Länge eines Vektors < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Naomi |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe die Aufgabe ein Kurzreferat über die Länge von Vektoren und über das Berechnen des Abstands zwischen zwei Punkten zu halten, und bräuchte ein bisschen Hilfe.......
vorweg muss ich nochmal sagen dass mein Computer leider die Formeln in der Anleitung nicht anzeigt, weswegen ich nicht ganz dahintergekommen bin was ich eingeben muss um z.B. "Wurzel aus" zu schreiben.....ich versuche also das ganze mal so sinnvoll hinzuschreiben....
die Länge ist ja gleichzeitig der Betrag.....und deswegen bezeichnet /v/ dann die Länge des Vektors v ........
dann gibt es ja noch den Unteschied zwischen Vektoren im Raum und in einer Ebene....
wenn ich jetzt also in einem Raum z.B. den Vektor v=(1/2/3) habe, dann berechne ich die Länge, indem ich v=Wurzel aus 1²+2²+3²=Wurzel aus 15 rechne....richtig?dann ziehe ich noch die Wurzel, und dann müsste ich doch eigentlich die Länge des Vektors in cm haben....aber wieso rechnet man das denn überhaupt mit der Wurzel?und was ist wenn ich z.B. die Länge des Vektors PQ habe? wenn PQ die Koordinaten von x und y bezeichnet,wo ist denn dann z?
und wenn ich den Vektor v=(1/2) in einer Ebene habe, dann rechne ich ja v= wurzel aus 1²+2²=wurzel aus 5
aber da habe ich dann das gleiche Problem....was ist wenn ich den Vektor PQ habe......bezeichnet jetzt PQ die Länge,oder v?
ich komme einfach nicht dahinter welche Formel genau was bezeichnet.
Auf jeden Fall soll ja die Länge des Ortsvektors berechnet werden.Also habe ich es entweder mit einem Punkt der aus drei Koordinaten besteht(x,y,z)oder einem aus zwei Koordinaten(x,y)zu tun,je nachdem ob es ein Raum oder eine Ebene ist.Und mit den drei,bzw. zwei Koordinaten berechne ich die Länge des Ortsvektors.Was mich aber,wie gesagt, durcheinander bringt, ist die Sache mit v und PQ.
Die Frage ist also: Um die Länge eines Vektors zu berechnen, gilt dann die Länge des Vektors v, oder die Länge des Vektors PQ?
Was den Abstand zwischen zwei Punkten betrifft: kann man nicht sagen dass in dem Fall einfach der Richtungsvektor von punkt x zu Punkt y als Abstand genommen und berechnet werden kann?
Wenn man also z.B. die Punkte x=1 und y=2 hat, dann wäre die Länge des Richtungsvektors von x nach y
v= wurzel aus 1²+2²=wurzel aus 5
Ich habe auch nichts anderes in meinen Unterlagen gefunden.
Es wäre wirklich nett wenn sich jemand finden würde der mir helfen könnte das Chaos ein bisschen zu entwirren,ich habe nämlich das Gefühl das ich irgendwas wichtiges bei meinen Überlegungen übersehen habe!
Gruß,Naomi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Fugre |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
> ich habe die Aufgabe ein Kurzreferat über die Länge von
> Vektoren und über das Berechnen des Abstands zwischen zwei
> Punkten zu halten, und bräuchte ein bisschen
> Hilfe.......
> vorweg muss ich nochmal sagen dass mein Computer leider
> die Formeln in der Anleitung nicht anzeigt, weswegen ich
> nicht ganz dahintergekommen bin was ich eingeben muss um
> z.B. "Wurzel aus" zu schreiben.....ich versuche also das
> ganze mal so sinnvoll hinzuschreiben....
>
> die Länge ist ja gleichzeitig der Betrag.....und deswegen
> bezeichnet /v/ dann die Länge des Vektors v ........
> dann gibt es ja noch den Unteschied zwischen Vektoren im
> Raum und in einer Ebene....
> wenn ich jetzt also in einem Raum z.B. den Vektor
> v=(1/2/3) habe, dann berechne ich die Länge, indem ich
> v=Wurzel aus 1²+2²+3²=Wurzel aus 15 rechne....richtig?dann
> ziehe ich noch die Wurzel, und dann müsste ich doch
> eigentlich die Länge des Vektors in cm haben....aber wieso
> rechnet man das denn überhaupt mit der Wurzel?und was ist
> wenn ich z.B. die Länge des Vektors PQ habe? wenn PQ die
> Koordinaten von x und y bezeichnet,wo ist denn dann z?
> und wenn ich den Vektor v=(1/2) in einer Ebene habe, dann
> rechne ich ja v= wurzel aus 1²+2²=wurzel aus 5
> aber da habe ich dann das gleiche Problem....was ist wenn
> ich den Vektor PQ habe......bezeichnet jetzt PQ die
> Länge,oder v?
> ich komme einfach nicht dahinter welche Formel genau was
> bezeichnet.
> Auf jeden Fall soll ja die Länge des Ortsvektors berechnet
> werden.Also habe ich es entweder mit einem Punkt der aus
> drei Koordinaten besteht(x,y,z)oder einem aus zwei
> Koordinaten(x,y)zu tun,je nachdem ob es ein Raum oder eine
> Ebene ist.Und mit den drei,bzw. zwei Koordinaten berechne
> ich die Länge des Ortsvektors.Was mich aber,wie gesagt,
> durcheinander bringt, ist die Sache mit v und PQ.
> Die Frage ist also: Um die Länge eines Vektors zu
> berechnen, gilt dann die Länge des Vektors v, oder die
> Länge des Vektors PQ?
>
> Was den Abstand zwischen zwei Punkten betrifft: kann man
> nicht sagen dass in dem Fall einfach der Richtungsvektor
> von punkt x zu Punkt y als Abstand genommen und berechnet
> werden kann?
> Wenn man also z.B. die Punkte x=1 und y=2 hat, dann wäre
> die Länge des Richtungsvektors von x nach y
> v= wurzel aus 1²+2²=wurzel aus 5
> Ich habe auch nichts anderes in meinen Unterlagen
> gefunden.
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> Es wäre wirklich nett wenn sich jemand finden würde der mir
> helfen könnte das Chaos ein bisschen zu entwirren,ich habe
> nämlich das Gefühl das ich irgendwas wichtiges bei meinen
> Überlegungen übersehen habe!
>
> Gruß,Naomi
Hallo Naomi,
fangen wir einmal oben an, die Länge eines Vektors ist sein
Betrag, richtig. Deshalb gilt für die Länge des Vektors [mm] $\vec v=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}$:
[/mm]
[mm] $|\vec v|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$ [/mm] Die Einheit ist aber nicht $cm$.
Die Frage mit der Wurzel ist nicht so schwer zu beantworten, aber
am besten kommen wir dafür kurz zurück ins Zweidimensionale.
Zeichenen wir in ein zweidimensionales Koordinatensystem eine
Strecke ein, so kann man sie genau beschreiben, indem man die
Strecke in eine paralle Strecke zur x-Achse und eine zur y-Achse
zerlegt. Diese beiden neuen Strecken stehen senkrecht aufeinander
und bilden zusammen mit der eigentlichen Strecke ein rechtwinkliges
Dreieck. Wie in jedem rechtwinkligen Dreieck gilt auch hier der Satz
des Pythagoras. Die eigentliche Strecke bildet die Hypthenuse.
Bezeichnen wir die Strecke als $s$, die Strecke parallel zur x-Achse
als [mm] $s_x$ [/mm] und die parallel zur y-Achse als [mm] $s_y$. [/mm] Dann gilt: [mm] $s^2=s_x^2+s_y^2$.
[/mm]
Wir wollen aber nur die Länge der eigentlichen Strecke kennen und
deshalb formen wir um zu: [mm] $s=\sqrt{s_x^2+s_y^2}$.
[/mm]
Kommen wir nun zurück zu den Vektoren im Zweindimensionalen,
so gilt für den Vektor [mm] $\vec v=\vektor{x \\ y}$, [/mm] dass $x$ die Strecke
parallel zur x-Achse ist und $y$ die zur y-Achse.
Im Dreidimensionalen ist es ein Tick komplizierter, hier gibt es nicht $2$ Teilstrecken,
die ein rechtwinkliges Dreieck bilden, sondern $3$ Teilstrecken die zusammen einen
Quader bilden. Die "eigentliche" Strecke stellt dann die Diagonale des Quaders da und
deren Länge lässt sich berechnen als [mm] $s=\sqrt{s_x^2+s_y^2+s_z^2}$.
[/mm]
Du schreibst, dass du Probleme mit dem Vektor [mm] $\vec [/mm] PQ$ hast, was genau
bezeichnet dieser Vektor denn? Ist es der Vektor der $P$ und $Q$ verbindet?
Wenn ja, dann ist dessen Betrag der Abstand der Punkte.
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Sollte etwas unklar sein, so frag bitte
nach.
Liebe Grüße
Fugre
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Naomi |
hallo Fugre
erstmal vielen Dank für die schnelle Hilfe!!
also,ich glaube schon dass der Vektor PQ die Punkte P und Q verbindet....auf jeden Fall würde das Sinn machen! Den Vektor würde man doch,in einer Ebene, so berechnen:
PQ=Wurzel aus (xq-xp)²+(yq-yp)²
oder?
Und in einem Raum:
PQ=Wurzel aus (xq-xp)²+(yq-yp)²+(zq-zp)²
Und das Ergebnis würde dann den Abstand zwischen P und Q bezeichnen.....
Aber was gebe ich denn eigentlich für x und y, und für P und Q ein?
Mal angenommen P=2 und Q =4, wie kriege ich denn dann x,y und z raus?oder ist es eigentlich andersrum, dass man zuerst die drei hat, z.B. x=1,y=2,z=3 und dann zeichnet man das ein,kriegt P und Q, und rechnet dann erst den Abstand mit der Formel aus?Aber man bräuchte dann ja von x,y und z jeweils zwei Werte, damit man zwei Punkte kriegt......
macht das überhaupt noch Sinn was ich hier rede???
Also, Beispiel:
Vektor p=(2/4/6)
Vektor q=(1/2/3)
Der Vektor der die beiden verbindet bezeichnet den Abstand zwischen ihnen. Aber was setze ich denn jetzt in die Formel ein??
Gruß,Naomi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Mi 01.06.2005 | | Autor: | NECO |
> hallo Fugre
> erstmal vielen Dank für die schnelle Hilfe!!
> also,ich glaube schon dass der Vektor PQ die Punkte P und
> Q verbindet....auf jeden Fall würde das Sinn machen! Den
> Vektor würde man doch,in einer Ebene, so berechnen:
> PQ=Wurzel aus (xq-xp)²+(yq-yp)²
> oder?
> Und in einem Raum:
> PQ=Wurzel aus (xq-xp)²+(yq-yp)²+(zq-zp)²
> Und das Ergebnis würde dann den Abstand zwischen P und Q
> bezeichnen.....
> Aber was gebe ich denn eigentlich für x und y, und für P
> und Q ein?
> Mal angenommen P=2 und Q =4, wie kriege ich denn dann x,y
> und z raus?oder ist es eigentlich andersrum, dass man
> zuerst die drei hat, z.B. x=1,y=2,z=3 und dann zeichnet man
> das ein,kriegt P und Q, und rechnet dann erst den Abstand
> mit der Formel aus?Aber man bräuchte dann ja von x,y und z
> jeweils zwei Werte, damit man zwei Punkte kriegt......
> macht das überhaupt noch Sinn was ich hier rede???
> Also, Beispiel:
> Vektor p=(2/4/6)
> Vektor q=(1/2/3)
> Der Vektor der die beiden verbindet bezeichnet den Abstand
> zwischen ihnen. Aber was setze ich denn jetzt in die Formel
> ein??
>
Hallo
Also du hast zwei vektoren und jetzz möchtest du den Abstand von Eckpunkten rechnen, stimmt?
Du weißt schon wie man die Länge von einem Vektore rechnet.
Jetz kannst du p-q komponentenweise subtraieren. Und dann die Länge vom Ergebnis rechnen. Hilf dir das weiter??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Naomi |
hallo,
naja,das hilft mir auf jeden fall schon ein bisschen,allerdings komme ich nicht drauf wie ich p und q überhaupt erstmal ausrechne.....:-(
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Hallo Naomi,
du schreibst:
> also,ich glaube schon dass der Vektor PQ die Punkte P und Q
> verbindet....auf jeden Fall würde das Sinn machen! Den Vektor würde
> man doch,in einer Ebene, so berechnen:
> PQ=Wurzel aus (xq-xp)²+(yq-yp)²
> oder?
> Und in einem Raum:
> PQ=Wurzel aus (xq-xp)²+(yq-yp)²+(zq-zp)²
> Und das Ergebnis würde dann den Abstand zwischen P und Q
> bezeichnen.....
> Aber was gebe ich denn eigentlich für x und y, und für P und Q ein?
und dann beginnst du ein eigenes Beispiel:
- das ist sehr schön, denn da denke ich, sieht man dein Missverständnis:
Du schreibst:
> Mal angenommen P=2 und Q =4,
> wie kriege ich denn dann x,y und z raus?
P und Q sind aber Punkte, die aus mehreren Koordinaten bestehen. Also z.B.
P=(2/1) und
Q=(1/3)
und dann ist
Px=2 und Py=1 und
Qx=1 und Qy=3
Da sich das ganze im 2-dimensionalen abspielt, gibt es keine z-Koordinate, bzw. du kannst dir vorstellen, die z-Koordinate ist Null.
Vielleicht hilft es dir ja weiter.
Viel Erfolg
BeingUnique
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