Lagebeziehung von zwei Ebenen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:09 Di 14.02.2012 | | Autor: | Arkathor |
| Aufgabe 1 | | Gegeben ist die Ebenenschar [mm] E_{a}:(1-2a)x+(2a-1)y+(1-2a)z=1, a\in \IR. [/mm] Zeigen Sie, dass alle Ebenen der Schar parallel zueinander verlaufen. |
| Aufgabe 2 | | Gegeben ist die Ebenenschar [mm] F_{a}:x+(1-a)y+(a-3)z=3, a\in \IR. [/mm] Zeigen Sie, dass alle Ebenen der Schar gemeinsame Trägergerade haben. Geben sie Gleichng dieser Trägergeraden. |
Hallo
Ich habe die oben genannten Aufgaben bekommen und habe diese schon klassisch (mit Linearen Gleichungs Systemen, Gleichsetzen etc.) gelöst. Da ich aber allgemein lieber Analysis mache habe ich mir zweiten Lösungsweg überlegt. Ich habe die Ebenen in Skalarfelder "umgewandelt" (nach z umgestellt) und habe den Gradienten gebildet:
[mm] E_{a}\hat=f_{a}(x,y)=z=-x+y+\bruch{1}{1-2a}
[/mm]
[mm] \nabla f_{a}(x,y)=\vektor{-1 \\ 1}
[/mm]
Hier sehe ich, dass der Anstieg dieses Feldes unabhängig von a ist, somit sind sie parallel. Mein Lehrer meinte aber das ich hier Fallunterscheidung machen müsste weil dieses Feld wäre zum Beispiel für a=0,5 nicht definiert. Er hat auch etwas von aufschreiben als Integral gesagt, meinte aber ich sollte diese ganze Sache bis zu STudium vergessen. Hat da jemand ein Angebot wie man diese Definitionslücken weg kriegt? Und die zweite Sache, bei der zweiten Aufgabe habe ich als den [mm] Anstieg:\vektor{\bruch{-1}{3-a} \\ \bruch{1-a}{3-a}} [/mm] rausgekriegt. Ich sehe, dass sie nicht parallel sein können. Wie kriege ich jetzt aber die Schnittgerade raus? Ich habe mir überlegt ich könnte für a zwei Parameter einsetzen p und r, wobei [mm] p\not=r [/mm] und diese Gleichsetzen somit hätte ich den Schnitt, aber dann habe ich nur die Z Koordinate und irgendwie bin ich mir sicher ob es so funktioniert. Kann also den Schnitt von 2 Skalarfeldern ausrechnen? Wenn ja wie?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/289565,0.html
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Hallo Arkanthor,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben ist die Ebenenschar
> [mm]E_{a}:(1-2a)x+(2a-1)y+(1-2a)z=1, a\in \IR.[/mm] Zeigen Sie, dass
> alle Ebenen der Schar parallel zueinander verlaufen.
> Gegeben ist die Ebenenschar [mm]F_{a}:x+(1-a)y+(a-3)z=3, a\in \IR.[/mm]
> Zeigen Sie, dass alle Ebenen der Schar gemeinsame
> Trägergerade haben. Geben sie Gleichng dieser
> Trägergeraden.
> Hallo
> Ich habe die oben genannten Aufgaben bekommen und habe
> diese schon klassisch (mit Linearen Gleichungs Systemen,
> Gleichsetzen etc.) gelöst. Da ich aber allgemein lieber
> Analysis mache habe ich mir zweiten Lösungsweg überlegt.
> Ich habe die Ebenen in Skalarfelder "umgewandelt" (nach z
> umgestellt) und habe den Gradienten gebildet:
> [mm]E_{a}\hat=f_{a}(x,y)=z=-x+y+\bruch{1}{1-2a}[/mm]
>
> [mm]\nabla f_{a}(x,y)=\vektor{-1 \\ 1}[/mm]
> Hier sehe ich, dass der
> Anstieg dieses Feldes unabhängig von a ist, somit sind sie
> parallel. Mein Lehrer meinte aber das ich hier
> Fallunterscheidung machen müsste weil dieses Feld wäre
> zum Beispiel für a=0,5 nicht definiert. Er hat auch etwas
> von aufschreiben als Integral gesagt, meinte aber ich
> sollte diese ganze Sache bis zu STudium vergessen. Hat da
> jemand ein Angebot wie man diese Definitionslücken weg
Deine Umwandlung funktioniert nur für [mm]1-2a \not=0[/mm].
Daher ist der Fall [mm]1-2a=0[/mm] bei der Umwandlung auszuschliessen.
> kriegt? Und die zweite Sache, bei der zweiten Aufgabe habe
> ich als den [mm]Anstieg:\vektor{\bruch{-1}{3-a} \\ \bruch{1-a}{3-a}}[/mm]
> rausgekriegt. Ich sehe, dass sie nicht parallel sein
> können. Wie kriege ich jetzt aber die Schnittgerade raus?
> Ich habe mir überlegt ich könnte für a zwei Parameter
> einsetzen p und r, wobei [mm]p\not=r[/mm] und diese Gleichsetzen
> somit hätte ich den Schnitt, aber dann habe ich nur die Z
> Koordinate und irgendwie bin ich mir sicher ob es so
> funktioniert. Kann also den Schnitt von 2 Skalarfeldern
> ausrechnen? Wenn ja wie?
>
Du bekommst hier doch y in Abhängigkeit von x.
Dieses setzt Du in ein Skalarfeld ein und erhälst eine
Funktion, die nur von x abhängig ist.
Bildeste Du hier die Parameterform, so erhältst Du die
Gleichung der Schnittgerade in Parameterform.
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/289565,0.html
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 Mi 15.02.2012 | | Autor: | Arkathor |
Zuerst danke sehr für deine Antwort, es har mir etwas geholfen. Trotzdem ist noch eine Frage offen.
Ich habe bei der Ersten Aufgabe mir den Parameter angeschaut und wenn a=0,5 dann stimmt die Ebenengleichung nicht (kommt 0=1 raus)und das Skalarfeld ist an dieser Stelle nicht definiert. So weit so gut, dann klamere ich a=0,5 einfach aus dem Definitionsbereich aus weil es existiert keine Ebene mit diesem Paramater. Aber ich habe die zweite Aufgabe so gerechnet:
[mm] f_{a}(x,y)=-\bruch{1}{3-a}x+\bruch{1-a}{3-a}y-\bruch{3}{3-a}
[/mm]
[mm] \nabla f_{a}(x,y)=\vektor{-\bruch{1}{3-a} \\ \bruch{1-a}{3-a}}
[/mm]
[mm] f_{2}(x,y)=-x-y-3
[/mm]
[mm] f_{2,5}(x,y)=-2x-3y-6
[/mm]
-x-y-3=-2x-3y-6
x=-2y-3
[mm] y=r\in\IR
[/mm]
[mm] f_{2}(-2r-3,r)=2r+3-r=z
[/mm]
z=r
g: [mm] \vec{x}=\vektor{-3 \\ 0 \\ 0}+ r\vektor{-2 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Hier kommt wahrscheinlich ein Rechenfehlerhinzu, denn im Buch steht [mm] \vec{x}=\vektor{3 \\ 0 \\ 0}+ r\vektor{2 \\ 1 \\ 1} [/mm] als Trägergerade, aber es ist nebensächlich. Bei dieser Schar habe ich nämlich das Problem das für a=3 eine Ebene existiert, die zur Schar gehört somit kann ich den Parameter nicht einfach aus dem Definitionsbereich rauschmeissen. Kennt jemand eine Lösung für diesen Problem (klassisch mit Ebenengleichungen rechnen will ich nicht)? Es kann schon ruhig etwas komplizierter sein.
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Hallo Arkanthor,
> Zuerst danke sehr für deine Antwort, es har mir etwas
> geholfen. Trotzdem ist noch eine Frage offen.
>
> Ich habe bei der Ersten Aufgabe mir den Parameter
> angeschaut und wenn a=0,5 dann stimmt die Ebenengleichung
> nicht (kommt 0=1 raus)und das Skalarfeld ist an dieser
> Stelle nicht definiert. So weit so gut, dann klamere ich
> a=0,5 einfach aus dem Definitionsbereich aus weil es
> existiert keine Ebene mit diesem Paramater. Aber ich habe
> die zweite Aufgabe so gerechnet:
>
> [mm]f_{a}(x,y)=-\bruch{1}{3-a}x+\bruch{1-a}{3-a}y-\bruch{3}{3-a}[/mm]
>
> [mm]\nabla f_{a}(x,y)=\vektor{-\bruch{1}{3-a} \\ \bruch{1-a}{3-a}}[/mm]
>
> [mm]f_{2}(x,y)=-x-y-3[/mm]
Hier muss es doch lauten:
[mm]f_{2}(x,y)=-x\red{+}y-3[/mm]
> [mm]f_{2,5}(x,y)=-2x-3y-6[/mm]
Hier ebenso:
[mm]f_{2,5}(x,y)=\red{+}2x-3y-6[/mm]
> -x-y-3=-2x-3y-6
> x=-2y-3
> [mm]y=r\in\IR[/mm]
> [mm]f_{2}(-2r-3,r)=2r+3-r=z[/mm]
> z=r
> g: [mm]\vec{x}=\vektor{-3 \\ 0 \\ 0}+ r\vektor{-2 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> Hier kommt wahrscheinlich ein Rechenfehlerhinzu, denn im
> Buch steht [mm]\vec{x}=\vektor{3 \\ 0 \\ 0}+ r\vektor{2 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> als Trägergerade, aber es ist nebensächlich. Bei dieser
> Schar habe ich nämlich das Problem das für a=3 eine Ebene
> existiert, die zur Schar gehört somit kann ich den
> Parameter nicht einfach aus dem Definitionsbereich
> rauschmeissen. Kennt jemand eine Lösung für diesen
> Problem (klassisch mit Ebenengleichungen rechnen will ich
> nicht)? Es kann schon ruhig etwas komplizierter sein.
Nun, dann musst Du nach der Variablen y auflösen, da [mm]1-3 \not=0[/mm]
Um keine Fallunterscheidung hinsichtlich des Parameters a
machen zu müssen, wäre es besser gewesen, die Ebenen-
gleichung nach x aufzulösen.
Gruss
MathePower
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