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Forum "Lineare Abbildungen" - Längen- und Winkeltreue BEWEIS
Längen- und Winkeltreue BEWEIS < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Längen- und Winkeltreue BEWEIS: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:12 Do 19.05.2011
Autor: reyjunior

Aufgabe
Beweise die winkel- und längentreue bei linearen Abbildungen.

Eine Eigenschaft der linearen Abbildung ist doch die winkel- und längentreue. Für mich ist dies verständlich, doch wie beweise ich das?

Zur Winkeltreue habe ich folgendes im Skript gefunden:

<x,y> = xT * y
<Ax,Ay> = xT * AT * A * y

wegen AT * A = 1 folgt:

<Ax,Ay> = xT * y

ABER: woher habe ich die Bedingung: <x,y> = xT * y  ?



Und wie lässt sich die Längentreue beweisen? Kann jemand den Beweis - insofern er kurz ist - hier aufschreiben? Danke im Voraus.



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Längen- und Winkeltreue BEWEIS: stimmt überhaupt nicht !
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:17 Do 19.05.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Beweise die winkel- und längentreue bei linearen
> Abbildungen.
>  Eine Eigenschaft der linearen Abbildung ist doch die
> winkel- und längentreue. Für mich ist dies verständlich,
> doch wie beweise ich das?
>  
> Zur Winkeltreue habe ich folgendes im Skript gefunden:
>  
> <x,y> = xT * y
>  <Ax,Ay> = xT * AT * A * y

>  
> wegen AT * A = 1 folgt:
>  
> <Ax,Ay> = xT * y
>  
> ABER: woher habe ich die Bedingung: <x,y> = xT * y  ?
>  
> Und wie lässt sich die Längentreue beweisen? Kann jemand
> den Beweis - insofern er kurz ist - hier aufschreiben?
> Danke im Voraus.


Hallo reyjunior,

bei (beliebigen) linearen Abbildungen ist im Allgemeinen
weder Winkel- noch Längentreue vorhanden !

Möglicherweise verschweigst du eine ganz wichtige
zusätzliche Voraussetzung !

LG   Al-Chw.






Bezug
                
Bezug
Längen- und Winkeltreue BEWEIS: Zusatz
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:09 Fr 20.05.2011
Autor: reyjunior

Es handelt sich selbstverständlich um orthogonale Abbildungen mit detA= |1|...

Also: Spiegelung oder Drehung

Jetzt müsste die Frage in Ordnung sein, oder?


Bezug
                        
Bezug
Längen- und Winkeltreue BEWEIS: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:26 Fr 20.05.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Es handelt sich selbstverständlich um orthogonale
> Abbildungen mit detA= |1|...
>  
> Also: Spiegelung oder Drehung
>  
> Jetzt müsste die Frage in Ordnung sein, oder?


OK.
Jetzt ist aber die Frage, von welchen Voraussetzungen
(Definition) du ausgehen sollst. Wenn schon klar ist, dass
es um Spiegelungen oder Drehungen geht, ist eigentlich
Längen- und Winkeltreue geometrisch gesehen schon
offensichtlich. Sollte nach einer Drehung eines Körpers
z.B. einer seiner Winkel nicht mehr stimmen, so habe
ich ihn offenbar nicht bloß gedreht, sondern irgendwie
vermurkst !

In Wikipedia findet man z.B. die Definition:

Sei V ein endlich dimensionaler, euklidischer Vektorraum.
Eine Abbildung f [mm] \colon [/mm] V [mm] \to [/mm] V heißt orthogonal, wenn
[mm] \langle [/mm] f(v), f(w) [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] v, w [mm] \rangle [/mm] für alle v, w [mm] \in [/mm] V gilt.

Von dieser Definition mit dem Skalarprodukt ausgehend
ist der Nachweis ebenfalls sehr leicht.
Vermutlich sollst du aber nur von der Definition der
Orthogonalität einer Matrix ausgehen:  $\ [mm] A^T [/mm] = [mm] A^{-1}$ [/mm] .
Dann kannst du davon ausgehend versuchen, zu zeigen,
dass eine solche Abbildung das Skalarprodukt invariant
lässt.

LG   Al-Chw.    


Bezug
        
Bezug
Längen- und Winkeltreue BEWEIS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:21 Fr 20.05.2011
Autor: Diophant

Hallo,

<x,y> ist doch das Standardskalarprodukt? Und das hat nochmal was genau mit Winkeln zu tun?

Für die Längentreue musst du halt

det|A|=1 => ||A*x||=||x||

nachrechnen.

Gruß, Diophant



Bezug
                
Bezug
Längen- und Winkeltreue BEWEIS: Skalarprodukt
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:25 Fr 20.05.2011
Autor: reyjunior

@ Diophant:

"<x,y> ist doch das Standardskalarprodukt? Und das hat nochmal was genau mit Winkeln zu tun? "

Ist das nun eine Test-Frage oder willst du damit sagen, dass ich hier falsch liege?
Laut Definition in meinem Skript ist das SkalarProdukt <x,y> = ||x|| * ||y|| * cos P...

Der Beweis - wenn einer ist - den ich im ersten Post habe... Was habe ich denn damit gezeigt? Längen- oder Winkeltreue? Beides Keines?

Es tut mir Leid wenn ich etwas ahnungslos erscheine, ich bemühe mich ja, aber das "Durchblicken" fällt auf Anhieb schwer.

Ich danke für eure Antworten

Bezug
                        
Bezug
Längen- und Winkeltreue BEWEIS: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:32 Fr 20.05.2011
Autor: Diophant

Hallo,

damit ist dann ja schon die Winkeltreue gezeigt. Und ja: das war natürlich eine Testfrage. :-)

Gruß, Diophant

PS: Ich glaube, wenn du mathematische Fragen stellst, solltest du sie nicht als Mitteilung kennzeichnen. Ich mache hier auch noch nicht so lang mit, aber ich glaube, Mitteilungen sind für Randnotizen gedacht, die im Priinzip keiner Antwort bedürfen.

Bezug
        
Bezug
Längen- und Winkeltreue BEWEIS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:44 Fr 20.05.2011
Autor: fred97

Zur Längentreue:

       [mm] $||x||^2= [/mm] <x,x>= <A^TAx,x>= [mm] =||Ax||^2$ [/mm]

FRED

Bezug
                
Bezug
Längen- und Winkeltreue BEWEIS: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:55 Fr 20.05.2011
Autor: reyjunior

@Diophant: Danke, aber außer der Privaten Message und der Möglichkeit eine Mitteilung zu schreiben, habe ich keine Antwortmöglichkeit gefunden.

@FRED: Vielen Dank, Jetzt hätte ich endlich diese zwei Eigenschaften bewiesen, und wenn man die Beweise nun nach der Diskussion mit euch sich ansieht, ist es doch relativ einfach und fast schon peinlich gefragt zu haben :( ...


Vielen Dank, ich werde die Beweise nun nochmal niederschreiben und gedanklich noch einmal durchgehen.

Freundlicher Gruß
reyjunior

Bezug
                        
Bezug
Längen- und Winkeltreue BEWEIS: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:09 Fr 20.05.2011
Autor: reyjunior

Meine letzte Frage, vielen Dank im Voraus:


Beim Beweis der Längentreue:

Wie komme ich von [mm]

Bezug
                                
Bezug
Längen- und Winkeltreue BEWEIS: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:29 Fr 20.05.2011
Autor: Al-Chwarizmi

Hast du die Mitteilung von Diophant gelesen ?

Bezug
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