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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:13 Mi 06.10.2004 | | Autor: | eini |
Hallo schlaues Volk!
Wollte mal gerne 2 oder 3 Aufgaben euch vorstellen mit meiner Lösung, könnt ja mal draufschauen, ob´s soweit stimmt...Am Ende habe ich noch zwei, wo ich nicht recht weiß, wie...
Also:
1.)Man zeige, Funktion [mm] f(x,y)=x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] besitzt unter der Nebenbedingung x + y = c mit c [mm] \in [/mm] R ein Minimum aber kein Maximum.
So, meine Lösung:
Ich eliminiere zuerst das y in der Nebenbedingung - also : y = -x + c .
Dies setze ich in die Funktionsgleichung ein, dies ergibt :
[mm] f(x,y)=x^{2} [/mm] + ( -x + c [mm] )^{2} [/mm] = [mm] 2x^{2} [/mm] - 2cx + [mm] c^{2} [/mm] ( Ist das jetzt eigentlich noch f(x,y) oder f(x) ? )
Bilde die 1.Ableitung nach x und setze sie 0 :
f'(x) = 4x - 2c = 0 [mm] \gdw [/mm] x= 0,5c
f''(x)= 4 > 0 , also Minimum ( bei der quadratischen Fkt. vorliegend )
Nun bilde ich die Lagrange-Funktion :
L(x,y) = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] - [mm] \lambda( [/mm] x + y - c )
Bilde jetzt die ersten partiellen Ableitungen nach x und nach y und setze sie 0 :
[mm] L_{x}'(x,y) [/mm] = 2x - [mm] \lambda [/mm] = 0
[mm] L_{y}'(x,y) [/mm] = 2y - [mm] \lambda [/mm] = 0
Hieraus folgt sofort, daß x = y ,
aus der Nebenbedingung, daß x = 0,5c = y
und [mm] \lambda [/mm] = c , also Minimum im Punkt (x/y) = (0,5c/0,5c)
Also, Rechnung richtig  ??
Und - bei dieser konkreten Fragestellung - hätte man schon das Ergebnis
"präsentieren" können - daß es ein Minimum aber kein Maximum gibt - nachdem man festgestellt hat, daß die quadratische Funktion ein Minimum hat ( also mein 1.Rechenschritt..) ?
2.)BestimmenSie ein Paar (a,b) , das die Funktion f(x,y) = x + y unter der
Nebenbedingung [mm] \bruch{1}{4}x^{2} [/mm] + y = 1 maximiert. Was ist der Wert
f(a,b) ?
Meine Lösung:
Wieder bilde ich die Lagrangefunktion:
L(x,y) = x + y - [mm] \lambda(\bruch{1}{4}x^{2} [/mm] + y -1 )
Bilde wieder die ersten partiellen Ableitungen nach x und y und setze diese 0 :
[mm] L_{x}'(x,y) [/mm] = 1 - [mm] 0,5\lambda [/mm] x = 0
[mm] L_{y}'(x,y) [/mm] = 1 - [mm] \lambda [/mm] = 0
Hieraus und dann aus der Nebenbedingung ergeben sich sofort
x = 2 , y = 0 , [mm] \lambda [/mm] = 1
Das heißt, das gesuchte Paar (a,b) ist (2,0) und der Funktionswert natürlich 2.
Hoffe, alles richtig? Dann hätte ich das nämlich verstanden !!
Jetzt zwei Aufgaben, die ich nicht lösen kann :
3.) Betrachten Sie die Funktion f(x,y) = x und das Problem
min f(x,y) unter der Bedingung [mm] x^{3}=y^{2}
[/mm]
folgende Aussagen:
1.) Es gibt eine Lösung (a,b)
2.) Es gibt ein Paar (a,b) , das die Lagrange-Bedingungen erfüllt.
Zu zeigen ist, welche Aussage stimmt.
Also, bei mir klemmt´s schon beim Ansatz...
Lagrange-Funktion aufgestellt :
L(x,y)= x - [mm] \lambda( x^{3} [/mm] - [mm] y^{2})
[/mm]
Die beiden partiellen Ableitungen lauten:
[mm] L_{x}'(x,y) [/mm] = 1 - [mm] 3\lambda x^{2} [/mm] = 0
[mm] L_{y}'(x,y) [/mm] = [mm] 2\lambda [/mm] y = 0
Mit der Nebenbedingung [mm] x^{3} [/mm] - [mm] y^{2} [/mm] = 0
habe ich nun ein Gleichungssystem, das keine Lösung hat!!
Oder ist es schon wieder zu spät ?
Also hier könnte ich wirklich Hilfe gebrauchen!!
Und die letzte Aufgabe lautet :
4.)f und g seien stetig diff´bar auf einer offenen Teilmenge S von [mm] R^{2} [/mm] und [mm] (x_{0},y_{0}) \in [/mm] S erfülle die Gleichung [mm] g(x_{0},y_{0}) [/mm] = 0 mit
[mm] Nabla-Operatorg(x_{0},y_{0}) \not= [/mm] 0 .
( Wie krieg´ ich hier den Nabla-Operator hin??? )
Welche der beiden folgenden Aussagen folgt aus welcher?
[mm] 1.)(x_{0},y_{0}) [/mm] maximiert f(x,y) unter der Bedingung g(x,y) = 0
[mm] 2.)(x_{0},y_{0}) [/mm] maximiert die Lagrange-Funktion
L(x,y) = f(x,y) - [mm] \lambda [/mm] g(x,y) für ein [mm] \lambda \in [/mm] R .
Ja, das wär´s ...
Hoffentlich ist das nicht zu viel auf einmal, vielen lieben Dank schon mal!
Good night everybody, cu soon !
eini
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Hallo Wolfgang,
also deine Frage 3.) ist schnell beantwortet:
die Funktion f(x,y)=x kannst du mit deiner Nebenbedingung gar nicht maximieren. Denn bei dieser Nebenbedingung kann x doch gegen unendlich laufen.
Deshalb gibt es keine Lösung.
War wohl wirklich zu spät 
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> Hallo schlaues Volk!
![[liebegruesse]](/images/smileys/liebegruesse.gif "[liebegruesse]")
> [mm]f(x,y)=x^{2}[/mm] + ( -x + c [mm])^{2}[/mm] = [mm]2x^{2}[/mm] - 2cx + [mm]c^{2}[/mm]
> (Ist das jetzt eigentlich noch f(x,y) oder f(x) ?)
Das darf immer noch f(x,y) heißen.
> Bilde die 1. Ableitung nach x und setze sie 0:
> f'(x) = 4x - 2c = 0 [mm]\gdw[/mm] x= 0,5c
> f''(x)= 4 > 0 , also Minimum ( bei der quadratischen Fkt.
> vorliegend )
Das macht man in der Regel nicht, weil es meistens nicht möglich ist, die Nebenbedingung nach x bzw. y aufzulösen.
> Hieraus folgt sofort, daß x = y ,
> aus der Nebenbedingung, daß x = 0,5c = y
> und [mm]\lambda[/mm] = c , also Extremum im Punkt (x/y) =
> (0,5c/0,5c)
Die Art deines Extremums (Minimum) kannst du z.B. durch deine Rechnung oben begründen.
> Also, Rechnung richtig ??
> Und - bei dieser konkreten Fragestellung - hätte man schon
> das Ergebnis "präsentieren" können - daß es ein Minimum aber kein
> Maximum gibt - nachdem man festgestellt hat, daß die
> quadratische Funktion ein Minimum hat ( also mein
> 1.Rechenschritt..) ?
Ja.
Aufgabe 2 ist vollkommen richtig bis auf die Tatsache, dass du die Art des Extremums nicht begründet hast.
> 3.) Betrachten Sie die Funktion f(x,y) = x und das Problem
> min f(x,y) unter der Bedingung [mm]x^{3}=y^{2}[/mm]
> folgende Aussagen:
> 1.) Es gibt eine Lösung (a,b)
> 2.) Es gibt ein Paar (a,b) , das die Lagrange-Bedingungen
> erfüllt.
Es kann wie gesagt keine Lösung geben, es gibt nicht einmal ein Paar, das die Lagrange-Bedingung erfüllt.
> 4.)f und g seien stetig diff´bar auf einer offenen
> Teilmenge S von [mm]R^{2}[/mm] und [mm](x_{0},y_{0}) \in[/mm] S erfülle die
> Gleichung [mm]g(x_{0},y_{0})[/mm] = 0 mit
> [mm]Nabla-Operatorg(x_{0},y_{0}) \not=[/mm] 0 .
> ( Wie krieg´ ich hier den Nabla-Operator hin??? )
>
> Welche der beiden folgenden Aussagen folgt aus welcher?
>
> [mm]1.)(x_{0},y_{0})[/mm] maximiert f(x,y) unter der Bedingung
> g(x,y) = 0
> [mm]2.)(x_{0},y_{0})[/mm] maximiert die Lagrange-Funktion
>
> L(x,y) = f(x,y) - [mm]\lambda[/mm] g(x,y) für ein [mm]\lambda \in[/mm] R
Der Nabla-Operator: [mm]\nabla[/mm].
Die Lagrange-Funktion muss doch hier [mm]L(x,y,\lambda)[/mm] heißen, oder?
Dann meinst du wohl:
1.) [mm] (x_0,y_0) [/mm] maximiert f(x,y) unter der Nebenbedingung g(x,y)=0
2.) es existiert ein [mm] \lambda_0, [/mm] so dass [mm](x_0,y_0,\lambda_0)[/mm] ein Maximum der Lagrange-Funktion [mm]L(x,y,\lambda)[/mm] ist
Es gibt Fälle in denen 2.), aber nicht 1.) erfüllt ist.
Für [mm] x_0=1, y_0=-1, f(x,y)=-x^2+-y^2, [/mm] g(x,y)=x-y gilt:
[mm] g(x_0,y_0)=0, [/mm] das Maximum unter der Nebenbedingung liegt jedoch offensichtlich bei (0,0).
Die Lagrange-Funktion [mm]L(x,y,\lambda)=-x^2-y^2+\lambda x-\lambda y[/mm] kann nur dann bei [mm] (x_0,y_0) [/mm] extremal werden, wenn
[mm]\frac{\partial L}{\partial x}=\frac{\partial L}{\partial y}=0[/mm]
also:
[mm]-2x+\lambda=0[/mm] und [mm]-2y-\lambda=0[/mm]
[mm] x_0 [/mm] und [mm] y_0 [/mm] eingesetzt: [mm]-2+\lambda=0[/mm] und [mm]2-\lambda=0[/mm]
Es gibt also ein [mm] \lambda, [/mm] so dass 2.) erfüllt ist.
Die Funktion [mm]L(x,y,2)=-x^2-y^2+2x-2y=-(x-1)^2-(y+1)^2[/mm] hat tatsächlich bei (1,-1) ein Maximum.
Es kann also, wenn überhaupt, nur 1.) => 2.) gelten.
Uff, das reicht jetzt aber erst mal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:41 Mi 06.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hugo!
Ich habe die Blumen eingefügt, die du haben wolltest. Das Küsschen an eini ließ sich dabei leider nicht vermeiden.
Liebe Grüße
Stefan
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Mit dem Küsschen kann ich leben ![[bussi]](/images/smileys/bussi.gif "[bussi]")
der Beweis von 1.) => 2.) ist übrigens popeleinfach, wie mir gerade schlagartig bewusst wurde...
Man beweise Nicht-2.) => Nicht-1.)
Also gibt es kein [mm] \lambda, [/mm] so dass [mm] (x_0,y_0) [/mm] die Lagrange-Funktion maximiert. Somit sind [mm]\nabla(f)[/mm] und [mm]\nabla(g)[/mm] in [mm] (x_0,y_0) [/mm] nicht kollinear und unter solchen Umständen kann es dort kein Extremum mit Nebenbedingungen geben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Mi 06.10.2004 | | Autor: | eini |
Hallo Hugo!
Danke für deine ausführliche Antwort, habe jetzt leider nur ganz schrecklich wenig Zeit, gehe entweder heute Nacht oder morgen dann auf eure netten Antworten ein...Hey, ihr seid wirklich sehr lieb und hilfsbereit !!!
Also nur mal die Lösungen dieser Klausuraufgaben aus dem LÖsungsbogen - Lösungsweg natürlich nicht dabei, sonst hätte ich nicht so blöd gefragt ...
Also bei der Aufgabe mit dem Nabla-Operator soll nur die Richtung 2 nach1
stimmen ( ich finde diese Aufgabe für Wiwis a bisserl heftig ... )
Und bei der Aufgabe, bei der man min f(x,y) von f(x,y) = x unter der Nebenbed. [mm] x^{3} [/mm] = [mm] y_{2} [/mm] soll nur - laut Bogen - die Aussage "Es gibt eine Lösung (a,b) " richtig sein.
Vom mathematischen Gehalt versteh´ ich´s eh noch net so recht, das kommt aber noch, da bin ich sicher!! WiWis sind froh, wenn sie´s rechnen können...
Also, viele und liebe Grüße,
melde mich später nochmals !
eini
PS: Habe die Aufgaben fast wörtlich - nicht sinnverzerrend - wiedergegeben...
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Jetzt hab ich die Aufgabe 3.) richtig verstanden.
Ein Minimum gibt es natürlich, wenn ja x aufgrund der Nebenbedingung nicht negativ werden kann. Also ist min(f)=0 bei (x,y)=(0,0).
Hier klappt aber der Lagrange-Formalismus nicht, weil deine Nebenbedingung g ausgerechnet beim Minimum das Problem [mm]\nabla g=0[/mm] aufweist.
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Eine Mitteilung an alle, die sich mit dem letzten Problem, also mit
1=>2 oder 2=>1
beschäftigen:
im Bronstein steht zum Lagrange-Formalismus, dass das Lösen der Gleichungen für x,y und [mm] \lambda [/mm] eine notwendige Bedingung für ein Extremum von f unter der Nebenbedingung ist.
Insofern wurdere ich mich, dass Wolfgang als richtig angegebene Lösung angibt: 2=>1, weil das meiner Einschätzung von 'notwendig' widerspricht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:25 Mi 06.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hugo!
Ich denke, die Richtung stimmt so. Es ist zwar so, dass ein Extremum der Funktion notwendigerweise ein stationärer Punkt der Lagrange-Funktion für ein bestimmtes [mm] $\lambda$ [/mm] ist (d.h. der Gradient verschwindet, das ist das, was vermutlich im Brondstein steht), aber das heißt ja nicht, dass diese Hilfsfunktion dort auch maximiert wird.
Wird die Lagrange-Funktion dagegen in einem Punkt für ein [mm] $\lambda$ [/mm] maximiert (und ist dieser Punkt nicht einfach nur ein stationärer Punkt, das reicht nicht), dann ist der Punkt ein Extremum der Funktion.
Unter Vorbehalt (kann das gerade nicht nachprüfen, ist nur eine Gedächtnisleistung),
mit lieben Grüßen
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:54 Mi 06.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo zusammen!
Aus dem Barner-Flohr:
Es sei $a$ eine kritische Stelle von $G=f - [mm] \lambda_1g_1 [/mm] - [mm] \ldots [/mm] - [mm] \lambda_rg_r$.
[/mm]
Wenn dann die Einschränkung der Hesse-Form von $G$ auf den Tangentialraum von [mm] $M=\{x\, :\, g(x)=0\}$ [/mm] im Punkt $a$ positiv (negativ) definit ist, dann hat $f [mm] \vert_M$ [/mm] in $a$ ein lokales Minimum (Maximum).
Notwendig für ein lokales Minimum (Maximum) ist nur die positive (negative) Semidefinitheit.
Wusste ich es doch...
Liebe Grüße
Stefan
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