Lagebez. Geradenschar u. Ebene < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | In einem Koordinatensystem sin die Ebene E: x-y+3z=13 und die Geradenschar g: [mm] \vec{x}= \vektor{-7 \\ 13 \\ 7}+t \vektor{3k \\ 5-k \\ 1} [/mm] gegeben.
Untersuchen Sie die lagebeziehung der Geradenschar g zur Ebene E. |
Hallo,
ich muss leider diese Aufgabe lösen und ich habe keinerlei Ahnung wie ich mit dem k umgehen muss. :(
Könnt ihr mir ein paar Tipps geben wie ich an diese Aufgabe rausgehen sollte?
Vielen Dank im Voraus,
Biene
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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Hi, Biene,
Tipp:
Zunächst könntest Du mal damit anfangen, zu überprüfen, für welchen Wert von k die zugehörige Gerade parallel zur Ebene E liegt.
Dazu musst Du Dir klar machen, was das für die Vektoren bedeutet:
In diesem Fall müssen nämlich
- der Normalenvektor der Ebene und
- der Richtungsvektor der Geraden
AUFEINANDER SENKRECHT stehen,
d.h. das Skalarprodukt muss =0 sein.
Anschließend überprüfst Du, ob für DIESEN Wert von k die Gerade sogar in der Ebene drinliegt.
Dazu musst Du nur den Aufpunkt von g in die Ebenengleichung einsetzen:
Wahre Aussage => g liegt in E
Falsche Aussage: g und E sind echt parallel.
Für alle anderen Werte von k schneiden sich Gerade und Ebene in einem Punkt.
Weitere "gegenseitige Lagen" von g und E sind prinzipiell nicht möglich.
mfG!
Zwerglein
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Vielen Dank. Ich habe soeben eine Fallunterscheidung gemacht und stehe nun vor dem Problem, dass ich aus der Ebene eine Parameterform, zur Überprüfung ob Identisch oder echt parallel, machen muss.
Hier meine Achsenabschnittsform:
x-y+3z=13 |:13
[mm] \bruch{x}{13}- \bruch{y}{13}+ \bruch{z}{ \bruch{13}{3}}=1
[/mm]
Somit wäre Sx(13,0,0), Sy(0,-13,0) und Sz(0,0, [mm] \bruch{13}{3}).
[/mm]
In Vektorenschreibweise sieht das Ganze so aus:
[mm] \vec{x}= \pmat{ 13 \\ 0 \\ 0 }+s \pmat{ -13 \\ -13 \\ 0 }+t \pmat{ -13 \\ 0 \\ 13/3 }
[/mm]
Diese Ebene würde ich nun mit der Gerade (siehe oben) gleichsetzen und ausrechnen.
Stimmt die Parameterschreibweise?
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Hi, biene,
> Vielen Dank. Ich habe soeben eine Fallunterscheidung
> gemacht und stehe nun vor dem Problem, dass ich aus der
> Ebene eine Parameterform, zur Überprüfung ob Identisch oder
> echt parallel, machen muss.
> Hier meine Achsenabschnittsform:
>
> x-y+3z=13 |:13
> [mm]\bruch{x}{13}- \bruch{y}{13}+ \bruch{z}{ \bruch{13}{3}}=1[/mm]
>
> Somit wäre Sx(13,0,0), Sy(0,-13,0) und Sz(0,0,
> [mm]\bruch{13}{3}).[/mm]
>
> In Vektorenschreibweise sieht das Ganze so aus:
> [mm]\vec{x}= \pmat{ 13 \\ 0 \\ 0 }+s \pmat{ -13 \\ -13 \\ 0 }+t \pmat{ -13 \\ 0 \\ 13/3 }[/mm]
>
> Diese Ebene würde ich nun mit der Gerade (siehe oben)
> gleichsetzen und ausrechnen.
> Stimmt die Parameterschreibweise?
Schon, aber:
(1) die Richtungsvektoren kannst Du noch vereinfachen.
und:
(2) Wieso machst Du das so umständlich????? Weißt Du, dass Du so ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten und einem Parameter erhältst?
Kennst Du das Skalarprodukt nicht?
Macht nix!
Geht trotzdem einfacher:
Du setzt die Gerade in die Koordinatenform der Ebene ein und löst nach dem Parameter, also t, auf:
(-7 + 3kt) - (13 + t(5-k)) + 3(7 + t) = 13.
Um nach t aufzulösen, musst Du am Schluss durch (4k-2) dividieren.
Dies geht aber nur, wenn diese Klammer nicht =0 ist, also k nicht 0,5.
Ach ja: Und zur Unterscheidung, ob für k=0,5 "echte Parallelität" vorliegt oder nicht,
musst Du doch nur den Aufpunkt der Geraden, also (-7 | 13 | 7), in die Koordinatenform der Ebene einsetzen und schauen, ob eine falsche oder eine wahre Aussage rauskommt!
(PS: "Identität" gibt's bei Ebene/Gerade nicht: Eine Gerade kann nicht "identisch" mit einer Ebene sein! Sie kann nur "drinliegen".)
So: Nun schaffst Du selbst, stimmt's?!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:01 Sa 20.05.2006 | | Autor: | biene0601 |
Okay vielen Dank. :) Nun hab ich das richtige raus bekommen.
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