Lage von Geraden im Raum < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Mo 31.03.2008 | | Autor: | miezi |
| Aufgabe | untersuche wie folgende geraden im raum zueinander liegen:
h: [mm] \overrightarrow{OX} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ -1 \\ -2} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{-4 \\ 4 \\ -2}
[/mm]
k: [mm] \overrightarrow{OX} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ -1 \\ 3} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{3 \\ -1 \\ -2} [/mm] |
huhu!
Alsooo... wir schreiben morgen eine matheklausur und da wollte ich nochmal ein wenig üben. Im Mathebuch steht die aufgabe in einer Übungsklausur. Die lösungen stehen hinten im Buch.
Bis jetzt habe ich von dieser Aufgabe alles richtig gerechnet, nur bei diesen beiden Geraden kommt bei mir was anderes raus. Im Buch steht, sie müssten Windschief sein, aber ich habe da rausbekommen, dass sie einen Schnittpunkt haben oO
denn wenn ich die geraden gleich setze (mit lambda und nü oder mü keine ahnung wie das heißt), dann habe ich ja irgendwann raus, was lambda und was nü ist. und wenn ich dann die werte davon einsetze kommt auf beiden seiten [mm] 2\bruch{1}{3} [/mm] raus, was ja heißen muss, dass sie sich schneiden!
Als Schnittpunkt habe ich S(19 [mm] \bruch{1}{3} [/mm] / -15 [mm] \bruch{2}{3} [/mm] / 5 [mm] \bruch{1}{3} [/mm] ) raus. Kann das sein? Ich weiß es nicht...... Vielleicht bin icha cuh einfach nur doof.
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Hey,
wenn man zwei Geraden gleichsetzt hat man ja immer drei Gleichungen und nur zwei Unbekannte [mm] (\lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] (=mü)). Hast du bei deinen Umformungen wirklich alle drei Gleichungen verwendet? Es kann auch passieren, dass mit Hilfe der ersten und zweiten Gleichung ein Ergebnis für [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] bekommst ohne die dritte Gleichung zu verwenden. Dann musst du diese Werte noch in der dritten Gleichung überprüfen. Wenn da ein Widerspruch raus kommt gibt es keine Lösung und die Geraden liegen Windschief.
Falls du keinen Fehler findest, musst du wohl leider mal deine ganze Rechnung hier schreiben, damit wir den Fehler finden können.
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Mo 31.03.2008 | | Autor: | miezi |
hmm mit 3 geraden war da nichts, zumind haben wir es nie so mit 3 gleichzeitig gemacht.
Ich schreib einfach mal meine rechnung hier hin, weil ich so auchh nix mehr finde...
also:
[mm] \vektor{5 \\ -1 \\ -2} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{-4 \\ 4 \\ -2} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ -1 \\ 3} [/mm] + [mm] \mu \vektor{3 \\ -1 \\ -2}
[/mm]
Dann gleichungssystem (ich finde nicht wie man das hier eingeben muss ich schreibs einfach so auf)
I: 5 + [mm] \lambda [/mm] (-4) = -2 + [mm] \mu [/mm] 3
II: -1 + [mm] \lambda [/mm] 4 = -1 + [mm] \mu [/mm] (-1)
III: -2 + [mm] \lambda [/mm] (-2) = 3 + [mm] \mu [/mm] (-2)
I: 7 + [mm] \lambda [/mm] (-4) = [mm] \mu [/mm] 3
II: [mm] \lambda [/mm] 4 = [mm] \mu [/mm] (-1)
III: -5 + [mm] \lambda [/mm] (-2) = [mm] \mu [/mm] (-2)
dann additionsverfahren angewendet:
I & II: 7 = [mm] \mu [/mm] 3
III: -5 + [mm] \lambda [/mm] (-2) = [mm] \mu [/mm] (-2)
7 = [mm] \mu [/mm] 3
2 [mm] \bruch{1}{3} [/mm] = [mm] \mu
[/mm]
-5 + [mm] \lambda [/mm] (-2) = 2 [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] (-2 ) = 7 [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] = -3 [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
-5 + ( -3 [mm] \bruch{2}{3} [/mm] ) (-2) = 2 [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
-5 + 7 [mm] \bruch{1}{3} [/mm] = 2 [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
2 [mm] \bruch{1}{3} [/mm] = 2 [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
=> sie schneiden sich
Schnittpunkt ausrechnen:
[mm] \vektor{5 \\ -1 \\ -2} [/mm] + ( -3 [mm] \bruch{2}{3}) \vektor{-4 \\ 4 \\ -2} [/mm]
= [mm] \vektor{5 \\ -1 \\ -2} [/mm] + [mm] \vektor{14 \bruch{2}{3} \\ -14 \bruch{2}{3} \\ 7 \bruch{1}{3}}
[/mm]
= [mm] \vektor{19 \bruch{2}{3} \\ -15 \bruch{2}{3} \\ 5 \bruch{1}{3}}
[/mm]
Schnittpunkt:
S(19 [mm] \bruch{2}{3} [/mm] / -15 [mm] \bruch{2}{3} [/mm] / 5 [mm] \bruch{1}{3} [/mm] )
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> hmm mit 3 geraden war da nichts, zumind haben wir es nie so
> mit 3 gleichzeitig gemacht.
Ich rede nicht von 3 Geraden sondern von den drei Gleichungen. Mehr dazu unten.
> Ich schreib einfach mal meine rechnung hier hin, weil ich
> so auchh nix mehr finde...
>
> also:
>
> [mm]\vektor{5 \\ -1 \\ -2}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{-4 \\ 4 \\ -2}[/mm] =
> [mm]\vektor{-2 \\ -1 \\ 3}[/mm] + [mm]\mu \vektor{3 \\ -1 \\ -2}[/mm]
>
> Dann gleichungssystem (ich finde nicht wie man das hier
> eingeben muss ich schreibs einfach so auf)
>
> I: 5 + [mm]\lambda[/mm] (-4) = -2 + [mm]\mu[/mm] 3
> II: -1 + [mm]\lambda[/mm] 4 = -1 + [mm]\mu[/mm] (-1)
> III: -2 + [mm]\lambda[/mm] (-2) = 3 + [mm]\mu[/mm] (-2)
>
Hier hast du doch deine 3 Gleichungen 
> I: 7 + [mm]\lambda[/mm] (-4) = [mm]\mu[/mm] 3
> II: [mm]\lambda[/mm] 4 = [mm]\mu[/mm] (-1)
> III: -5 + [mm]\lambda[/mm] (-2) = [mm]\mu[/mm] (-2)
>
> dann additionsverfahren angewendet:
>
> I & II: 7 = [mm]\mu[/mm] 3
Da sollte [mm] 7=2\mu [/mm] rauskommen. D.h. [mm] \mu=\frac{7}{2}
[/mm]
> III: -5 + [mm]\lambda[/mm] (-2) = [mm]\mu[/mm] (-2)
>
> 7 = [mm]\mu[/mm] 3
> 2 [mm]\bruch{1}{3}[/mm] = [mm]\mu[/mm]
>
> -5 + [mm]\lambda[/mm] (-2) = 2 [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> [mm]\lambda[/mm] (-2 ) = 7 [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> [mm]\lambda[/mm] = -3 [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
[mm] \lambda [/mm] ist dann auf Grund des Fehlers von oben = 1
>
> -5 + ( -3 [mm]\bruch{2}{3}[/mm] ) (-2) = 2 [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> -5 + 7 [mm]\bruch{1}{3}[/mm] = 2 [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> 2 [mm]\bruch{1}{3}[/mm] = 2 [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
Nein, du musst die beiden Werte nun noch in der 1. Gleichung überprüfen. Denn diese Gleichung hast du bisher noch nicht verwendet. Und dann wirst du feststellen, dass die beiden Werte nicht passen. Also gibt es keine Lösung und somit sind die Geraden windschief.
> => sie schneiden sich
>
> Schnittpunkt ausrechnen:
>
> [mm]\vektor{5 \\ -1 \\ -2}[/mm] + ( -3 [mm]\bruch{2}{3}) \vektor{-4 \\ 4 \\ -2}[/mm]
> = [mm]\vektor{5 \\ -1 \\ -2}[/mm] + [mm]\vektor{14 \bruch{2}{3} \\ -14 \bruch{2}{3} \\ 7 \bruch{1}{3}}[/mm]
>
> = [mm]\vektor{19 \bruch{2}{3} \\ -15 \bruch{2}{3} \\ 5 \bruch{1}{3}}[/mm]
>
> Schnittpunkt:
>
> S(19 [mm]\bruch{2}{3}[/mm] / -15 [mm]\bruch{2}{3}[/mm] / 5 [mm]\bruch{1}{3}[/mm] )
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