weg, dann wird sie auch
> angezeigt
das passiert mir nicht zum ersten mal^^
> Was passiert, wenn x gegen 0 geht mit [mm]\arcsin(x)[/mm] ?
arcsin geht gegen 0
> Dann setze den Rest zusammen, ist ja alles stetig, da kann
> nix passieren ..
also bleibt [mm] 1^{1/x} [/mm] über...un 1 hoch irgendwas(oder n-te wurzel hier) bleibt 1?
aber das wär doch nen bisschen zu einfach?
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Hallo nochmal,
> danke
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow \red{0}}(1+\bruch{1}{\pi}arcsinx)^{1/x}[/mm]
>
> hatte nen tippfehler 1/x statt 1/2
> > Lasse den Backslash vor der 0 weg, dann wird sie auch
> > angezeigt
> das passiert mir nicht zum ersten mal^^
Jo, anders wäre die Aufgabe ja auch etwas plump
>
> > Was passiert, wenn x gegen 0 geht mit [mm]\arcsin(x)[/mm] ?
> arcsin geht gegen 0
> > Dann setze den Rest zusammen, ist ja alles stetig, da
> kann
> > nix passieren ..
> also bleibt [mm]1^{1/x}[/mm] über...un 1 hoch irgendwas(oder n-te
> wurzel hier) bleibt 1?
> aber das wär doch nen bisschen zu einfach?
Ja, das klappt so nicht
Wegen [mm] $a^b=e^{\ln\left(a^b\right)}=e^{b\cdot{}\ln(a)}$ [/mm] kannst du [mm] $\left(1+\frac{\arcsin(x)}{\pi}\right)^{\frac{1}{x}}$ [/mm] umschreiben in [mm] $e^{\frac{\ln\left(1+\frac{\arcsin(x)}{\pi}\right)}{x}}$
[/mm]
Wegen der Stetigkeit der e-Funktion ist [mm] $\lim\limits_{x\to x_0}e^{f(x)}=e^{\lim\limits_{x\to x_0}f(x)}$
[/mm]
Picke dir also den Exponenten raus und schaue, was der für [mm] $x\to [/mm] 0$ treibt.
Nachher das Ergebnis aber noch [mm] $e^{(...)}$ [/mm] nehmen ...
LG
schachuzipus
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>
> Wegen [mm]a^b=e^{\ln\left(a^b\right)}=e^{b\cdot{}\ln(a)}[/mm] kannst
> du [mm]\left(1+\frac{\arcsin(x)}{\pi}\right)^{\frac{1}{x}}[/mm]
> umschreiben in
> [mm]e^{\frac{\ln\left(1+\frac{\arcsin(x)}{\pi}\right)}{x}}[/mm]
>
> Wegen der Stetigkeit der e-Funktion ist [mm]\lim\limits_{x\to x_0}e^{f(x)}=e^{\lim\limits_{x\to x_0}f(x)}[/mm]
>
> Picke dir also den Exponenten raus und schaue, was der für
> [mm]x\to 0[/mm] treibt.
>
> Nachher das Ergebnis aber noch [mm]e^{(...)}[/mm] nehmen ...
[mm] {\frac{\ln\left(1+\frac{\arcsin(x)}{\pi}\right)}{x}}[/mm] [/mm] um das jetzt rauszufinden, darf ich jetzt l'hopital anwenden??
denn ln(1) geht gegen 0 und x geht auch gegen 0
den rest krieg würde ich dann morgen hinkriegen, müsste ja nur auf die ableitung aufpassen
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Hallo nochmal,
>
> >
> > Wegen [mm]a^b=e^{\ln\left(a^b\right)}=e^{b\cdot{}\ln(a)}[/mm] kannst
> > du [mm]\left(1+\frac{\arcsin(x)}{\pi}\right)^{\frac{1}{x}}[/mm]
> > umschreiben in
> > [mm]e^{\frac{\ln\left(1+\frac{\arcsin(x)}{\pi}\right)}{x}}[/mm]
> >
> > Wegen der Stetigkeit der e-Funktion ist [mm]\lim\limits_{x\to x_0}e^{f(x)}=e^{\lim\limits_{x\to x_0}f(x)}[/mm]
>
> >
> > Picke dir also den Exponenten raus und schaue, was der für
> > [mm]x\to 0[/mm] treibt.
> >
> > Nachher das Ergebnis aber noch [mm]e^{(...)}[/mm] nehmen ...
>
> [mm]{\frac{\ln\left(1+\frac{\arcsin(x)}{\pi}\right)}{x}}[/mm][/mm] um das
> jetzt rauszufinden, darf ich jetzt l'hopital anwenden??
> denn ln(1) geht gegen ist 0 und x geht auch gegen 0
> den rest krieg würde ich dann morgen hinkriegen, müsste ja
> nur auf die ableitung aufpassen
Alles richtig erkannt!
Dann viel Spaß bei der Ableitung 
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Mo 11.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Noch eine Möglichkeit:
Wegen [mm] $e^x-1-x [/mm] = [mm] \bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^3}{3!}+ [/mm] .....$
gilt
[mm] $\bruch{e^x-1-x}{x^2} \to [/mm] 1/2$ für $x [mm] \to [/mm] 0$.
Somit:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin^2(x)}{e^x-1-x}= [/mm] $
[mm] $\limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{sin^2(x)}{x^2} *\bruch{x^2}{e^x-1-x}= [/mm] 1/2 $
FRED
[mm] \bruch{}{}
[/mm]
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