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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 Do 13.10.2022 | | Autor: | jasmin89 |
| Aufgabe | Die Lage eines rechteckiger Körpers wird mit drei Punkten vermessen. Es soll der Abstand A zum Bezugskoordinatensystem ermittelt werden (Bezugskoordinatensystem liegt im Ursprung der Koordinatenachse). Siehe Bild [Dateianhang nicht öffentlich].
$$
[mm] \begin{array}{l|lll}
p & 1 & 2 & 3 \\
\hline x & 4 & 9 & 1 \\
y & 2 & 4 & 4
\end{array}
[/mm]
$$
Wobei die Abmessung des Rechteckes a=5 b=10 ist |
Hallo, folgende Frage habe ich zu einer mündlichen Prüfung erhalten. Natürlich konnte ich die Frage nicht auf anhieb lösen. Habe von meinem Professor folgende Lösung erhalten.
Zuerst wird ein Verbindungsvektor von Punkt P1 nach P2 berechnet.
$$
[mm] u=P_2-P_1=\left(\begin{array}{l}
9 \\
4
\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l}
4 \\
2
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
5 \\
2
\end{array}\right)
[/mm]
$$
Dann wird ein Richtungsvektor daraus gemacht:
$$
[mm] \hat{u}=\frac{\left(\begin{array}{l}
5 \\
2
\end{array}\right)}{\sqrt{5^2+2^2}}=\left(\begin{array}{l}
51 \sqrt{29} \\
51 \sqrt{29}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0,93 \\
0,377
\end{array}\right)
[/mm]
$$
Nun muss man das Lot vom Punkt P3 auf den Richtungsvektur u fällen, und den Punkt P1 aufaddieren:
[mm] A=\left(\left(P_3-P_1\right) \cdot \hat{u}\right) \cdot \hat{u}+P_1
[/mm]
[mm] A=\left.\left.(\left(\begin{array}{l}
1-4 \\
4-2
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}
0,93 \\
0,37
\end{array}\right)\right) \cdot\left(\begin{array}{l}
0,93 \\
0,37
\end{array}\right)\right)+\left(\begin{array}{l}
4 \\
2
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
2,1 \\
1,25
\end{array}\right)
[/mm]
Wobei man die Subtraktion von P3-P1 (P3'=P3-P1) wie folgt auffassen kann: Man verschiebt die Gerade so als würde der Bezugspunkt P1 im Ursprung liegen, siehe Foto.
Ich verstehe hier nicht wieso man P3' so aufassen kann dass dieser im Ursprung liegt. Stimmt das überhaupt?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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> Die Lage eines rechteckiger Körpers wird mit drei Punkten
> vermessen.
Ein Körper ist dreidimensional. Hier wird immer nur mit 2 Dimensionen gerechnet. Ich vermute daher, dass der "Körper" ein Rechteck, also eine Fläche ist. Daher ist auch die dritte Koordinatenachse überflüssig.
Dem Bild nach zu urteilen wird aber der Körper nicht durch die drei Punkte vermessen, sondern sie liegen auf den entsprechenden Seiten im Bild. Was nicht angegeben ist: Ist [mm] P_2 [/mm] der Eckpunkt oder liegt er nur irgendwo auf der Seite des Rechtecks? Ich vermute letzteres, sonst wäre die Aufgabe leichter zu lösen.
> Es soll der Abstand A zum
> Bezugskoordinatensystem ermittelt werden
> (Bezugskoordinatensystem liegt im Ursprung der
> Koordinatenachse). Siehe Bild [Dateianhang nicht öffentlich].
>
> [mm][/mm]
> [mm]\begin{array}{l|lll}
p & 1 & 2 & 3 \\
\hline x & 4 & 9 & 1 \\
y & 2 & 4 & 4
\end{array}[/mm]
> [mm][/mm]
>
> Wobei die Abmessung des Rechteckes a=5 b=10 ist
>
>
Wenn [mm] P_2 [/mm] der Eckpunkt ist, muss man von dort aus nur 10 Einheiten in Richtung [mm] P_1 [/mm] gehen, und schon ist man bei A.
>
>
>
>
> Hallo, folgende Frage habe ich zu einer mündlichen
> Prüfung erhalten. Natürlich konnte ich die Frage nicht
> auf anhieb lösen. Habe von meinem Professor folgende
> Lösung erhalten.
>
> Zuerst wird ein Verbindungsvektor von Punkt P1 nach P2
> berechnet.
>
> [mm][/mm]
> [mm]u=P_2-P_1=\left(\begin{array}{l}
9 \\
4
\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l}
4 \\
2
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
5 \\
2
\end{array}\right)[/mm]
> [mm][/mm]
>
> Dann wird ein Richtungsvektor daraus gemacht:
Nein, das ist schon ein Richtungsvektor. Er wird normiert, d.h. auf die Länge 1 gebracht.
>
> [mm][/mm]
> [mm]\hat{u}=\frac{\left(\begin{array}{l}
5 \\
2
\end{array}\right)}{\sqrt{5^2+2^2}}=\left(\begin{array}{l}
51 \sqrt{29} \\
51 \sqrt{29}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0,93 \\
0,377
\end{array}\right)[/mm]
> [mm][/mm]
>
Du meinst nicht [mm] \vektor{51 \sqrt{29} \\ 51 \sqrt{29}}, [/mm] sondern [mm] \vektor{5/\sqrt{29} \\ 2/\sqrt{29}}.
[/mm]
>
> Nun muss man das Lot vom Punkt P3 auf den Richtungsvektur u
> fällen, und den Punkt P1 aufaddieren:
>
> [mm]A=\left(\left(P_3-P_1\right) \cdot \hat{u}\right) \cdot \hat{u}+P_1[/mm]
>
> [mm]A=\left.\left.(\left(\begin{array}{l}
1-4 \\
4-2
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}
0,93 \\
0,37
\end{array}\right)\right) \cdot\left(\begin{array}{l}
0,93 \\
0,37
\end{array}\right)\right)+\left(\begin{array}{l}
4 \\
2
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
2,1 \\
1,25
\end{array}\right)[/mm]
>
> Wobei man die Subtraktion von P3-P1 (P3'=P3-P1) wie folgt
> auffassen kann: Man verschiebt die Gerade so als würde der
> Bezugspunkt P1 im Ursprung liegen, siehe Foto.
>
> Ich verstehe hier nicht wieso man P3' so aufassen kann dass
> dieser im Ursprung liegt. Stimmt das überhaupt?
>
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie kommt man zu der Formel für A?
Zunächst mal stellt man für die Gerade g durch [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] eine Geradengleichung auf:
g: [mm] x=P_1+k*u [/mm] (Vektorpfeile habe ich - auch in der Zeichnung - weggelassen, da du das auch machst). u kürzen (oder verlängern) wir vorher auf die Länge 1.
Dabei ist x jetzt ein Vektor, der vom Ursprung aus auf einen beliebigen Punkt auf g zeigt, wenn man k passend wählt (verschiedene grüne Vektoren zu verschiedenen k). Zu jedem k [mm] \in \IR [/mm] gibt es genau einen Punkt auf g und umgekehrt.
Dann geben wir alle Pfeile an, die von [mm] P_3 [/mm] irgendwo auf g führen (rote Vektoren). Sie alle lassen sich als [mm] x-P_3 [/mm] schreiben, also
[mm] P_1+ku-P_3.
[/mm]
Einer davon steht senkrecht auf g. Er muss also, mit u multipliziert, 0 ergeben:
[mm] (P_1+ku-P_3)u=P_1u+ku^2-P_3u=0
[/mm]
Da u normiert wurde, ist [mm] u^2=1:
[/mm]
P_1u+k-P_3u=0 und damit [mm] k=P_3u-P_1u=(P_3-P_1)u
[/mm]
Dieses k, in g wieder eingesetzt, führt dann auf A:
[mm] A=P_1+(((P_3-P_1)u)u
[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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