Lage: Punkt/Ebene < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:53 Mo 29.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Im Rahmen der Nachhilfe bin ich auf eine Aufgabe gestoßen, bei der ich entscheiden muss, ob ein Punkt innerhalb oder außerhalb einer Pyramide liegt. Gezeichnet ergibt sich, dass der Punkt außerhalb liegt, jedoch möchte ich auch einen mathematischen "Beweis". Ich habe mir überlegt, dass ich erstmal die Lage des Punktes zur "Grundfläche" betrachten muss - die Ebene der Grundfläche wurde bereits berechnet [mm] (2x_1-x_2+2x_3=5). [/mm] Ist es richtig, dass man einfach den Punkt einsetzt und guckt, ob das Ergebnis < oder > der Zahl auf der rechten Seite ist? Beim gegebenen Punkt (0/0/0) ergäbe sich dann 0<5, also liegt der Punkt unterhalb der Ebene. Da die Pyramide aber oberhalb liegt, kann er nicht in der Pyramide liegen.
Wenn er nun aber oberhalb der Ebene läge, dann könnte er ja immer noch innerhalb oder außerhalb der Pyramide liegen. Müsste ich dann für jede Seitenfläche der Pyramide auch eine Ebene aufstellen, und die Lage zwischen Punkt und Ebene betrachten oder geht das auch anders?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:23 Mo 29.08.2005 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Christiane,
anscheinend haben wir gemeinsame Probleme, ich gebe auch viel Nachhilfe und plage mich mit solchen Aufgaben. Grundsätzlich hast du recht: Du oder dein(e) SchülerIn müßten 4 Ungleichungen prüfen, weil das Innere der Pyramide eben durch den Durchschnitt von 4 Halbräumen definiert ist.
Ich predige meinen Leuten immer, daß sie sich Bildchen malen, entweder diese schräge schulische Standardansicht oder eine echte technische Zeichnung mit den Ansichten aus x-, y- und z-Richtung.
Wenn ich dann sehe und nachrechne, daß ich eine Grundfläche so wählen kann, daß der gegebene Punkt und die Spitze der Pyramide auf verschiedenen Seiten liegen, bin ich fertig, weil alle anderen Punkte der Pyramide auf der gleichen Seite wie die Spitze liegen.
Bei SchülerInnen arbeite ich immer mit so einer Mischung aus Rechnung und Anschauung und weise auf die Grenzen der Anschauung hin (Die Erde ist eine flache Scheibe, das sieht man ja).
Siehst du das auch so (nicht das mit der Erde, sondern die Vorgehensweise)?
Einen schönen Gruß aus dem spätsommerlichen HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:33 Mo 29.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Guten Morgen, Dieter!
> anscheinend haben wir gemeinsame Probleme, ich gebe auch
> viel Nachhilfe und plage mich mit solchen Aufgaben.
> Grundsätzlich hast du recht: Du oder dein(e) SchülerIn
> müßten 4 Ungleichungen prüfen, weil das Innere der Pyramide
> eben durch den Durchschnitt von 4 Halbräumen definiert
> ist.
Dann lag ich wohl auch damit richtig, dass ich den Punkt in die Koordinatengleichung einsetze und gucke, ob das dann < oder > der Zahl auf der rechten Seite ist? Jedenfalls hast du nichts darüber geschrieben...
> Ich predige meinen Leuten immer, daß sie sich Bildchen
> malen, entweder diese schräge schulische Standardansicht
> oder eine echte technische Zeichnung mit den Ansichten aus
> x-, y- und z-Richtung.
Aber da Bildchen ja leider keine Beweiskraft haben, würde es im Falle, dass der Punkt in der Pyramide liegt, nicht wirklich helfen, da man dann trotzdem vier Gleichungen aufstellen müsste. Nur im Fall, dass der Punkt außerhalb liegt würde es mir helfen, die Gleichung, an der ich das erkennen kann, als erstes zu berechnen und mir damit weitere Rechnungen zu sparen.
> Wenn ich dann sehe und nachrechne, daß ich eine Grundfläche
> so wählen kann, daß der gegebene Punkt und die Spitze der
> Pyramide auf verschiedenen Seiten liegen, bin ich fertig,
> weil alle anderen Punkte der Pyramide auf der gleichen
> Seite wie die Spitze liegen.
Uups, ich glaub', das ist das Gleiche, was ich gerade geschrieben habe. 
> Bei SchülerInnen arbeite ich immer mit so einer Mischung
> aus Rechnung und Anschauung und weise auf die Grenzen der
> Anschauung hin (Die Erde ist eine flache Scheibe, das sieht
> man ja).
Und eine Gerade ist ein Kreis mit unendlichem Radius. 
> Siehst du das auch so (nicht das mit der Erde, sondern die
> Vorgehensweise)?
Joah, ich denke schon. Also, ich glaube wir haben in der Schule solche komischen Aufgaben so gut wie gar nicht gemacht, und wenn man das Prinzip verstanden hat, dann finde ich es auch blödsinnig, noch stundenlang rumzurechnen.
Aber falls es dir nicht zu viel Mühe macht könntest du mir mal zeigen, wie eine technische Zeichnung aus einer bestimmten Richtung aussieht? Ich kann mir da im Moment nichts drunter vorstellen.
Viele Grüße und danke für die Antwort
Christiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
aus dem spätsommerlichen, wunderschönen () Bonn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:56 Mo 29.08.2005 | | Autor: | statler |
Hi Christiane,
falls du in der Nähe einer math. Bibliothek bist, dann guck doch mal nach Büchern von F. Rehbock, z. B. Darstellende Geometrie oder Geometrische Perspektive. Aus den Büchern kann man viel lernen, was an der Schule heute leider untergeht.
Zum Rechnen: Eine Ebenengleichung gibt mir die Koordinaten der Punkte auf der Ebene, für [mm] \ge [/mm] kriege ich dann die eine Hälfte des Raumes und für [mm] \le [/mm] die andere. So kann ich prüfen, ob 2 Punkte auf der gleichen Seite einer Ebene liegen oder auf verschiedenen. Kannst du auch mit der Hesseschen Normalform umgehen? Das ist die parameterfreie Form der Ebenendarstellung (Mann, was ich alles in letzter Zeit von meinen SchülerInnen gelernt habe...). Damit geht es auch, z. B. für einen Mathe-LK.
So weit so gut
Dieter
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