Lage von Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:53 Mo 05.06.2006 | | Autor: | WOWY |
Hallo!
Ich habe eine Frage bezüglich der Lage von 2 Ebenen:
angenommen ich hab folgende Ebenen gegeben:
E: 2x+2y+2z-25=0
F: 2x+2y+2z+ 5=0
Die Ebenen sind parallel und unterscheiden sich nur durch das vorzeichen vor der Zahl 25 und 5. kann man dann sagen, dass wenn die Zahl kleiner als 0 ist, der Normalenvektor (wenn er vom ursprung ausgeht), von der ebene weg zeigt und wenn die zahl größer als 0 ist zur ebene hinzeigt?
und wenn ich jetzt den abstand der beiden ebenen berechne, würde ich das folgendermaßen machen: (ich weiß, das geht auch einfacher)
d(E/0)= [mm] \bruch{|c|}{n}= \bruch{25}{3}
[/mm]
d(F/0)= [mm] \bruch{|c|}{n}= \bruch{5}{3}
[/mm]
Da nun die Normalenvektoren der Ebenen in unterschiedliche richtungen zeigen, muss ich die beiden Ergebisse addieren, d.h.
D(E/F)= [mm] \bruch{5}{3} [/mm] + [mm] \bruch{25}{3} [/mm] = 10 LE
Stimmt das?
und dann noch eine 2. Frage: Wenn ich den abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene berechne, kann ich das ja entweder mit einer Hilfsebene durch den punkt und parralel zur Ebene machen, oder einfach in die HNF einsetzen. Wenn ich die HNF benutze, dann kann ja ein positives oder negatives Ergebnis rauskommen (vom betrag her allerdings gleich). wenn es negativ ist, liegen der Ursprung und der punkt auf derselben seite der Ebene, wenn es positiv ist, liegen ursprung und punkt auf verschiedenen seiten, richtig?
Mein Problem ist jetzt nur, kann ich die lage des punktes auch herausbekommen, wenn ich den abstand mit Hilfe der Hilfsebene berechne?
Wäre echt super, wenn mir jemand helfen könnte.
Danke schonmal!
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Hi, WOWY,
> Ich habe eine Frage bezüglich der Lage von 2 Ebenen:
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> angenommen ich hab folgende Ebenen gegeben:
>
> E: 2x+2y+2z-25=0
> F: 2x+2y+2z+ 5=0
>
> Die Ebenen sind parallel und unterscheiden sich nur durch
> das vorzeichen vor der Zahl 25 und 5.
Naja: Und in der Größe der Konstanten selbst: 25 bzw. 5;
daher ist E 5 mal soweit von O entfernt wie F!
> kann man dann sagen,
> dass wenn die Zahl kleiner als 0 ist, der Normalenvektor
> (wenn er vom ursprung ausgeht), von der ebene weg zeigt und
> wenn die zahl größer als 0 ist zur ebene hinzeigt?
Normalerweise sagt man:
Wenn die Konstante negativ ist, zeigt der Normalenvektor (den man ja sozusagen "mit dem Fußpunkt auf die Ebene" zeichnet) vom Ursprung weg; ist die Konstante positiv, zeigt er zum Ursprung hin. Das scheint mir genau das Gegenteil von dem zu sein, was Du schreibst!
> und wenn ich jetzt den abstand der beiden ebenen berechne,
> würde ich das folgendermaßen machen: (ich weiß, das geht
> auch einfacher)
>
> d(E/0)= [mm]\bruch{|c|}{n}= \bruch{25}{3}[/mm]
> d(F/0)=
> [mm]\bruch{|c|}{n}= \bruch{5}{3}[/mm]
Wie kommst Du auf die 3 im Nenner??
Der Normalenvektor hat doch die Länge: n = [mm] \wurzel{12} [/mm] = [mm] 2*\wurzel{3}
[/mm]
> Da nun die Normalenvektoren der Ebenen in unterschiedliche
> richtungen zeigen, muss ich die beiden Ergebisse addieren,
> d.h.
>
> D(E/F)= [mm]\bruch{5}{3}[/mm] + [mm]\bruch{25}{3}[/mm] = 10 LE
>
> Stimmt das?
Von der Idee her: ja!
Aber wie gesagt: Die Länge des Normalenvektors stimmt nicht!
Also: Nochmal nachrechnen!
> und dann noch eine 2. Frage: Wenn ich den Abstand zwischen
> einem Punkt und einer Ebene berechne, kann ich das ja
> entweder mit einer Hilfsebene durch den punkt und parralel
> zur Ebene machen, oder einfach in die HNF einsetzen. Wenn
> ich die HNF benutze, dann kann ja ein positives oder
> negatives Ergebnis rauskommen (vom betrag her allerdings
> gleich). wenn es negativ ist, liegen der Ursprung und der
> punkt auf derselben seite der Ebene, wenn es positiv ist,
> liegen ursprung und punkt auf verschiedenen seiten,
> richtig?
Richtig!
> Mein Problem ist jetzt nur, kann ich die lage des punktes
> auch herausbekommen, wenn ich den Abstand mit Hilfe der
> Hilfsebene berechne?
Die Methode kenn' ich nicht! (Wo hast Du das gelernt?!)
Würd' ich wohl auch nicht verwenden, denn die HNF-Methode ist doch die einfachst-mögliche! (M.E. EINZIGE brauchbare Alternative: Senkrechte Gerade durch den Punkt P legen, mit der Ebene schneiden; Abstand des Schnittpunktes S zum Punkt P ist gleich dem Abstand des Punktes P zur Ebene E.)
mfG!
Zwerglein
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