Lagrange-Ansatz < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Do 09.09.2010 | | Autor: | mvs |
| Aufgabe | Berechnen Sie mit Hilfe des Langrange-Ansatzes das Maximum und das Minimum der Funktion f(x,y) = [mm] x^{2}*y
[/mm]
unter der Nebenbedinung [mm] 2x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] = 3.
Warum existieren die gesuchten Extremwerte? |
Hallo, ist jemand so nett und könnte hierauf einen Blick werfen, ob das stimmt. Nach mehrmaligen Rechnen bin ich auf dieses Ergebnis gekommen:
L(x,y,λ) = [mm] x^{2}*y [/mm] + [mm] λ*(2x^{2} [/mm] + [mm] y^{2}-3)
[/mm]
[mm] \bruch{dL}{dx}: [/mm] 2xy + 4xλ = 0 (1)
[mm] \bruch{dL}{dy}: x^{2} [/mm] + 2yλ = 0 (2)
[mm] \bruch{dL}{dλ}: 2x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] - 3 = 0 (3)
(2) [mm] x^{2} [/mm] + 2yλ = 0 | - [mm] x^{2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 2yλ = - [mm] x^{2} [/mm] | : 2λ
[mm] \Rightarrow [/mm] y= [mm] \bruch{- x^{2}}{2λ} [/mm] (4)
(4) in (1): [mm] 2x*(\bruch{- x^{2}}{2λ}) [/mm] + 4xλ = 0
[mm] \gdw \bruch{- 2x^{3}}{2λ} [/mm] + 4xλ = 0
[mm] \gdw \bruch{- x^{3}}{λ} [/mm] + 4xλ = 0
[mm] \gdw \bruch{- x^{3}+ 4xλ^{2}}{λ} [/mm] = 0 | *λ
[mm] \gdw [/mm] - [mm] x^{3}+ [/mm] 4xλ^{2} = 0
[mm] \gdw -x*(x^{2}- [/mm] 4λ^{2}) = 0 | : (-x)
[mm] \gdw x^{2}- [/mm] 4λ^{2} = 0 | +4λ^{2}
[mm] \gdw x^{2} [/mm] = 4λ^{2} | [mm] \wurzel
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] |x| = 2λ
[mm] \Rightarrow [/mm] x= 2λ [mm] \vee [/mm] x= -2λ (5)
(5) in (1):
1) x= 2λ
2*2λ*y + 4λ*2λ = 0
[mm] \gdw [/mm] 4λ*y + 8λ^{2} = 0 | - 8λ^{2}
[mm] \gdw [/mm] 4λ*y = - 8λ^{2} | : 4λ
[mm] \Rightarrow [/mm] y = - 2λ
2) x= -2λ
2*-2λ*y + 4λ*-2λ = 0
[mm] \gdw [/mm] -4λ*y - 8λ^{2} = 0 | + 8λ^{2}
[mm] \gdw [/mm] -4λ*y = 8λ^{2} | : -4λ
[mm] \Rightarrow [/mm] y = - 2λ (6)
(6) in (3):
[mm] 2x^{2}+ [/mm] (- [mm] 2λ)^{2} [/mm] - 3 = 0
[mm] \Rightarrow 2x^{2} [/mm] + 4λ^{2} - 3 = 0 (7)
(5) in (7):
[mm] 2*(2λ)^{2} [/mm] + 4λ^{2} - 3 = 0
[mm] \gdw [/mm] 2* 4λ^{2} + 4λ^{2} - 3 = 0
[mm] \gdw [/mm] 8λ^{2} + 4λ^{2} - 3 = 0
[mm] \gdw [/mm] 12λ^{2} - 3 = 0 | +3
[mm] \gdw [/mm] 12λ^{2} = 3 | :12
[mm] \gdw [/mm] λ^{2} = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] | [mm] \wurzel
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] |λ| = [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] λ = [mm] \bruch{1}{2} \vee [/mm] λ = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] (8)
(8) in (5):
[mm] x=2*\bruch{1}{2} \vee [/mm] x = 2* [mm] -\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x=1 [mm] \vee [/mm] x= -1
(8) in (6):
[mm] y=-2*\bruch{1}{2} \vee [/mm] y = -2* [mm] -\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] y= -1 [mm] \vee [/mm] y= 1
[mm] \Rightarrow [/mm] P(1/-1), Q(1/1), R(-1/1), S(-1/-1)
f(P) = [mm] 1^{2} [/mm] * (-1) = -1
f(Q) = [mm] 1^{2} [/mm] * 1 = 1
f(R) = [mm] -1^{2} [/mm] * 1 = 1
f(S) = [mm] -1^{2} [/mm] * (-1) = -1
[mm] \Rightarrow [/mm] P(1/-1) [mm] \wedge [/mm] S(-1/-1) absolute Tiefpunkte
[mm] \Rightarrow [/mm] Q(1/1) [mm] \wedge [/mm] R(-1/1) absolute Hochpunkte
Das 4 Extremwerte herauskommen irritiert mich etwas.
Auch die Verbalfrage "Warum existieren die gesuchten Extremwerte?" kann ich so nicht beantworten.
Danke im voraus
lg Michael
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 Do 09.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie mit Hilfe des Langrange-Ansatzes das Maximum
> und das Minimum der Funktion f(x,y) = [mm]x^{2}*y[/mm]
> unter der Nebenbedinung [mm]2x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] = 3.
> Warum existieren die gesuchten Extremwerte?
> Hallo, ist jemand so nett und könnte hierauf einen Blick
> werfen, ob das stimmt. Nach mehrmaligen Rechnen bin ich auf
> dieses Ergebnis gekommen:
>
> L(x,y,λ) = [mm]x^{2}*y[/mm] + [mm]λ*(2x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}-3)[/mm]
>
> [mm]\bruch{dL}{dx}:[/mm] 2xy + 4xλ = 0 (1)
> [mm]\bruch{dL}{dy}: x^{2}[/mm] + 2yλ = 0 (2)
> [mm]\bruch{dL}{dλ}: 2x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] - 3 = 0 (3)
>
> (2) [mm]x^{2}[/mm] + 2yλ = 0 | - [mm]x^{2}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] 2yλ = - [mm]x^{2}[/mm] | : 2λ
> [mm]\Rightarrow[/mm] y= [mm]\bruch{- x^{2}}{2λ}[/mm] (4)
>
> (4) in (1): [mm]2x*(\bruch{- x^{2}}{2λ})[/mm] + 4xλ = 0
> [mm]\gdw \bruch{- 2x^{3}}{2λ}[/mm] + 4xλ = 0
> [mm]\gdw \bruch{- x^{3}}{λ}[/mm] + 4xλ = 0
> [mm]\gdw \bruch{- x^{3}+ 4xλ^{2}}{λ}[/mm] = 0 | *λ
> [mm]\gdw[/mm] - [mm]x^{3}+[/mm] 4xλ^{2} = 0
> [mm]\gdw -x*(x^{2}-[/mm] 4λ^{2}) = 0 | : (-x)
> [mm]\gdw x^{2}-[/mm] 4λ^{2} = 0 | +4λ^{2}
> [mm]\gdw x^{2}[/mm] = 4λ^{2} | [mm]\wurzel[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] |x| = 2λ
> [mm]\Rightarrow[/mm] x= 2λ [mm]\vee[/mm] x= -2λ (5)
>
> (5) in (1):
>
> 1) x= 2λ
>
> 2*2λ*y + 4λ*2λ = 0
> [mm]\gdw[/mm] 4λ*y + 8λ^{2} = 0 | - 8λ^{2}
> [mm]\gdw[/mm] 4λ*y = - 8λ^{2} | : 4λ
> [mm]\Rightarrow[/mm] y = - 2λ
>
> 2) x= -2λ
>
> 2*-2λ*y + 4λ*-2λ = 0
> [mm]\gdw[/mm] -4λ*y - 8λ^{2} = 0 | + 8λ^{2}
> [mm]\gdw[/mm] -4λ*y = 8λ^{2} | : -4λ
> [mm]\Rightarrow[/mm] y = - 2λ (6)
>
> (6) in (3):
>
> [mm]2x^{2}+[/mm] (- [mm]2λ)^{2}[/mm] - 3 = 0
> [mm]\Rightarrow 2x^{2}[/mm] + 4λ^{2} - 3 = 0 (7)
>
> (5) in (7):
>
> [mm]2*(2λ)^{2}[/mm] + 4λ^{2} - 3 = 0
> [mm]\gdw[/mm] 2* 4λ^{2} + 4λ^{2} - 3 = 0
> [mm]\gdw[/mm] 8λ^{2} + 4λ^{2} - 3 = 0
> [mm]\gdw[/mm] 12λ^{2} - 3 = 0 | +3
> [mm]\gdw[/mm] 12λ^{2} = 3 | :12
> [mm]\gdw[/mm] λ^{2} = [mm]\bruch{1}{4}[/mm] | [mm]\wurzel[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] |λ| = [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] λ = [mm]\bruch{1}{2} \vee[/mm] λ = [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] (8)
>
> (8) in (5):
>
> [mm]x=2*\bruch{1}{2} \vee[/mm] x = 2* [mm]-\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] x=1 [mm]\vee[/mm] x= -1
>
> (8) in (6):
>
> [mm]y=-2*\bruch{1}{2} \vee[/mm] y = -2* [mm]-\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] y= -1 [mm]\vee[/mm] y= 1
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] P(1/-1), Q(1/1), R(-1/1), S(-1/-1)
>
> f(P) = [mm]1^{2}[/mm] * (-1) = -1
> f(Q) = [mm]1^{2}[/mm] * 1 = 1
> f(R) = [mm]-1^{2}[/mm] * 1 = 1
> f(S) = [mm]-1^{2}[/mm] * (-1) = -1
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] P(1/-1) [mm]\wedge[/mm] S(-1/-1) absolute Tiefpunkte
> [mm]\Rightarrow[/mm] Q(1/1) [mm]\wedge[/mm] R(-1/1) absolute Hochpunkte
>
> Das 4 Extremwerte herauskommen irritiert mich etwas.
> Auch die Verbalfrage "Warum existieren die gesuchten
> Extremwerte?" kann ich so nicht beantworten.
Die Menge aller (x,y) mit $ [mm] 2x^{2} [/mm] $ + $ [mm] y^{2} [/mm] $ = 3 ist kompakt und f ist auf dieser Menge stetig
Hilft das ?
FRED
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> Danke im voraus
>
> lg Michael
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Do 09.09.2010 | | Autor: | mvs |
Hallo Loddar, danke erstmal, nach deiner Anmerkung sieht meine Lösung wiefolgt aus:
L(x,y,λ) = $ [mm] x^{2}\cdot{}y [/mm] $ + $ [mm] λ\cdot{}(2x^{2} [/mm] $ + $ [mm] y^{2}-3) [/mm] $
$ [mm] \bruch{dL}{dx}: [/mm] $ 2xy + 4xλ = 0 (1)
$ [mm] \bruch{dL}{dy}: x^{2} [/mm] $ + 2yλ = 0 (2)
$ [mm] \bruch{dL}{dλ}: 2x^{2} [/mm] $ + $ [mm] y^{2} [/mm] $ - 3 = 0 (3)
(2) $ [mm] x^{2} [/mm] $ + 2yλ = 0 | - $ [mm] x^{2} [/mm] $
$ [mm] \gdw [/mm] $ 2yλ = - $ [mm] x^{2} [/mm] $ | : 2λ , λ [mm] \not=0
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ y= $ [mm] \bruch{- x^{2}}{2λ} [/mm] $ (4)
(4) in (1): $ [mm] 2x\cdot{}(\bruch{- x^{2}}{2λ}) [/mm] $ + 4xλ = 0
$ [mm] \gdw \bruch{- 2x^{3}}{2λ} [/mm] $ + 4xλ = 0
$ [mm] \gdw \bruch{- x^{3}}{λ} [/mm] $ + 4xλ = 0
$ [mm] \gdw \bruch{- x^{3}+ 4xλ^{2}}{λ} [/mm] $ = 0 | * λ , λ [mm] \not=0
[/mm]
$ [mm] \gdw [/mm] $ - $ [mm] x^{3}+ [/mm] $ 4xλ^{2} = 0
$ [mm] \gdw -x\cdot{}(x^{2}- [/mm] $ 4λ^{2}) = 0 | : (-x) , , x [mm] \not=0
[/mm]
$ [mm] \gdw x^{2}- [/mm] $ 4λ^{2} = 0 | +4λ^{2}
$ [mm] \gdw x^{2} [/mm] $ = 4λ^{2} | $ [mm] \wurzel [/mm] $
$ [mm] \gdw [/mm] $ |x| = 2λ
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ x= 2λ $ [mm] \vee [/mm] $ x= -2λ (5)
(5) in (1):
1) x= 2λ
2*2λ*y + 4λ*2λ = 0
$ [mm] \gdw [/mm] $ 4λ*y + 8λ^{2} = 0 | - 8λ^{2}
$ [mm] \gdw [/mm] $ 4λ*y = - 8λ^{2} | : 4λ , λ [mm] \not=0
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ y = - 2λ
2) x= -2λ
2*-2λ*y + 4λ*-2λ = 0
$ [mm] \gdw [/mm] $ -4λ*y - 8λ^{2} = 0 | + 8λ^{2}
$ [mm] \gdw [/mm] $ -4λ*y = 8λ^{2} | : -4λ, λ [mm] \not=0
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ y = - 2λ (6)
(6) in (3):
$ [mm] 2x^{2}+ [/mm] $ (- $ [mm] 2λ)^{2} [/mm] $ - 3 = 0
$ [mm] \Rightarrow 2x^{2} [/mm] $ + 4λ^{2} - 3 = 0 (7)
(5) in (7):
$ [mm] 2\cdot{}(2λ)^{2} [/mm] $ + 4λ^{2} - 3 = 0
$ [mm] \gdw [/mm] $ 2* 4λ^{2} + 4λ^{2} - 3 = 0
$ [mm] \gdw [/mm] $ 8λ^{2} + 4λ^{2} - 3 = 0
$ [mm] \gdw [/mm] $ 12λ^{2} - 3 = 0 | +3
$ [mm] \gdw [/mm] $ 12λ^{2} = 3 | :12
$ [mm] \gdw [/mm] $ λ^{2} = $ [mm] \bruch{1}{4} [/mm] $ | $ [mm] \wurzel [/mm] $
$ [mm] \gdw [/mm] $ |λ| = $ [mm] \bruch{1}{4} [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ λ = $ [mm] \bruch{1}{2} \vee [/mm] $ λ = $ [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] $ (8)
(8) in (5):
$ [mm] x=2\cdot{}\bruch{1}{2} \vee [/mm] $ x = 2* $ [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ x=1 $ [mm] \vee [/mm] $ x= -1
(8) in (6):
$ [mm] y=-2\cdot{}\bruch{1}{2} \vee [/mm] $ y = -2* $ [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ y= -1 $ [mm] \vee [/mm] $ y= 1
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ P(1/-1), Q(1/1), R(-1/1), S(-1/-1)
f(P) = $ [mm] 1^{2} [/mm] $*(-1) = -1
f(Q) = $ [mm] 1^{2} [/mm] $*1 = 1
f(R) = $ [mm] -1^{2} [/mm] $*1 = 1
f(S) = $ [mm] -1^{2} [/mm] $*(-1) = -1
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ P(1/-1) $ [mm] \wedge [/mm] $ S(-1/-1) absolute Tiefpunkte
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ Q(1/1) $ [mm] \wedge [/mm] $ R(-1/1) absolute Hochpunkte
Kann noch jemand die Lösung bestätigen?
> Die Menge aller (x,y) mit [mm]2x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] = 3 ist kompakt
> und f ist auf dieser Menge stetig
>
> Hilft das ?
>
> FRED
Hallo FRED,danke für deine Antwort, das hilft mir aber leider nichts :(,stehe grad bisschen aufm Schlauch, vielleicht habe ich heute einfach schon zuviel gerechnet :).
Soll das die Antwort auf die Verbalfrage sein?
gruß Michael
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Hallo mws,
> Hallo Loddar, danke erstmal, nach deiner Anmerkung sieht
> meine Lösung wiefolgt aus:
>
> L(x,y,λ) = [mm]x^{2}\cdot{}y[/mm] + [mm]λ\cdot{}(2x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}-3)[/mm]
>
> [mm]\bruch{dL}{dx}:[/mm] 2xy + 4xλ = 0 (1)
> [mm]\bruch{dL}{dy}: x^{2}[/mm] + 2yλ = 0 (2)
> [mm]\bruch{dL}{dλ}: 2x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] - 3 = 0 (3)
>
> (2) [mm]x^{2}[/mm] + 2yλ = 0 | - [mm]x^{2}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] 2yλ = - [mm]x^{2}[/mm] | : 2λ , λ [mm]\not=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] y= [mm]\bruch{- x^{2}}{2λ}[/mm] (4)
>
> (4) in (1): [mm]2x\cdot{}(\bruch{- x^{2}}{2λ})[/mm] + 4xλ = 0
> [mm]\gdw \bruch{- 2x^{3}}{2λ}[/mm] + 4xλ = 0
> [mm]\gdw \bruch{- x^{3}}{λ}[/mm] + 4xλ = 0
> [mm]\gdw \bruch{- x^{3}+ 4xλ^{2}}{λ}[/mm] = 0 | * λ , λ [mm]\not=0[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] - [mm]x^{3}+[/mm] 4xλ^{2} = 0
> [mm]\gdw -x\cdot{}(x^{2}-[/mm] 4λ^{2}) = 0 | : (-x) , , x [mm]\not=0[/mm]
> [mm]\gdw x^{2}-[/mm] 4λ^{2} = 0 | +4λ^{2}
> [mm]\gdw x^{2}[/mm] = 4λ^{2} | [mm]\wurzel[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] |x| = 2λ
> [mm]\Rightarrow[/mm] x= 2λ [mm]\vee[/mm] x= -2λ (5)
>
> (5) in (1):
>
> 1) x= 2λ
>
> 2*2λ*y + 4λ*2λ = 0
> [mm]\gdw[/mm] 4λ*y + 8λ^{2} = 0 | - 8λ^{2}
> [mm]\gdw[/mm] 4λ*y = - 8λ^{2} | : 4λ , λ [mm]\not=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] y = - 2λ
>
> 2) x= -2λ
>
> 2*-2λ*y + 4λ*-2λ = 0
> [mm]\gdw[/mm] -4λ*y - 8λ^{2} = 0 | + 8λ^{2}
> [mm]\gdw[/mm] -4λ*y = 8λ^{2} | : -4λ, λ [mm]\not=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] y = - 2λ (6)
>
> (6) in (3):
>
> [mm]2x^{2}+[/mm] (- [mm]2λ)^{2}[/mm] - 3 = 0
> [mm]\Rightarrow 2x^{2}[/mm] + 4λ^{2} - 3 = 0 (7)
>
> (5) in (7):
>
> [mm]2\cdot{}(2λ)^{2}[/mm] + 4λ^{2} - 3 = 0
> [mm]\gdw[/mm] 2* 4λ^{2} + 4λ^{2} - 3 = 0
> [mm]\gdw[/mm] 8λ^{2} + 4λ^{2} - 3 = 0
> [mm]\gdw[/mm] 12λ^{2} - 3 = 0 | +3
> [mm]\gdw[/mm] 12λ^{2} = 3 | :12
> [mm]\gdw[/mm] λ^{2} = [mm]\bruch{1}{4}[/mm] | [mm]\wurzel[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] |λ| = [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] λ = [mm]\bruch{1}{2} \vee[/mm] λ = [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] (8)
>
> (8) in (5):
>
> [mm]x=2\cdot{}\bruch{1}{2} \vee[/mm] x = 2* [mm]-\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] x=1 [mm]\vee[/mm] x= -1
>
> (8) in (6):
>
> [mm]y=-2\cdot{}\bruch{1}{2} \vee[/mm] y = -2* [mm]-\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] y= -1 [mm]\vee[/mm] y= 1
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] P(1/-1), Q(1/1), R(-1/1), S(-1/-1)
>
> f(P) = [mm]1^{2} [/mm]*(-1) = -1
> f(Q) = [mm]1^{2} [/mm]*1 = 1
> f(R) = [mm]-1^{2} [/mm]*1 = 1
> f(S) = [mm]-1^{2} [/mm]*(-1) = -1
Die bisherige Lösung stimmt.
Es gibt aber noch zwei weitere Punkte, die die Gleichungen
[mm]\bruch{dL}{dx}:[/mm] 2xy + 4xλ = 0 (1)
[mm]\bruch{dL}{dy}: x^{2}[/mm] + 2yλ = 0 (2)
[mm]\bruch{dL}{dλ}: 2x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] - 3 = 0 (3)
erfüllen.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] P(1/-1) [mm]\wedge[/mm] S(-1/-1) absolute Tiefpunkte
> [mm]\Rightarrow[/mm] Q(1/1) [mm]\wedge[/mm] R(-1/1) absolute Hochpunkte
>
> Kann noch jemand die Lösung bestätigen?
>
> > Die Menge aller (x,y) mit [mm]2x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] = 3 ist kompakt
> > und f ist auf dieser Menge stetig
> >
> > Hilft das ?
> >
> > FRED
>
> Hallo FRED,danke für deine Antwort, das hilft mir aber
> leider nichts :(,stehe grad bisschen aufm Schlauch,
> vielleicht habe ich heute einfach schon zuviel gerechnet
> :).
> Soll das die Antwort auf die Verbalfrage sein?
>
> gruß Michael
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Do 09.09.2010 | | Autor: | mvs |
ach Mensch , immer wenn ich denk, ich hab die Aufgabe gelöst, fehlt doch noch was :).
Also welche 2 weiteren Punkte es noch gibt bzw. wie ich die berechne, hab ich überhaupt keine Ahnung.
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Hallo mvs,
> ach Mensch , immer wenn ich denk, ich hab die Aufgabe
> gelöst, fehlt doch noch was :).
>
> Also welche 2 weiteren Punkte es noch gibt bzw. wie ich die
> berechne, hab ich überhaupt keine Ahnung.
Nun, aus [mm]\bruch{\partial L}{\partial x}=0[/mm] folgt
[mm]2x*\left(y+2\lambda\right)=0[/mm]
Daraus ergeben sich zwei Fälle:
i) x=0,
ii) [mm]y+2\lambda=0[/mm]
Den zweiten Fall hast Du schon erledigt.
Bleibt noch der erste Fall.
Dann folgt aus [mm]\bruch{\partial L}{\partial \lambda }=0[/mm]
[mm]y=\pm \wurzel{3}[/mm]
Mit diesen Werten folgt aus [mm]\bruch{\partial L}{\partial y}=0[/mm]
[mm]\lambda=0[/mm]
Demnach sind die zwei fehlenden Kandidaten:
[mm]\left(0, \ \pm \wurzel{3}\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Fr 10.09.2010 | | Autor: | mvs |
so habs nun komplett neu gemacht wieder und bin auf folgende Lösung gekommen:
L(x,y,λ) = $ [mm] x^{2}\cdot{}y [/mm] $ + $ [mm] λ\cdot{}(2x^{2} [/mm] $ + $ [mm] y^{2}-3) [/mm] $
$ [mm] \bruch{dL}{dx}: [/mm] $ 2xy + 4xλ = 0 (1)
$ [mm] \bruch{dL}{dy}: x^{2} [/mm] $ + 2yλ = 0 (2)
$ [mm] \bruch{dL}{dλ}: 2x^{2} [/mm] $ + $ [mm] y^{2} [/mm] $ - 3 = 0 (3)
aus (1):
2xy + 4xλ=0
[mm] \gdw [/mm] 2x*(y+2λ)=0
[mm] \gdw [/mm] 2x= 0 [mm] \vee [/mm] y+2λ=0
[mm] \Rightarrow [/mm] x=0 [mm] \vee [/mm] y= -2λ
a) x=0
aus (3):
[mm] y^{2}-3=0
[/mm]
[mm] \gdw y^{2}=3 [/mm] | [mm] \wurzel
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] y [mm] =\wurzel{3}\vee [/mm] y [mm] =-\wurzel{3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow P(0/-\wurzel{3})\wedge Q(0/\wurzel{3})
[/mm]
b) y= -2λ , x [mm] \not=0 [/mm]
aus (3):
[mm] 2x^{2}+4\lambda^{2}-3=0 [/mm] |+3
[mm] \gdw 2x^{2}+4\lambda^{2}=3 |-4\lambda^{2}
[/mm]
[mm] \gdw 2x^{2}=3-4\lambda^{2} [/mm] |:2
[mm] \gdw x^{2}=\bruch{3}{2}-2\lambda^{2}| \wurzel
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x= [mm] \wurzel{\bruch{3}{2}-2\lambda^{2}} \vee [/mm] x= - [mm] \wurzel{\bruch{3}{2}-2\lambda^{2}}
[/mm]
aa) x= [mm] \wurzel{\bruch{3}{2}-2\lambda^{2}} [/mm]
aus (2):
x= [mm] (\wurzel{\bruch{3}{2}-2\lambda^{2}})^{2} +2y*\lambda [/mm] =0
[mm] \gdw {\bruch{3}{2}-2\lambda^{2}}+2(-2\lambda)*\lambda [/mm] =0
[mm] \gdw {\bruch{3}{2}-6\lambda^{2}} [/mm] =0 [mm] |+6\lambda^{2}
[/mm]
[mm] \gdw 6\lambda^{2} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}| *\bruch{1}{6}
[/mm]
[mm] \gdw \lambda^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] | [mm] \wurzel
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda=\bruch{1}{2} \vee \lambda=- \bruch{1}{2}
[/mm]
bb) x= [mm] -\wurzel{\bruch{3}{2}-2\lambda^{2}} [/mm]
aus (2):
x= [mm] (-\wurzel{\bruch{3}{2}-2\lambda^{2}})^{2} +2y*\lambda [/mm] =0
[mm] \gdw {\bruch{3}{2}-2\lambda^{2}}+2(-2\lambda)*\lambda [/mm] =0
[mm] \Rightarrow \lambda=\bruch{1}{2} \vee \lambda=- \bruch{1}{2}
[/mm]
aaa) [mm] \lambda=\bruch{1}{2} [/mm]
aus b):
[mm] \Rightarrow [/mm] y= [mm] -2*\bruch{1}{2}=-1
[/mm]
aus aa):
[mm] \Rightarrow [/mm] x= [mm] \wurzel{\bruch{3}{2}-2*(\bruch{1}{2})^{2}}=1
[/mm]
aus bb):
[mm] \Rightarrow [/mm] x= [mm] -\wurzel{\bruch{3}{2}-2*(\bruch{1}{2})^{2}}=-1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] R(-1/-1) [mm] \wedge [/mm] S(1/-1)
bbb) [mm] \lambda=-\bruch{1}{2} [/mm]
aus b):
[mm] \Rightarrow [/mm] y= [mm] -2*-\bruch{1}{2}=1
[/mm]
aus aa):
[mm] \Rightarrow [/mm] x= [mm] \wurzel{\bruch{3}{2}-2*(-\bruch{1}{2})^{2}}=1
[/mm]
aus bb):
[mm] \Rightarrow [/mm] x= [mm] -\wurzel{\bruch{3}{2}-2*(-\bruch{1}{2})^{2}}=-1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] T(-1/1) [mm] \wedge [/mm] U(1/1)
f(P) = [mm] 0^{2}*(-\wurzel{3}) [/mm] = 0
f(Q) = [mm] 0^{2}*\wurzel{3} [/mm] = 0
f(R) = [mm] -1^{2}*(-1) [/mm] = -1
f(S) = [mm] 1^{2}*(-1) [/mm] = -1
f(T) = [mm] -1^{2}*1 [/mm] = 1
f(T) = [mm] 1^{2}*1 [/mm] = 1
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ R(-1/-1) $ [mm] \wedge [/mm] $ S(1/-1) absolute Tiefpunkte
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ T(-1/1) $ [mm] \wedge [/mm] $ U(1/1) absolute Hochpunkte
Ist nun soweit alles richtig ?
Ich weiß nicht, ob P und Q Hoch- oder Tiefpunkte sind, da 0 herauskommt,wenn man sie in f einsetzt.
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Hallo mvs,
> so habs nun komplett neu gemacht wieder und bin auf
> folgende Lösung gekommen:
>
> L(x,y,λ) = [mm]x^{2}\cdot{}y[/mm] + [mm]λ\cdot{}(2x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}-3)[/mm]
>
> [mm]\bruch{dL}{dx}:[/mm] 2xy + 4xλ = 0 (1)
> [mm]\bruch{dL}{dy}: x^{2}[/mm] + 2yλ = 0 (2)
> [mm]\bruch{dL}{dλ}: 2x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] - 3 = 0 (3)
>
> aus (1):
>
> 2xy + 4xλ=0
> [mm]\gdw[/mm] 2x*(y+2λ)=0
> [mm]\gdw[/mm] 2x= 0 [mm]\vee[/mm] y+2λ=0
> [mm]\Rightarrow[/mm] x=0 [mm]\vee[/mm] y= -2λ
>
> a) x=0
>
> aus (3):
>
> [mm]y^{2}-3=0[/mm]
> [mm]\gdw y^{2}=3[/mm] | [mm]\wurzel[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] y [mm]=\wurzel{3}\vee[/mm] y [mm]=-\wurzel{3}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow P(0/-\wurzel{3})\wedge Q(0/\wurzel{3})[/mm]
>
> b) y= -2λ , x [mm]\not=0[/mm]
>
> aus (3):
>
> [mm]2x^{2}+4\lambda^{2}-3=0[/mm] |+3
> [mm]\gdw 2x^{2}+4\lambda^{2}=3 |-4\lambda^{2}[/mm]
> [mm]\gdw 2x^{2}=3-4\lambda^{2}[/mm]
> |:2
> [mm]\gdw x^{2}=\bruch{3}{2}-2\lambda^{2}| \wurzel[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> x= [mm]\wurzel{\bruch{3}{2}-2\lambda^{2}} \vee[/mm] x= -
> [mm]\wurzel{\bruch{3}{2}-2\lambda^{2}}[/mm]
>
> aa) x= [mm]\wurzel{\bruch{3}{2}-2\lambda^{2}}[/mm]
>
> aus (2):
>
> x= [mm](\wurzel{\bruch{3}{2}-2\lambda^{2}})^{2} +2y*\lambda[/mm] =0
> [mm]\gdw {\bruch{3}{2}-2\lambda^{2}}+2(-2\lambda)*\lambda[/mm] =0
> [mm]\gdw {\bruch{3}{2}-6\lambda^{2}}[/mm] =0 [mm]|+6\lambda^{2}[/mm]
> [mm]\gdw 6\lambda^{2}[/mm] = [mm]\bruch{3}{2}| *\bruch{1}{6}[/mm]
> [mm]\gdw \lambda^{2}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{4}[/mm] | [mm]\wurzel[/mm]
> [mm]\Rightarrow \lambda=\bruch{1}{2} \vee \lambda=- \bruch{1}{2}[/mm]
>
> bb) x= [mm]-\wurzel{\bruch{3}{2}-2\lambda^{2}}[/mm]
>
> aus (2):
>
> x= [mm](-\wurzel{\bruch{3}{2}-2\lambda^{2}})^{2} +2y*\lambda[/mm]
> =0
> [mm]\gdw {\bruch{3}{2}-2\lambda^{2}}+2(-2\lambda)*\lambda[/mm] =0
> [mm]\Rightarrow \lambda=\bruch{1}{2} \vee \lambda=- \bruch{1}{2}[/mm]
>
> aaa) [mm]\lambda=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> aus b):
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] y= [mm]-2*\bruch{1}{2}=-1[/mm]
>
> aus aa):
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x=
> [mm]\wurzel{\bruch{3}{2}-2*(\bruch{1}{2})^{2}}=1[/mm]
>
> aus bb):
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x=
> [mm]-\wurzel{\bruch{3}{2}-2*(\bruch{1}{2})^{2}}=-1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] R(-1/-1) [mm]\wedge[/mm] S(1/-1)
>
>
> bbb) [mm]\lambda=-\bruch{1}{2}[/mm]
>
> aus b):
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] y= [mm]-2*-\bruch{1}{2}=1[/mm]
>
> aus aa):
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x=
> [mm]\wurzel{\bruch{3}{2}-2*(-\bruch{1}{2})^{2}}=1[/mm]
>
> aus bb):
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x=
> [mm]-\wurzel{\bruch{3}{2}-2*(-\bruch{1}{2})^{2}}=-1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] T(-1/1) [mm]\wedge[/mm] U(1/1)
>
> f(P) = [mm]0^{2}*(-\wurzel{3})[/mm] = 0
> f(Q) = [mm]0^{2}*\wurzel{3}[/mm] = 0
> f(R) = [mm]-1^{2}*(-1)[/mm] = -1
> f(S) = [mm]1^{2}*(-1)[/mm] = -1
> f(T) = [mm]-1^{2}*1[/mm] = 1
> f(T) = [mm]1^{2}*1[/mm] = 1
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] R(-1/-1) [mm]\wedge[/mm] S(1/-1) absolute Tiefpunkte
> [mm]\Rightarrow[/mm] T(-1/1) [mm]\wedge[/mm] U(1/1) absolute Hochpunkte
>
> Ist nun soweit alles richtig ?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich weiß nicht, ob P und Q Hoch- oder Tiefpunkte sind, da
> 0 herauskommt,wenn man sie in f einsetzt.
Um das herauszubekommen, kannst Du die Nebenbedingung
[mm]2*x^{2}+y^{2}-3=0[/mm]
nach y auflösen und in die Hauptbedingung
[mm]x^2*y[/mm]
einsetzen, und die zweite Ableitung davon bilden.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Fr 10.09.2010 | | Autor: | mvs |
Hallo MathePower, danke für deine Antwort.
Nach deinem Hinweis bin ich dann zu folgendem Ergebnis gekommen:
[mm] 2x^{2}+y^{2}-3=0 [/mm] |+3
[mm] \gdw 2x^{2}+y^{2}=3 |-2x^{2}
[/mm]
[mm] \gdw y^{2}=3-2x^{2} |\wurzel
[/mm]
[mm] \gdw y=\pm \wurzel{3-2x^{2}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow f(x)=x^{2}*(\pm \wurzel{3-2x^{2}})^{2}=x^{2}*(3-2x^{2})=3x^{2}-2x^{4}
[/mm]
[mm] f'(x)=6x-8x^{3}
[/mm]
[mm] f''(x)=6-24x^{2}
[/mm]
[mm] f''(P)=6-24*0^{2}=6
[/mm]
[mm] f''(Q)=6-24*0^{2}=6
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow P(0/-\wurzel{3})\wedge Q(0/\wurzel{3}) [/mm] $ absolute Hochpunkte
Ist das alles soweit richtig nun !?
Gruß
Michael
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Hallo mvs,
> Hallo MathePower, danke für deine Antwort.
>
> Nach deinem Hinweis bin ich dann zu folgendem Ergebnis
> gekommen:
>
> [mm]2x^{2}+y^{2}-3=0[/mm] |+3
> [mm]\gdw 2x^{2}+y^{2}=3 |-2x^{2}[/mm]
> [mm]\gdw y^{2}=3-2x^{2} |\wurzel[/mm]
>
> [mm]\gdw y=\pm \wurzel{3-2x^{2}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f(x)=x^{2}*(\pm \wurzel{3-2x^{2}})^{2}=x^{2}*(3-2x^{2})=3x^{2}-2x^{4}[/mm]
Hier muss doch stehen:
[mm]f(x)=x^{2}*\left(\pm \wurzel{3-2x^{2}}\right)[/mm]
>
> [mm]f'(x)=6x-8x^{3}[/mm]
> [mm]f''(x)=6-24x^{2}[/mm]
>
> [mm]f''(P)=6-24*0^{2}=6[/mm]
> [mm]f''(Q)=6-24*0^{2}=6[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow P(0/-\wurzel{3})\wedge Q(0/\wurzel{3})[/mm] absolute
> Hochpunkte
>
> Ist das alles soweit richtig nun !?
>
> Gruß
> Michael
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Fr 10.09.2010 | | Autor: | mvs |
Hallo MathePower, danke für die Antwort.
Bin dann nun hierauf gekommen:
[mm] f(x)=x^{2}*\pm \wurzel{3-x^{2}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow f'(x)=\bruch{\pm 4x^{2}}{\wurzel{3-2x^{2}}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow f''(x)=\bruch{\pm 16x^{2}}{\wurzel[3]{3-2x^{2}}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow f''(P)=\bruch{\pm 16*0^{2}}{\wurzel[3]{3-2*0^{2}}}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow f''(Q)=\bruch{\pm 16*0^{2}}{\wurzel[3]{3-2*0^{2}}}=0
[/mm]
Kommt nach meiner Rechnung nochmals 0 heraus .. irgendwie weiß ich nicht weiter, ich glaub ich kapitulier bei der Aufgabe.
Gruss,
mvs
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Hallo mvs,
> Hallo MathePower, danke für die Antwort.
>
> Bin dann nun hierauf gekommen:
>
> [mm]f(x)=x^{2}*\pm \wurzel{3-x^{2}}[/mm]
> [mm]\Rightarrow f'(x)=\bruch{\pm 4x^{2}}{\wurzel{3-2x^{2}}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f''(x)=\bruch{\pm 16x^{2}}{\wurzel[3]{3-2x^{2}}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f''(P)=\bruch{\pm 16*0^{2}}{\wurzel[3]{3-2*0^{2}}}=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f''(Q)=\bruch{\pm 16*0^{2}}{\wurzel[3]{3-2*0^{2}}}=0[/mm]
Das ist auch nicht richtig.
>
> Kommt nach meiner Rechnung nochmals 0 heraus .. irgendwie
> weiß ich nicht weiter, ich glaub ich kapitulier bei der
> Aufgabe.
Nun, es gibt immer eine Alternative.
Differenziere zunächst
[mm]f\left(x,y\left(\right)\right)=x^2*y\left(x\right)[/mm]
zweimal, diese Ableitung entscheide dann über die Art des Extremums.
Hier sind [mm]y'\left(x\right), \ y''\left(x\right)[/mm] die noch zu bestimmenden Größen.
Dazu differenziere die Funktion
[mm]\phi\left(x,y\left(x\right)\right)=2*x^2+y^{2}]\left(x\right)-3[/mm]
ebenfalls zweimal.
Es gilt ja
[mm]\phi\left(x,y\left(x\right)\right)=2*x^2+y^{2}\left(x\right)-3=0[/mm]
Daher gilt auch
[mm]\bruch{d}{dx}\phi\left(x,y\left(x\right)\right)=0[/mm]
[mm]\bruch{d^{2}}{dx^{2}}\phi\left(x,y\left(x\right)\right)=0[/mm]
Aus diesen beiden Gleichung bekommst Du [mm]y'\left(x\right), \ y''\left(x\right)[/mm].
Setze das dann in
[mm]\bruch{d^{2}}{dx^{2}}f\left(x,y\left(x\right)\right)[/mm]
ein., und Du kannst die Art des Extremums bestimmen.
>
> Gruss,
> mvs
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Mo 13.09.2010 | | Autor: | mvs |
danke MathePower für deine Mühe,
hab aber nu ein paar Tage dran rumgerechnet, ich komm da nicht weiter ..
teilweise versteh ich auch nich, was ich machen soll .. liegt aber auch daran, dass ich manche Zeichen nicht verstehe, was damit gemeint ist.
ich kapituliere bei der Frage, ob das nun auch Extremwerte sind.
Vermute aber eh ganz stark, dass die beiden Punkte keine Extremwerte sind und es wieder ne Art Zusatzaufgabe für mich ist und ich soll das durch rechnen herausbekommen :)
Kann ich nicht sagen, weil bei f(P) = $ [mm] 0^{2}\cdot{}(-\wurzel{3}) [/mm] $ = 0
f(Q) = $ [mm] 0^{2}\cdot{}\wurzel{3} [/mm] $ = 0 herauskommt sinds keine Extremwerte ?
Gruß,
mvs
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Hallo mvs,
> danke MathePower für deine Mühe,
>
> hab aber nu ein paar Tage dran rumgerechnet, ich komm da
> nicht weiter ..
>
> teilweise versteh ich auch nich, was ich machen soll ..
> liegt aber auch daran, dass ich manche Zeichen nicht
> verstehe, was damit gemeint ist.
>
> ich kapituliere bei der Frage, ob das nun auch Extremwerte
> sind.
>
> Vermute aber eh ganz stark, dass die beiden Punkte keine
> Extremwerte sind und es wieder ne Art Zusatzaufgabe für
> mich ist und ich soll das durch rechnen herausbekommen :)
Eine Zusatzaufgabe ist da nicht.
>
> Kann ich nicht sagen, weil bei f(P) =
> [mm]0^{2}\cdot{}(-\wurzel{3})[/mm] = 0
> f(Q) = [mm]0^{2}\cdot{}\wurzel{3}[/mm] = 0 herauskommt sinds keine
> Extremwerte ?
Das sind zumindest lokale Extrremwerte.
Betrachte hierzu eine Umgebung von [mm]\left(0,\wurzel{3}\right)[/mm]
bzw. ein Umgebung von [mm]\left(0,-\wurzel{3}\right)[/mm]
Bei festem y ist [mm]\left(x,\wurzel{3}\right)[/mm] eine Parabel.
Diese hat ihr Extremum bei ... .
Dito für [mm]\left(x,-\wurzel{3}\right)[/mm]
Dann kannst Du über die Art der Extrema was sagen.
>
> Gruß,
> mvs disabled
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 Fr 10.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED,danke für deine Antwort, das hilft mir aber
> leider nichts :(,stehe grad bisschen aufm Schlauch,
> vielleicht habe ich heute einfach schon zuviel gerechnet
> :).
> Soll das die Antwort auf die Verbalfrage sein?
Ja, eine stetige Fuktion auf einer kompakten Menge nimmt auf dieser Menge ihr Minimum und ihr Maximum an
FRED
>
> gruß Michael
>
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:22 Fr 10.09.2010 | | Autor: | mvs |
Okay, danke FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 Do 09.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie mit Hilfe des Langrange-Ansatzes das Maximum
> und das Minimum der Funktion f(x,y) = [mm]x^{2}*y[/mm]
> unter der Nebenbedinung [mm]2x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] = 3.
> Warum existieren die gesuchten Extremwerte?
> Hallo, ist jemand so nett und könnte hierauf einen Blick
> werfen, ob das stimmt. Nach mehrmaligen Rechnen bin ich auf
> dieses Ergebnis gekommen:
Hallo,
da Lagrange gefordert war, musst du auch Lagrange benutzen.
Nur so zum allgemeinen Verständnis ein paar lagrangefreie Bemerkungen:
Du umkreist den Koordinatenursprung auf einer elliptischen Bahn (Nebenbedingung) und schaust dir die Funktionswerte an, die du auf deiner Bahn antriffst.
Falls es dabei einen größten/kleinsten Wert an einem Bahnpunkt (x,y) gibt, so gibt es einen zweiten Extremwert bei Stelle (-x,y), da x^2y symmetrisch ist.
[mm]2x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] = 3 kannst du nach [mm] x^2 [/mm] umstellen und das in x^2y einsetzen, somit bekommst du eine simple Extremwertaufgabe für y.
Mit diesem Vorgehen kannst du deine recht aufwändigen Lagrange-Ergebnisse einfach kontrollieren.
Gruß Abakus
>
> L(x,y,λ) = [mm]x^{2}*y[/mm] + [mm]λ*(2x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}-3)[/mm]
>
> [mm]\bruch{dL}{dx}:[/mm] 2xy + 4xλ = 0 (1)
> [mm]\bruch{dL}{dy}: x^{2}[/mm] + 2yλ = 0 (2)
> [mm]\bruch{dL}{dλ}: 2x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] - 3 = 0 (3)
>
> (2) [mm]x^{2}[/mm] + 2yλ = 0 | - [mm]x^{2}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] 2yλ = - [mm]x^{2}[/mm] | : 2λ
> [mm]\Rightarrow[/mm] y= [mm]\bruch{- x^{2}}{2λ}[/mm] (4)
>
> (4) in (1): [mm]2x*(\bruch{- x^{2}}{2λ})[/mm] + 4xλ = 0
> [mm]\gdw \bruch{- 2x^{3}}{2λ}[/mm] + 4xλ = 0
> [mm]\gdw \bruch{- x^{3}}{λ}[/mm] + 4xλ = 0
> [mm]\gdw \bruch{- x^{3}+ 4xλ^{2}}{λ}[/mm] = 0 | *λ
> [mm]\gdw[/mm] - [mm]x^{3}+[/mm] 4xλ^{2} = 0
> [mm]\gdw -x*(x^{2}-[/mm] 4λ^{2}) = 0 | : (-x)
> [mm]\gdw x^{2}-[/mm] 4λ^{2} = 0 | +4λ^{2}
> [mm]\gdw x^{2}[/mm] = 4λ^{2} | [mm]\wurzel[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] |x| = 2λ
> [mm]\Rightarrow[/mm] x= 2λ [mm]\vee[/mm] x= -2λ (5)
>
> (5) in (1):
>
> 1) x= 2λ
>
> 2*2λ*y + 4λ*2λ = 0
> [mm]\gdw[/mm] 4λ*y + 8λ^{2} = 0 | - 8λ^{2}
> [mm]\gdw[/mm] 4λ*y = - 8λ^{2} | : 4λ
> [mm]\Rightarrow[/mm] y = - 2λ
>
> 2) x= -2λ
>
> 2*-2λ*y + 4λ*-2λ = 0
> [mm]\gdw[/mm] -4λ*y - 8λ^{2} = 0 | + 8λ^{2}
> [mm]\gdw[/mm] -4λ*y = 8λ^{2} | : -4λ
> [mm]\Rightarrow[/mm] y = - 2λ (6)
>
> (6) in (3):
>
> [mm]2x^{2}+[/mm] (- [mm]2λ)^{2}[/mm] - 3 = 0
> [mm]\Rightarrow 2x^{2}[/mm] + 4λ^{2} - 3 = 0 (7)
>
> (5) in (7):
>
> [mm]2*(2λ)^{2}[/mm] + 4λ^{2} - 3 = 0
> [mm]\gdw[/mm] 2* 4λ^{2} + 4λ^{2} - 3 = 0
> [mm]\gdw[/mm] 8λ^{2} + 4λ^{2} - 3 = 0
> [mm]\gdw[/mm] 12λ^{2} - 3 = 0 | +3
> [mm]\gdw[/mm] 12λ^{2} = 3 | :12
> [mm]\gdw[/mm] λ^{2} = [mm]\bruch{1}{4}[/mm] | [mm]\wurzel[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] |λ| = [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] λ = [mm]\bruch{1}{2} \vee[/mm] λ = [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] (8)
>
> (8) in (5):
>
> [mm]x=2*\bruch{1}{2} \vee[/mm] x = 2* [mm]-\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] x=1 [mm]\vee[/mm] x= -1
>
> (8) in (6):
>
> [mm]y=-2*\bruch{1}{2} \vee[/mm] y = -2* [mm]-\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] y= -1 [mm]\vee[/mm] y= 1
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] P(1/-1), Q(1/1), R(-1/1), S(-1/-1)
>
> f(P) = [mm]1^{2}[/mm] * (-1) = -1
> f(Q) = [mm]1^{2}[/mm] * 1 = 1
> f(R) = [mm]-1^{2}[/mm] * 1 = 1
> f(S) = [mm]-1^{2}[/mm] * (-1) = -1
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] P(1/-1) [mm]\wedge[/mm] S(-1/-1) absolute Tiefpunkte
> [mm]\Rightarrow[/mm] Q(1/1) [mm]\wedge[/mm] R(-1/1) absolute Hochpunkte
>
> Das 4 Extremwerte herauskommen irritiert mich etwas.
> Auch die Verbalfrage "Warum existieren die gesuchten
> Extremwerte?" kann ich so nicht beantworten.
>
> Danke im voraus
>
> lg Michael
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
|
|
|
|
).
