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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die stationären Punkte der Funktion [mm] f(x,y,z)=x+y+z^{2} [/mm] unter den Nebenbedingungen [mm] x^2-y^2+z^2=1 [/mm] und x+y=1 mit Hilfe der Lagrange-Multiplikatoren. |
Hallo,
ich müh mich schon einige Zeit mit diesem Beispiel ab. Leider bin ich mir nicht sicher, ob ich's richtig gerechnet habe. Ich weiß nämlich nicht, ob [mm] f(x,y,z)=x+y+z^{2} [/mm] implizit oder explizit ist. Wenn's explizit ist, dann wird wohl f(x,y,z) = irgendeine andre variable. Egal, ich hab jedenfalls f(x,y,z) als explizit angenommen.
Ich hab die Lagrange-Funktion aufgestellt: [mm] L(x,y,z,\lambda_{1},\lambda_{2})=f(x,y,z)+\lambda_{1}(g_{1}(x,y,z))+\lambda_{2}(g_{2}(x,y))
[/mm]
[mm] g_{1}(x,y,z)=x^{2}-y^{2}+z^{2}-1=0
[/mm]
[mm] g_{2}(x,y)=x+y-1=0
[/mm]
Dann hab ich berechnet:
[mm] L_{x}: 1+\lambda_{1}2x+\lambda_{2}=0
[/mm]
[mm] L_{y}: 1-\lambda_{1}2y+\lambda_{2}=0
[/mm]
[mm] L_{z}: 2z+\lambda_{1}2z=0
[/mm]
[mm] L_{\lambda_{1}}:x^{2}-y^{2}+z^{2}-1=0
[/mm]
[mm] L_{\lambda_{2}}:x+y-1=0
[/mm]
Gut, dann hab ich versucht, die einzelnen Variablen zu berechnen:
1) x=1-y
2) y=1-x
3) [mm] L_{x}-L_{y}=\lambda_{1}(2x+2y)=0=\lambda_{1}(2(1-y)+2y)=\lambda_{1}2=0 [/mm] --> [mm] \lambda_{1}=0
[/mm]
4) [mm] L_{x}=0=1+\lambda_{1}2x+\lambda_{2}=0=1+\lambda_{2}=0 [/mm] --> [mm] \lambda_{2}=-1
[/mm]
5) [mm] L_{z}=2z+\lambda{1}2z=0=2z [/mm] --> z=0
6) [mm] L_{\lambda{1}}=x^{2}-y^{2}-1=0=x^{2}-y^{2}-1 [/mm]
6.1) [mm] y^{2}=x^{2}-1=(1-y)^{2}-1
[/mm]
6.2) 0=-2y --> y=0 & x=1
P(1,0,0) --> stationärer Punkt
Genau auf dieses Ergebnis bin ich gekommen. Leider weiß ich nicht, wie ich das kontrollieren kann, da man mit der geg. Funktion keinen vernünftigen Graphen zeichnen kann.
Ich hoffe, jemand kann mir bestätigen, dass das Gerechnete kein Topfen ist!
Freue mich auf eine Antwort.
Gruß, h.
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Hi,
> Bestimmen Sie die stationären Punkte der Funktion
> [mm]f(x,y,z)=x+y+z^{2}[/mm] unter den Nebenbedingungen [mm]x^2-y^2+z^2=1[/mm]
> und x+y=1 mit Hilfe der Lagrange-Multiplikatoren.
> Hallo,
> ich müh mich schon einige Zeit mit diesem Beispiel ab.
> Leider bin ich mir nicht sicher, ob ich's richtig gerechnet
> habe. Ich weiß nämlich nicht, ob [mm]f(x,y,z)=x+y+z^{2}[/mm]
> implizit oder explizit ist. Wenn's explizit ist, dann wird
> wohl f(x,y,z) = irgendeine andre variable. Egal, ich hab
> jedenfalls f(x,y,z) als explizit angenommen.
>
> Ich hab die Lagrange-Funktion aufgestellt:
> [mm]L(x,y,z,\lambda_{1},\lambda_{2})=f(x,y,z)+\lambda_{1}(g_{1}(x,y,z))+\lambda_{2}(g_{2}(x,y))[/mm]
>
> [mm]g_{1}(x,y,z)=x^{2}-y^{2}+z^{2}-1=0[/mm]
> [mm]g_{2}(x,y)=x+y-1=0[/mm]
>
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Dann hab ich berechnet:
>
> [mm]L_{x}: 1+\lambda_{1}2x+\lambda_{2}=0[/mm]
> [mm]L_{y}: 1-\lambda_{1}2y+\lambda_{2}=0[/mm]
>
> [mm]L_{z}: 2z+\lambda_{1}2z=0[/mm]
>
> [mm]L_{\lambda_{1}}:x^{2}-y^{2}+z^{2}-1=0[/mm]
> [mm]L_{\lambda_{2}}:x+y-1=0[/mm]
>
> Gut, dann hab ich versucht, die einzelnen Variablen zu
> berechnen:
>
> 1) x=1-y
> 2) y=1-x
> 3)
> [mm]L_{x}-L_{y}=\lambda_{1}(2x+2y)=0=\lambda_{1}(2(1-y)+2y)=\lambda_{1}2=0[/mm]
> --> [mm]\lambda_{1}=0[/mm]
> 4) [mm]L_{x}=0=1+\lambda_{1}2x+\lambda_{2}=0=1+\lambda_{2}=0[/mm]
> --> [mm]\lambda_{2}=-1[/mm]
> 5) [mm]L_{z}=2z+\lambda{1}2z=0=2z[/mm] --> z=0
> 6) [mm]L_{\lambda{1}}=x^{2}-y^{2}-1=0=x^{2}-y^{2}-1[/mm]
> 6.1) [mm]y^{2}=x^{2}-1=(1-y)^{2}-1[/mm]
> 6.2) 0=-2y --> y=0 & x=1
>
> P(1,0,0) --> stationärer Punkt
>
> Genau auf dieses Ergebnis bin ich gekommen. Leider weiß ich
> nicht, wie ich das kontrollieren kann, da man mit der geg.
> Funktion keinen vernünftigen Graphen zeichnen kann.
>
sieht fuer mich richtig aus. zur kontrolle kann man sich zb. nochmal die einzelnen gradienten hinschreiben, also [mm] $\nabla f$,$\nabla g_1$ [/mm] und [mm] $\nabla g_2$, [/mm] und pruefen dass in dem berechneten punkt tatsaechlich gilt:
[mm] $\nabla f=-\lambda_1 \nabla g_1 [/mm] - [mm] \lambda_2 \nabla g_2$,
[/mm]
also die gradienten linear abhaengig sind. das ist ja im grunde die aussage des lagrange-kriteriums.
VG
matthias
> Ich hoffe, jemand kann mir bestätigen, dass das Gerechnete
> kein Topfen ist!
>
> Freue mich auf eine Antwort.
>
> Gruß, h.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:30 Do 24.05.2007 | | Autor: | Braunstein |
Hey,
vielen Dank für den Tipp (lin. Abhängigkeit). Macht natürlich Sinn!!!
Gruß, h.
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