Lagebeziehung Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:42 Sa 06.03.2010 | | Autor: | Flo18 |
| Aufgabe | Gegeben sind zwei Eben in Parameterdarstellung (die auch so bleiben sollen):
E: [mm] \vec{x}= \vektor{1 \\ 2 \\ -3}+ \lambda*\vektor{-4 \\ 5 \\ 2}+ \mu*\vektor{4 \\ 6 \\ -3}
[/mm]
Bestimmen Sie die Lagebeziehung der beiden Ebenen.
F: [mm] \vec{y}= \vektor{5 \\ 2 \\ -1}+ r*\vektor{8 \\ 12 \\ -13}+ s*\vektor{2 \\ 7 \\ -1} [/mm] |
Zunächst würde ich die beiden Gleichungen gleichsetzen.
Dann Umformen, um eine Koeffizientenmatrix zu bilden (alternativ, aber viel zu langwierig Gleichungssystem manuell mit Gauß-Verfahren lösen).
Folgende Matrix [mm] \pmat{ -4 & 4 & -8 & -2 & 4 \\ 5 & 6 & -12 & -7 & 0 \\ 2 & -3 & 13 & 1 & 2} [/mm] diagonalisiere ich mittels GTR-Befehl rref -> [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & -0,3636 & -0,5454 \\ 0 & 1 & 0 & -1,1104 & 1,7272 \\ 0 & 0 & 1 & -0,1234 & 0,6363}
[/mm]
-> [mm] \lambda-0,3636s=-0,5454 [/mm]
-> [mm] \mu-1,1104s=1,7272
[/mm]
-> r-0,1234s=0,6363
So und wie gehts jetzt weiter?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Sa 06.03.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
in der letzten Gleichung hast du eine Beziehung zwischen zwei Parametern derselben Ebene (hier F) bestimmt.
Es gilt:
r-0,1234s=0,6363
[mm] \gdw [/mm] r=0,1234s+0,6363
Das ganze kannst du in F einsetzen, also:
[mm] \vec{x}=\vektor{5\\2\\-1}+(0,1234s+0,6363)\vektor{8\\12\\-13}+s\vektor{2\\7\\-1}
[/mm]
Wenn du das ganze noch ein bisschen ausmultiplizierst und zusammenfasst, erhältst du eine Parameterdarstellung der Schnittgeraden zwischen E und F.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Sa 06.03.2010 | | Autor: | Flo18 |
Mmh, also müsste da [mm] \vektor{5 \\ 2 \\ -1}+s\vektor{6,0776+2 \\ 9,1164+7 \\ -9,8761-1}=\vektor{5 \\ 2 \\ -1}+s\vektor{8,0776 \\ 16,1164 \\ -10,8761} [/mm] als Schnittgerade der beiden Ebenen rauskommen?
Was würde die diagonalisierte Koeffizientenmatrix denn anzeigen, wenn ich es mit zwei parallelen oder identischen Ebenen zu tun hätte?
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Hallo,
> Mmh, also müsste da [mm]\vektor{5 \\ 2 \\ -1}+s\vektor{6,0776+2 \\ 9,1164+7 \\ -9,8761-1}=\vektor{5 \\ 2 \\ -1}+s\vektor{8,0776 \\ 16,1164 \\ -10,8761}[/mm]
> als Schnittgerade der beiden Ebenen rauskommen?
Wie bist du darauf gekommen?
Ausgehend von Marius' Gleichung erhalte ich:
$ [mm] \vec{x}=\vektor{5\\2\\-1}+(0,1234s+0,6363)\vektor{8\\12\\-13}+s\vektor{2\\7\\-1} [/mm] $
$= [mm] \vektor{5\\2\\-1}+s*0,1234*\vektor{8\\12\\-13}+0,6363*\vektor{8\\12\\-13}+s\vektor{2\\7\\-1}$
[/mm]
$= [mm] \vektor{5\\2\\-1}+s*\vektor{0,9872\\1,4808\\-1.6042}+\vektor{5,0904\\7,6356\\-8,2719}+s\vektor{2\\7\\-1}$
[/mm]
Nun noch die Teile mit s und ohne s zusammenfassen.
> Was würde die diagonalisierte Koeffizientenmatrix denn
> anzeigen, wenn ich es mit zwei parallelen oder identischen
> Ebenen zu tun hätte?
Überlege selbst:
Du setzt zwei Ebenen gleich, und erhältst dann ein Gleichungssystem in den vier Unbekannten [mm] \lambda,\mu,r,s [/mm] (Die Parameter der Ebenen).
Wenn man nach dem Lösen des Gleichungssystems einen Parameter frei wählen kann (das heißt, auch nach dem rref - Befehl des TR sind noch drei Zeilen da, die nicht Nullzeilen sind, wie in dieser Aufgabe), bedeutet das, das die Ebenen eine Gerade gemeinsam haben.
Wenn nach dem Umformen mit dem rref - Befehl hingegen Eine Zeile zur Nullzeile wird, bedeutet das, dass wird zwei Parameter frei wählen können - also?
Wenn nach dem Umformen des Gleichungssystems ein Widerspruch entsteht (zum Beispiel eine Zeile der Form
0 0 0 0 | 1
(d.h. übersetzt in Gleichungen: [mm] 0*\lambda [/mm] + [mm] 0*\mu [/mm] + 0*r + 0*s = 1), was natürlich nie erfüllt sein kann, dann hat das Gleichungssystem gar keine Lösung.
Was bedeutet das wohl?
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Sa 06.03.2010 | | Autor: | Flo18 |
Also, wenn ich es richtig verstanden habe, ist meine Schnittgerade und deine noch nicht zusammengefasste Schnittgerade identisch.
Wenn ich im GTR also einen Widerspruch erhalte, weiß ich, dass die Ebenen parallel sind, bei einer Nullzeile, sind zwei Parameter unbestimmt, was bedeutet, dass die beiden Ebenen identisch sind.
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Hallo!
> Also, wenn ich es richtig verstanden habe, ist meine
> Schnittgerade und deine noch nicht zusammengefasste
> Schnittgerade identisch.
Nein!
Du ignorierst den Teil mit dem "s" völlig und addierst die einfach zusammen. Das darf man nicht tun!
Richtig geht's so weiter:
$ = [mm] \vektor{5\\2\\-1}+s\cdot{}\vektor{0,9872\\1,4808\\-1.6042}+\vektor{5,0904\\7,6356\\-8,2719}+s\vektor{2\\7\\-1} [/mm] $
$ = [mm] \left(\vektor{5\\2\\-1}+\vektor{5,0904\\7,6356\\-8,2719}\right)+s*\left(\vektor{2\\7\\-1}+\vektor{0,9872\\1,4808\\-1.6042} \right)$
[/mm]
Siehst du den Unterschied?
> Wenn ich im GTR also einen Widerspruch erhalte, weiß ich,
> dass die Ebenen parallel sind, bei einer Nullzeile, sind
> zwei Parameter unbestimmt, was bedeutet, dass die beiden
> Ebenen identisch sind.
Genau ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Sa 06.03.2010 | | Autor: | Flo18 |
okey, also heißt die Schnittgerade [mm] \vec{a}=\vektor{10,0904 \\ 9,6356 \\ -9,2719}+s\vektor{2,9872 \\ 8,4808 \\ -2,6042}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 Sa 06.03.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ausser ein kleiner Fehler bei der Notation ist alles ok.
Die Gerade g hat die Form:
[mm] g:\vec{x}=\vektor{10,0904\\9,6356\\-9,2719}+s\vektor{2,9872\\8,4808\\-2,6042}
[/mm]
Marius
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