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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Fr 05.03.2010 | | Autor: | Flo18 |
| Aufgabe | geg.: g1: [mm] \vec{x}=\vec{0A}+\lambda*\vec{u}=\vektor{2 \\ 2 \\ 1}+\lambda*\vektor{9 \\ -3 \\ 6}
[/mm]
g2: [mm] \vec{y}=\vec{0B}+\mu*\vec{v}=\vektor{-4 \\ 4 \\ -3}+\mu*\vektor{-6 \\ 2 \\ -4} [/mm]
Bestimmen Sie die Lagebeziehung der beiden Geraden. |
Nach dem Gleichsetzen und Umstellen, bekomme ich folgende Koeffizientenmatrix: [mm] \pmat{ -6 & -9 & 6\\ 2 & 3 & -2\\ 6 & -2 & 4}.
[/mm]
Diese lasse ich nun vom GTR (grafikfähiger Taschenrechner) diagonalisieren.
Ich erhalte folgendes Ergebnis: [mm] \pmat{ 1 & 1,5 & -1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
Muss ich dies als "keine Lösung" (=Geraden sind entweder parallel oder windschief) oder "unendlich viele Lösungen" (=Geraden sind identisch. Apropos: Ist hier der Denkfehler?!) interpretieren.
Und dann wäre nopch eine leicht verständlich Erklärung super toll!
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Hallo!
> geg.: g1: [mm]\vec{x}=\vec{0A}+\lambda*\vec{u}=\vektor{2 \\ 2 \\ 1}+\lambda*\vektor{9 \\ -3 \\ 6}[/mm]
>
> g2: [mm]\vec{y}=\vec{0B}+\mu*\vec{v}=\vektor{-4 \\ 4 \\ -3}+\mu*\vektor{-6 \\ 2 \\ -4}[/mm]
Wenn du die Lagebeziehung zweier Geraden untersuchst,
solltest du immer zuerst schauen, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind oder nicht (also ob sie Vielfache voneinander sind).
Ist das der Fall, bedeutet das zunächst, dass sie in dieselbe Richtung zeigen.
Dann bleiben nur die Möglichkeiten "identisch" oder "parallel (aber nicht identisch)".
Das überprüfst du nun einfach durch eine Punktprobe. Du testest, ob der Ortsvektor der einen Geraden auf der anderen Geraden liegt.
Sollte das der Fall sein, so sind die Geraden identisch. (Wenn sie parallel, aber nicht identisch wären, hätten sie keinen einzigen Punkt gemeinsam).
Bei dir sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander, du solltest nun also obiges überprüfen.
Sollten die Richtunsvektoren nicht Vielfache voneinander sein, DANN beginnst du mit der Koeffizientenmatrix, vorher aber nicht! Das ist nämlich viel mehr Arbeit.
> Bestimmen Sie die Lagebeziehung der beiden Geraden.
> Nach dem Gleichsetzen und Umstellen, bekomme ich folgende
> Koeffizientenmatrix: [mm]\pmat{ -6 & -9 & 6\\ 2 & 3 & -2\\ 6 & -2 & 4}.[/mm]
Mir ist nicht ganz klar, wie du auf diese Matrix gekommen bist.
Die letzte Zeile ist irgendwie seltsam, und auch die Vorzeichen stimmen nicht ganz.
> Diese lasse ich nun vom GTR (grafikfähiger Taschenrechner)
> diagonalisieren.
>
> Ich erhalte folgendes Ergebnis: [mm]\pmat{ 1 & 1,5 & -1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> Muss ich dies als "keine Lösung" (=Geraden sind entweder
> parallel oder windschief) oder "unendlich viele Lösungen"
> (=Geraden sind identisch. Apropos: Ist hier der
> Denkfehler?!) interpretieren.
Wenn das am Ende wirklich rauskommen würde (wovon ich noch nicht ganz überzeugt bin, siehe meine Bemerkung zur Koeffizientenmatrix), dann würde das bedeuten, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat. (Denn: Es bleibt nur eine Zeile übrig, die keine Nullzeile ist. Wenn du diese Zeile jetzt von der "Koeffizientenmatrixschreibweise" wieder in die normale "Gleichungsschreibweise" überführst, steht da:
[mm] $\mu+1.5*\lambda [/mm] = -1$
Du hast also zwei Unbekannte, aber nur eine Gleichung --> unendlich viele Lösungen).
Wenn du die Geraden gleichsetzt, und es dann für die beiden Parameter [mm] \lambd [/mm] a und [mm] \mu [/mm] unendlich viele Lösungen gibt, bedeutet das, dass die Geraden unendlich viele Punkte gemeinsam haben, also identisch sind.
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Wenn nach Umformen des Gleichungssystems eine Zeile entstehen würde, die die Form
"0 0 1"
hätte, also in Gleichungssschreibweise
[mm] 0*\mu [/mm] + [mm] 0*\lambda [/mm] = 1,
was nichts anderes als 0 = 1 bedeutet, dann hätte das Gleichungssystem keine Lösung, weil eine Lösung des Gleichungssystems auch die unmögliche Bedingung 0 = 1 erfüllen müsste.
Das würde dann bedeuten, dass die Geraden keinen gemeinsamen Punkt hätten, also entweder windschief oder parallel sind.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Fr 05.03.2010 | | Autor: | Flo18 |
damn, ich hatte die letzte Zeile der Koeffizientenmatrix irgendwie falsch abgetippt! Korrekt muss sie natürlich -4 -6 4 heißen!
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Hallo,
> damn, ich hatte die letzte Zeile der Koeffizientenmatrix
> irgendwie falsch abgetippt! Korrekt muss sie natürlich -4
> -6 4 heißen!
dann stimmt's.
Grüße,
Stefan
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