Lager zweier Ebenen zueinander < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 So 09.01.2005 | | Autor: | Saby |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi,
ich habe ein Problem mit dem Gebiet "die Lage zweier Ebenen zueinander".
Ich hab mich zwar über die Regeln der Ebenen informiert und denke sie auch verstanden zu haben, nur leider finde ich nirgends eine vernünftige Beispielaufgabe mit kompletten Lösungsweg, bei dem beide Ebenen in Punkt-Richtungs-Form gegeben sind. Die Übungsaufgabe in meinem Schulbuch ist soweit ich es weiß falsch (wie auch immer so was passieren kann).
Wäre nett wenn mir jemand eine komplette Aufgabe mit Lösungsweg posten könnte oder vielleicht linken wo eine zu finden ist, damit ich das Thema mal richtig nachvollziehen kann.
Danke im voraus
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Für ne komplette Aufgabe hab ich leider keine Zeit, aber ich kann dir hier mal schnell die Vorgehensweise erklären.
Es gibt 3 Möglichkeiten, wie 2 Ebenen zueinander liegen können: identisch, parallel, oder keins von beiden, und sie haben eine Schnittgerade.
Du wirst jetzt die Richtungsvektoren der beiden Ebenen untersuchen.
Mit diesen 4 Vektoren machst du jetzt folgendes: du schreibst sie in eine Matrix (in Zeilen oder Spalten ist egal) und formst sie um, wie ein "normales" LGS. Wenn dann darin zwei Zeilen rausfallen, dann gibt es 2 Möglichkeiten: die Ebenen sind parallel, oder identisch.
Diese 2 Fälle sind leicht zu unterscheiden: du prüfst einfach, ob der Aufpunkt (also der Stützvektor-Punkt) der einen Ebene auf der anderen draufliegt. Wenn ja, sind sie identisch, wenn nicht, dann parallel.
Und wenn in dem LGS nur eine Zeile rausfällt, dann sind die Vektoren lin. unabhängig, und in dem Fall besitzen die Ebenen eine Schnittgerade.
Mit Bildchen ist das einfacher nachzuvollziehen, ich hab da eins in nem alten Lambacher-Schweitzer-Buch gefunden.
Drunter hängen auch noch ein paar Aufgaben dran, die kannst ja mal probieren, und bei Schwierigkeiten dazu Fragen stellen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Eine einfachere Methode ergibt sich mit Hilfe der Normalenvektoren, bzw. der Koordinatenform. Habt ihr das schon gehabt?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 So 09.01.2005 | | Autor: | Saby |
Hi, also erstmal danke für Deine schnelle Antwort.
"Eine einfachere Methode ergibt sich mit Hilfe der Normalenvektoren, bzw. der Koordinatenform. Habt ihr das schon gehabt?" <-- Nein wir sollen uns die Ebenen in Parameterform bzw. Punkt-Richtung-Form anschauen, deswegen kann ich auch mit den meißten Aufgaben die ich über google finde nichts anfangen.
Zu den Aufgaben a,b,c,d. C hat hat ja keine Stützvektoren, rechnet man das genau als hätten die beiden welche? Ist das dann überhaupt eine bzw sind das 2 Ebenen? Ich habe versucht a,b und d auszurechnen, kann es sein, dass sich alle 3 nicht schneiden?
Danke im voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 So 09.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Saby,
auch Dir natürlich ein ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Zu den "fehlenden" Stützvektoren kann man sagen, daß wir sonst in der Mathematik (i. allg.) auch keine "+ 0" hinschreiben ...
Beide Ebenen habe also den "Stützvektor" [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}, [/mm] sprich: sie gehen beide durch den Ursprung.
Loddar
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Hab die 4 Aufgaben grad durchgerechnet.
> Zu den Aufgaben a,b,c,d. C hat hat ja keine Stützvektoren,
> rechnet man das genau als hätten die beiden welche? Ist das
> dann überhaupt eine bzw sind das 2 Ebenen?
Ja, das sind auch 2 Ebenen. Der Stützvektor wurde jeweils [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] gewählt, d.h. beide gehen durch den Koordinatenursprung.
Somit fällt auch die Möglichkeit "parallel" flach, entweder schneiden die sich also, oder sie sind identisch.
> Ich habe
> versucht a,b und d auszurechnen, kann es sein, dass sich
> alle 3 nicht schneiden?
Meine Ergebnisse:
a) parallel
b) Schnittgerade
c) Schnittgerade
d) identisch
Kannst deine Lösungswege ja mal posten, damit wir mal schauen können, wo der Fehler liegt. Allerdings werde ich heute Abend möglicherweise keine Zeit mehr haben...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 So 09.01.2005 | | Autor: | Saby |
Hi,
tut mir leid dass ich jetzt nicht dazu komme noch den ganzen Lösungsweg rein zuschreiben, wenn nötig werde ich es Morgen sofort nachholen, ist nur gerade wichtig zu wissen ob das Ergebnis stimmt!!
Ich habe nun b noch einmal durchgerechnet und kam dann für E1 zu dem Ergebnis
[mm] \vektor{4 \\ 3 \\ 3} [/mm] + t [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
und in der Probe für E2 kam dasselbe raus.
Ist das nun richtig (hoffentlich) ?
Danke schon mal :)
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Die Gleichung deiner Schnittgerade stimmt - das Prinzip scheinst du ja verstanden zu haben 
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