Lagrange-Polynom-Schwierigkeit < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:38 Mo 28.11.2005 | | Autor: | Sienna |
HAllo noch so spät!
Also hier ist eine Aufgabe auf meinem Blatt, wo ich schier verweifle, weil ich da noch nicht einmal die Aufgabenstellung, gechweige denn deren Sinn begreife!!! Habe am Samstag schon angefange und alle Bücher, die ich zur Numerik kenne durch gelesen (also die entsprechenden Kapitel), gab sogar was ähnliches bei Hermite, aber noch unverständlich - und hoffe, dass jemand die Aufgabe versteht! UND den "Ansatz" von mir. Bzw. meine Vorstellungen!
So hier die Aufgabe:
Gegeben: Stützstellen: [mm] x_0 [/mm] <...< [mm] X_n [/mm] und die dazugehörigen Lagrange-Polynome [mm] L_i \in \pi_n[/mm]
mit [mm]L_i(x_j)= \delta_i,j[/mm]
und i,j=0,..,n
sowie [mm]m \le n[/mm]
(DAS mit dem m ist das 1. was ich nicht verstehe!!!)
Zeigen Sie, dass für [mm] r \le m[/mm] die Gleichung erfüllt ist:
[mm] \summe_{j=0}^{n} (x_j )^m [/mm] * [mm] (d^r*L_j (x))/dx^r [/mm] =
[mm]= (m!)/(m-r)! * x^(m-r)[/mm] x ist Element der reellen ZAhlen
Und welchen Wert erhält man für die rechte Seite der Gleichung, wenn r>m
So, das ist der Schreck selbst und gleich poste ich noch meine Ideen!!!
Separat, damit keiner durcheinander kommt!!!
Liebe Grüße Sienna
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:52 Mo 28.11.2005 | | Autor: | Sienna |
Liebe Mathematiker,
hier meine Ideen, hoffentlich kann ich es verständlich machen!!!
Also:
Gegeben: Stützstellen: [mm] x_0 [/mm] <...< [mm] X_n [/mm] und die dazugehörigen Lagrange-Polynome [mm] L_i \in \pi_n[/mm]
mit [mm]L_i(x_j)= \delta_i,j[/mm]
und i;j=0,1..,n
sowie [mm] m \le n[/mm]
(DAS mit dem m ist das 1. was ich nicht verstehe!!!)
Zeigen Sie, dass für [mm] r \le m[/mm] die Gleichung erfüllt ist:
[mm] \summe_{j=0}^{n} (x_j )^m [/mm] * [mm] (d^r*L_j (x))/dx^r [/mm] =
= (m!)/(m-r)! * x^(m-r)[/mm] x ist Element der reellen ZAhlen
Und welchen Wert erhält man für die rechte Seite der Gleichung, wenn r>m
(Die Aufgabe selbst)
- das obige d/dx habe ich mal als Ableitung entlarvt???
Und wegen der Lagrange Interpolationsformel habe ich nun gedacht, dass
[mm]f(x)=(x_j)^m[/mm]
Es handelt sich demnach, so habe ich dann gefolgert: um die Ableitung des Lagrange Polynoms in dieser Funktion.
So, jetzt bin aber schon am Ende meines tollen Ansatzes angelangt, was wahrlich kein Supergau ist, aber vielleicht habe ich ja wenigstens mit meinen Vermutungen recht und man kann sie weiterführen, wie, das wüsste ich gerne.
UND: Ich verstehe dieses m und das r nicht!!!
Würde mich freuen, wenn jemand eine Idee hat, wegen m und r! Oder der Aufgabe an sich 
Viele Grüße und Danke fürs Lesen. Sienna
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:39 Di 29.11.2005 | | Autor: | statler |
Hallo Siena!
> Also hier ist eine Aufgabe auf meinem Blatt, wo ich schier
> verweifle,
Dazu gibt es keinen Grund!
> weil ich da noch nicht einmal die
> Aufgabenstellung, gechweige denn deren Sinn begreife!!!
> Habe am Samstag schon angefange und alle Bücher, die ich
> zur Numerik kenne durch gelesen (also die entsprechenden
> Kapitel), gab sogar was ähnliches bei Hermite, aber noch
> unverständlich - und hoffe, dass jemand die Aufgabe
> versteht! UND den "Ansatz" von mir. Bzw. meine
> Vorstellungen!
>
> So hier die Aufgabe:
>
> Gegeben: Stützstellen: [mm]x_0[/mm] <...< [mm]X_n[/mm] und die dazugehörigen
> Lagrange-Polynome [mm]L_i \in \pi_n[/mm]
> mit [mm]L_i(x_j)= \delta_i,j[/mm]
> und i,j=0,..,n
>
> sowie [mm]m \le n[/mm]
>
> (DAS mit dem m ist das 1. was ich nicht verstehe!!!)
Gegeben sind die nat. Zahl n, reelle Zahlen [mm] x_{0} [/mm] bis [mm] x_{n} [/mm] und eine weitere nat. Zahl m [mm] \le [/mm] n. Dann gibt es dazu diese Lagrange-Polyome, die die obige Eigenschaft haben und über die man in geeigneten Büchern nachlesen kann, wie man sie findet und vielleicht auch, wie sie aussehen. (Ich kannte sie auch mal, aber die Beziehung ist kaputtgegangen.)
> Zeigen Sie, dass für [mm]r \le m[/mm] die Gleichung erfüllt ist:
r ist jetzt eine weitere nat. Zahl.
>
> [mm]\summe_{j=0}^{n} (x_j )^m[/mm] * [mm](d^r*L_j (x))/dx^r[/mm] =
>
> [mm]= (m!)/(m-r)! * x^(m-r)[/mm] x ist Element der reellen ZAhlen
>
Und hier kommt die r-te Ableitung des j-ten Lagrange-Polynoms ins Spiel.
> Und welchen Wert erhält man für die rechte Seite der
> Gleichung, wenn r>m
Du solltest auf jeden Fall erforschen, was genau die L.-Polynome sind. Sie müßten auf dem VR der Polynome bzgl. einer bestimmten Norm eine Orthonormalbasis bilden. Vielleicht sind sie nur rekursiv definiert? Vielleicht meldet sich auch ein ausgebuffter Numeriker oder ein Ingenieur, der die Dinger jeden Tag benutzt und sie von daher bestens kennt?
> So, das ist der Schreck selbst und gleich poste ich noch
> meine Ideen!!!
> Separat, damit keiner durcheinander kommt!!!
Laß dich von diesen Dingern nicht unterkriegen!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:51 Do 01.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sienna!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem vollständig in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:41 Sa 03.12.2005 | | Autor: | Sienna |
Hallo,
trotzdem vielen Dank für die vielen Ideen!!!
Liebe Grüße Eva
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