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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 Fr 27.06.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | | Gesucht sind alle Max / Min der Funktion f(x,y) = 4*x*y +4x auf E: 5x²+5y²-6*x*y-6*x+10*y+4 |
Hallo alle zusammen! So mein letzter Forumeintrag vor dem Exam *schwitz:
Also die Funktion allgemein abgeleitet:
[mm] \partial [/mm] x = 4y+4=0
[mm] \partial [/mm] y = 4x=0 => x=0 und y=-1
Jetzt mit Lagrange:
4*x*y [mm] +4x+\lambda*(5x²+5y²-6*x*y-6*x+10*y+4)
[/mm]
[mm] \partial [/mm] x [mm] 4y+4+\lambda*(10x-6*y-6)=0
[/mm]
[mm] \partial [/mm] y 4x+ [mm] \lambda [/mm] * (10y*6x+10)=0
[mm] \partial \lambda [/mm] 5x²+5y²-6*x*y-6*x+10*y+4=0
Nun, [mm] \partial [/mm] y nach [mm] \lambda [/mm] aufgelöst und in [mm] \partial [/mm] x eingesetzt ergibt:
(4y+4)*(10y-6x+10) +4x*(10x-6y-6)=0
ausmultipliziert:
-40x²+40y²+80y+40=0
oder auch:
x²=(y+1)²
ich nehme an man schreibt das so richtig: |x|=|y+1|
Jedenfalls, eingesetzt in [mm] \partial \lambda [/mm] ergibt das ganze folgendes:
5*(y+1)+5y²-6y*(y+1)-6*(y+1)*10y+4=0
ergibt:
y²+8y+3=0
welches mir 2 Resultate liefert, und zwar:
y=-1/2 und y=-3/2
mit x-Koordinaten:
x=-1/2 und x=1/2
Nun gut, ich habe diese Punkte, jedoch fehlt mir laut Lösung ein anderer Punkt, welcher folgender ist:
P(1/4,-5/4)
Ich habe diese Rechnung mehrfach nachgerechnet aber mir erscheint keine plausible Erklärung wo sich dieser Punkt verstecken könnte.
Habe ich eine Untersuchung vergessen? Ich habe doch allgemeine und die Untersuchung mit Lagrange. Da der Punkt nicht auf der x,y,z Achse liegt, brauche ich diesen Fall wohl nicht untersuchen.
Ansonsten müsste ich halt jeweils mit x=0 oder y=0 die Funktion untersuchen...
lg
Zuggel
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> Gesucht sind alle Max / Min der Funktion f(x,y) = 4*x*y +4x
> auf E: 5x²+5y²-6*x*y-6*x+10*y+4
> Hallo alle zusammen! So mein letzter Forumeintrag vor dem
> Exam *schwitz:
>
> Also die Funktion allgemein abgeleitet:
>
> [mm]\partial[/mm] x = 4y+4=0
> [mm]\partial[/mm] y = 4x=0 => x=0 und y=-1
>
> Jetzt mit Lagrange:
>
> 4*x*y [mm]+4x+\lambda*(5x²+5y²-6*x*y-6*x+10*y+4)[/mm]
>
> [mm]\partial[/mm] x [mm]4y+4+\lambda*(10x-6*y-6)=0[/mm]
> [mm]\partial[/mm] y 4x+ [mm]\lambda[/mm] * (10y*6x+10)=0
> [mm]\partial \lambda[/mm] 5x²+5y²-6*x*y-6*x+10*y+4=0
>
> Nun, [mm]\partial[/mm] y nach [mm]\lambda[/mm] aufgelöst und in [mm]\partial[/mm] x
> eingesetzt ergibt:
>
> (4y+4)*(10y-6x+10) +4x*(10x-6y-6)=0
>
> ausmultipliziert:
>
> -40x²+40y²+80y+40=0
>
> oder auch:
>
> x²=(y+1)²
> ich nehme an man schreibt das so richtig: |x|=|y+1|
>
> Jedenfalls, eingesetzt in [mm]\partial \lambda[/mm] ergibt das ganze
> folgendes:
>
> 5*(y+1)+5y²-6y*(y+1)-6*(y+1)*10y+4=0
Hallo,
ich habe nicht alles nachgerechnet, sondern nur nach Stellen gefahndet, an welchen Du Lösungen verlieren könntest, und hier ist eine:
x²=(y+1)² ==> x=|y+1| oder x= -|y+1|,
und Du setzt aber einfach x=y+1 ein.
Gruß v. Angela
> ergibt:
> y²+8y+3=0
>
> welches mir 2 Resultate liefert, und zwar:
>
> y=-1/2 und y=-3/2
> mit x-Koordinaten:
> x=-1/2 und x=1/2
>
> Nun gut, ich habe diese Punkte, jedoch fehlt mir laut
> Lösung ein anderer Punkt, welcher folgender ist:
>
> P(1/4,-5/4)
>
> Ich habe diese Rechnung mehrfach nachgerechnet aber mir
> erscheint keine plausible Erklärung wo sich dieser Punkt
> verstecken könnte.
> Habe ich eine Untersuchung vergessen? Ich habe doch
> allgemeine und die Untersuchung mit Lagrange. Da der Punkt
> nicht auf der x,y,z Achse liegt, brauche ich diesen Fall
> wohl nicht untersuchen.
> Ansonsten müsste ich halt jeweils mit x=0 oder y=0 die
> Funktion untersuchen...
>
>
> lg
> Zuggel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 Sa 28.06.2008 | | Autor: | Zuggel |
> > Gesucht sind alle Max / Min der Funktion f(x,y) = 4*x*y +4x
> > auf E: 5x²+5y²-6*x*y-6*x+10*y+4
> > Hallo alle zusammen! So mein letzter Forumeintrag vor
> dem
> > Exam *schwitz:
> >
> > Also die Funktion allgemein abgeleitet:
> >
> > [mm]\partial[/mm] x = 4y+4=0
> > [mm]\partial[/mm] y = 4x=0 => x=0 und y=-1
> >
> > Jetzt mit Lagrange:
> >
> > 4*x*y [mm]+4x+\lambda*(5x²+5y²-6*x*y-6*x+10*y+4)[/mm]
> >
> > [mm]\partial[/mm] x [mm]4y+4+\lambda*(10x-6*y-6)=0[/mm]
> > [mm]\partial[/mm] y 4x+ [mm]\lambda[/mm] * (10y*6x+10)=0
> > [mm]\partial \lambda[/mm] 5x²+5y²-6*x*y-6*x+10*y+4=0
> >
> > Nun, [mm]\partial[/mm] y nach [mm]\lambda[/mm] aufgelöst und in [mm]\partial[/mm] x
> > eingesetzt ergibt:
> >
> > (4y+4)*(10y-6x+10) +4x*(10x-6y-6)=0
> >
> > ausmultipliziert:
> >
> > -40x²+40y²+80y+40=0
> >
> > oder auch:
> >
> > x²=(y+1)²
> > ich nehme an man schreibt das so richtig: |x|=|y+1|
> >
> > Jedenfalls, eingesetzt in [mm]\partial \lambda[/mm] ergibt das ganze
> > folgendes:
> >
> > 5*(y+1)+5y²-6y*(y+1)-6*(y+1)*10y+4=0
>
> Hallo,
>
> ich habe nicht alles nachgerechnet, sondern nur nach
> Stellen gefahndet, an welchen Du Lösungen verlieren
> könntest, und hier ist eine:
>
> x²=(y+1)² ==> x=|y+1| oder x= -|y+1|,
>
> und Du setzt aber einfach x=y+1 ein.
>
> Gruß v. Angela
>
Nun aber mit y=-1/2 und y=-3/2
habe ich dann ja:
x=|-1/2+1|= 1/2 und |-3/2+1|= 1/2
und:
x=-|-1/2+1|= -1/2 und x=-|-3/2+1|= -1/2
Aber auf das sagenhafte 1/4 komme ich irgendwie nicht. Dass ich da etwas auf der Strecke gelassen habe war mir irgendwie schon bewusst, aber da es nicht die 1/4 für x waren, welche ich gesucht habe, dachte ich mir es könnte sonst wo liegen.
Den Rechenweg habe ich mit dem Taschenrechner kontrolliert, der drüfte stimmen.
lg
Zuggel
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> > ich habe nicht alles nachgerechnet, sondern nur nach
> > Stellen gefahndet, an welchen Du Lösungen verlieren
> > könntest, und hier ist eine:
> >
> > x²=(y+1)² ==> x=|y+1| oder x= -|y+1|,
> >
> > und Du setzt aber einfach x=y+1 ein.
> >
> > Gruß v. Angela
> >
>
>
> Nun aber mit y=-1/2 und y=-3/2
>
> habe ich dann ja:
>
> x=|-1/2+1|= 1/2 und |-3/2+1|= 1/2
>
> und:
>
> x=-|-1/2+1|= -1/2 und x=-|-3/2+1|= -1/2
>
> Aber auf das sagenhafte 1/4 komme ich irgendwie nicht.
Hallo,
ich wiederhole mich:
Du hast für x lediglich y+1 eingesetzt und die weitere Lösung x= -(y+1) schlichtweg ignoriert, und deshalb verleirst Du Lösungen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Sa 28.06.2008 | | Autor: | Zuggel |
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> > > ich habe nicht alles nachgerechnet, sondern nur nach
> > > Stellen gefahndet, an welchen Du Lösungen verlieren
> > > könntest, und hier ist eine:
> > >
> > > x²=(y+1)² ==> x=|y+1| oder x= -|y+1|,
> > >
> > > und Du setzt aber einfach x=y+1 ein.
> > >
> > > Gruß v. Angela
> > >
> >
> >
> > Nun aber mit y=-1/2 und y=-3/2
> >
> > habe ich dann ja:
> >
> > x=|-1/2+1|= 1/2 und |-3/2+1|= 1/2
> >
> > und:
> >
> > x=-|-1/2+1|= -1/2 und x=-|-3/2+1|= -1/2
> >
> > Aber auf das sagenhafte 1/4 komme ich irgendwie nicht.
>
> Hallo,
>
> ich wiederhole mich:
>
> Du hast für x lediglich y+1 eingesetzt und die weitere
> Lösung x= -(y+1) schlichtweg ignoriert, und deshalb
> verleirst Du Lösungen.
>
> Gruß v. Angela
>
>
Das darf doch nicht warh sein, also nochmal:
Meine Lösung ist x² = (y+1)²
oder wie du sagtest: [mm] x=\pm|y+1|
[/mm]
Du sagtest ich habe die Lösung (-y+1) ignoriert. Also was mache ich dann falsch wenn ich dann falsch wenn ich folgendes einsetze:
Lösung y=-1/2
dann ist: x=-|-1/2+1| = -|1/2|= -1/2
Lösung: y=-3/2
dann: x=-|-3/2+1| = -|-1/2| = -1/2
Irgendwie muss die Lösung doch mit 1/2 multipliziert werden, damit ich auf 1/4 komme, +1 oder -1 variieren in dieser Hinsicht nicht genug um von 1/2 oder 3/2 auf 1/4 zu kommen (ist mein Gedankengang bei dieser Lösung)
Da gibt es dich keine andere Möglichkeit mehr oder bin ich gerade auf nem Holzweg?
Danke
lg
Zuggel
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> > ich wiederhole mich:
> >
> > Du hast für x lediglich y+1 eingesetzt und die weitere
> > Lösung x= -(y+1) schlichtweg ignoriert, und deshalb
> Das darf doch nicht warh sein, also nochmal:
>
> Meine Lösung ist x² = (y+1)²
> oder wie du sagtest: [mm]x=\pm|y+1|[/mm]
>
> Du sagtest ich habe die Lösung (-y+1) ignoriert.
Hallo,
nein, ich sage, daß Du die Lösung -(y+1) ignoriert hast. (Das andere wäre ja auch keine Lösung. )
Aus x² = (y+1)² folgt
[mm] x_1=|y+1| [/mm] oder [mm] x_2= [/mm] -|y+1|.
[Was bedeuten denn eigentlich die Betragstriche?
[mm] x_1=\begin{cases}y+1, & \mbox{für } y\ge-1 \mbox{} \\ -(y+1), & \mbox{für } y<-1 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
oder
[mm] x_2=\begin{cases}-(y+1), & \mbox{für } y\ge -1 \mbox{} \\(y+1), & \mbox{für } y<-1 \mbox{} \end{cases}.]
[/mm]
Du mußt also x=y+1 und x=-(y+1) in die partielle Ableitung nach [mm] \lambda [/mm] einsetzen,
und bevor Du zweiteres nicht wenigstens einmal durchgerechnet hast, werde ich keine Frage zu diesem Thema mehr beantworten.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Sa 28.06.2008 | | Autor: | Zuggel |
Entschuldige, auf das hatte ich gar nicht gedacht. Ich habe das so interpretiert, dass du mit dem "ignoriert" gemeint hast, dass ich beim Einsetzen der Punkte die Betragsstriche ignoriert hatte.
Das ganze macht jetzt natürlich mehr Sinn; vollständigkeitshalber hier der Rechenweg:
5*(y+1)²+5*y²+6y*(y+1)+6*(y+1)+10y+4=0
5y²+10y+5+5y²+6y²+6y+6y+6+10y+4=0
16y²+32y+15=0
[mm] \bruch{-32\pm\wurzel(32²-4*16*15)}{2*16}
[/mm]
oder:
2y²+4y+15/8=0
[mm] \bruch{-4\pm\wurzel(4²-4*2*15/8)}{4}
[/mm]
[mm] \bruch{-4\pm1}{4}
[/mm]
Herrlich das Ergebnis. Ich hatte das echt nicht berücksichtigt als Fall sondern nur als 2 verschiedene Möglichkeiten beim Einsetzen der y Koordinaten der Punkte
Danke Angela du bist Top ;)
lg
Zuggel
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