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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 So 31.01.2010 | | Autor: | steem |
| Aufgabe | Es sind die Globalen Extrema der Funktion:
[mm] f(x,y)=3*x^3 +y^2 [/mm] mit [mm] D=\{(x,y,)|x^2 +2xy+y^2 \le 5\} [/mm] gesucht. |
Ich möchte das mit der Regel von Lagrange lösen, aber weiß nicht so recht, was ich mit den ganzen Ergebnissen anfagen soll.
Erstmal habe ich den Gradienten berechnet:
grad(f)= [mm] \vec{0} [/mm] : grad(f)= [mm] \vektor{6x \\ 2y} [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm]
daraus folgt das $x=0$ und $y=0$ ist, was mache ich mit dieser Erkenntnis nun?
Dann habe ich den Gradienten der Nebenbedinung gebildet.
$grad(g)= [mm] \vec{0} [/mm] : grad(g)= [mm] \vektor{2x+2y \\ 2x+2y} [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm] $
Und damit die Lagrange Sache aufgestellt. (wie nennt man diese Form richtig? :))
$grad(f)+ [mm] \lambda [/mm] *grad(g)= [mm] \vec{0} [/mm] $
mit der Nebenbedingung als dritte Gleichung sieht mein Gleichungssystem jetzt so aus:
$Lagrange(f,g)= [mm] \vektor{6x+ \lambda*(2x+2y)=0 \\ 2y+ \lambda*(2x+2y)=0 \\ (x+y)^2 -5=0}$
[/mm]
Die ersten beiden Gleichungen kann ich gleichsetzen und vereinfachen:
[mm] $\Rightarrow [/mm] 6x+ [mm] \lambda*(2x+2y)=2y+ \lambda*(2x+2y)$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] 6x=2y$
[mm] $\gdw [/mm] y=3x$
Jetzt ist die Frage, was mache ich damit? Ziel ist es ja irgendwie Punkte rauszukriegen. Ich könnte es irgendwo einsetzen, allerdings sind die Möglichkeiten inzwischen derart vielfältig geworden, dass ich etwas verwirrt bin und nicht weiß wo ich das einsetzen kann/sollte.
Ist die Vorgehensweise denn immer gleich? Ich habe irgendwie das Gefühl, dass man hier immer irgendwas "sehen" oder erkennen muss, um zum Ziel zu gelangen.
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Hallo steem,
> Es sind die Globalen Extrema der Funktion:
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> [mm]f(x,y)=3*x^3 +y^2[/mm] mit [mm]D=\{(x,y,)|x^2 +2xy+y^2 \le 5\}[/mm]
> gesucht.
> Ich möchte das mit der Regel von Lagrange lösen, aber
> weiß nicht so recht, was ich mit den ganzen Ergebnissen
> anfagen soll.
>
> Erstmal habe ich den Gradienten berechnet:
>
> grad(f)= [mm]\vec{0}[/mm] : grad(f)= [mm]\vektor{6x \\ 2y}[/mm] = [mm]\vec{0}[/mm]
Dann lautet die Funktion wohl
[mm]f\left(x,y\right)=3*x^{\blue{2}}+y^{2}[/mm]
In der Aufgabe steht aber
[mm]f\left(x,y\right)=3*x^{\blue{3}}+y^{2}[/mm]
>
> daraus folgt das [mm]x=0[/mm] und [mm]y=0[/mm] ist, was mache ich mit dieser
> Erkenntnis nun?
>
> Dann habe ich den Gradienten der Nebenbedinung gebildet.
>
> [mm]grad(g)= \vec{0} : grad(g)= \vektor{2x+2y \\ 2x+2y} = \vec{0}[/mm]
>
> Und damit die Lagrange Sache aufgestellt. (wie nennt man
> diese Form richtig? :))
>
> [mm]grad(f)+ \lambda *grad(g)= \vec{0}[/mm]
>
> mit der Nebenbedingung als dritte Gleichung sieht mein
> Gleichungssystem jetzt so aus:
>
> [mm]Lagrange(f,g)= \vektor{6x+ \lambda*(2x+2y)=0 \\ 2y+ \lambda*(2x+2y)=0 \\ (x+y)^2 -5=0}[/mm]
>
> Die ersten beiden Gleichungen kann ich gleichsetzen und
> vereinfachen:
>
> [mm]\Rightarrow 6x+ \lambda*(2x+2y)=2y+ \lambda*(2x+2y)[/mm]
> [mm]\gdw 6x=2y[/mm]
>
> [mm]\gdw y=3x[/mm]
>
> Jetzt ist die Frage, was mache ich damit? Ziel ist es ja
> irgendwie Punkte rauszukriegen. Ich könnte es irgendwo
> einsetzen, allerdings sind die Möglichkeiten inzwischen
> derart vielfältig geworden, dass ich etwas verwirrt bin
> und nicht weiß wo ich das einsetzen kann/sollte.
In die Nebenbedingung einsetzen.
>
> Ist die Vorgehensweise denn immer gleich? Ich habe
> irgendwie das Gefühl, dass man hier immer irgendwas
> "sehen" oder erkennen muss, um zum Ziel zu gelangen.
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 So 31.01.2010 | | Autor: | steem |
Danke für die Antwort!
Ja du hast recht die Aufgabe heißt
$ [mm] f\left(x,y\right)=3\cdot{}x^{\blue{2}}+y^{2} [/mm] $
Ich habe auch schon versucht $ y=3x $ in die Nebenbedingung einzusetzen
Da bekomme ich dann raus:
[mm] $x_1 [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{5}{16}}$ [/mm] und [mm] $x_2 [/mm] = - [mm] \wurzel{\bruch{5}{16}}$
[/mm]
Wo muss das denn jetzt wieder hin? Irgendwie verwirrt mich das Ergebnis ein bischen, weil ich weiß, dass ein globales Minimum bei P=(0,0) liegt...
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Hallo steem,
> Danke für die Antwort!
>
> Ja du hast recht die Aufgabe heißt
>
> [mm]f\left(x,y\right)=3\cdot{}x^{\blue{2}}+y^{2}[/mm]
>
> Ich habe auch schon versucht [mm]y=3x[/mm] in die Nebenbedingung
> einzusetzen
> Da bekomme ich dann raus:
>
> [mm]x_1 = \wurzel{\bruch{5}{16}}[/mm] und [mm]x_2 = - \wurzel{\bruch{5}{16}}[/mm]
>
> Wo muss das denn jetzt wieder hin? Irgendwie verwirrt mich
> das Ergebnis ein bischen, weil ich weiß, dass ein globales
> Minimum bei P=(0,0) liegt...
>
Nun, Du hast die Beziehung [mm]y=3*x[/mm]
Daraus erhältst Du die zugehörigen y-Werte.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 So 31.01.2010 | | Autor: | steem |
Ok, das hab ich mir fast gedacht, nur bekomme ich damit Punkte raus, die sehr verschieden von 0 sind.
[mm] P_1 =(\wurzel{\bruch{5}{16}} [/mm] / [mm] 3*\wurzel{ \bruch{4}{5}})
[/mm]
[mm] P_2 =(-\wurzel{\bruch{5}{16}} [/mm] / [mm] -3*\wurzel{ \bruch{4}{5}})
[/mm]
Wofür brauche ich diese Punkte denn jetzt ?
Das Minimum liegt doch in P=(0,0)...
Ich weiß irgendwie nicht genau was ich hier mache :(
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Hallo steem,
> Ok, das hab ich mir fast gedacht, nur bekomme ich damit
> Punkte raus, die sehr verschieden von 0 sind.
>
> [mm]P_1 =(\wurzel{\bruch{5}{16}}[/mm] / [mm]3*\wurzel{ \bruch{4}{5}})[/mm]
>
> [mm]P_2 =(-\wurzel{\bruch{5}{16}}[/mm] / [mm]-3*\wurzel{ \bruch{4}{5}})[/mm]
>
> Wofür brauche ich diese Punkte denn jetzt ?
Diese Punkte kannst Du jetzt prüfen,
welche Art von Extrema vorliegt.
>
> Das Minimum liegt doch in P=(0,0)...
Dort liegt ein "globales" Minimum vor.
Das, was Du jetzt ausgerechnet hast, sind lokale Extrema.
> Ich weiß irgendwie nicht genau was ich hier mache :(
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 So 31.01.2010 | | Autor: | steem |
Wieso sind das denn lokale Extrema? Wenn ich mir die Funktion plotten lasse, ist an diesen Stellen keine besondere Stellen zu erkennen.
Überprüfen ginge dann mit der Hesse Matrix oder?
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Hallo steem,
> Wieso sind das denn lokale Extrema? Wenn ich mir die
> Funktion plotten lasse, ist an diesen Stellen keine
> besondere Stellen zu erkennen.
Dann lass Dir mal dazu die Nebenbedingung auch plotten.
>
> Überprüfen ginge dann mit der Hesse Matrix oder?
>
>
Na ja, es gibt eine Formel, die über die Art des Extremas entscheidet.
Jedoch kann ich die Formel nicht so ohne weiteres nachvollziehen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 So 31.01.2010 | | Autor: | steem |
Die Nebenbedingung habe ich mir auch plotten lassen, aber auch da gab es keinen besonderen Punkt der den ausgerechneten entspricht.
Weißt du denn wie diese Formel heißt?
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Hallo steem,
> Die Nebenbedingung habe ich mir auch plotten lassen, aber
> auch da gab es keinen besonderen Punkt der den
> ausgerechneten entspricht.
>
> Weißt du denn wie diese Formel heißt?
>
Ja.
Betrachtet wird hier die Funktion [mm]z=f\left(x,y\right)[/mm]
mit der Nebenbedingung [mm]\varphi\left(x,y\right)=0[/mm]
Dann ist
[mm]\Delta=\bruch{\partial^{2}\left(f+\lambda*\varphi\right)}{\partial x^{2}}*\left( \ \bruch{\partial \varphi}{\partial y} \ \right)^{2}-2*\bruch{\partial^{2}\left(f+\lambda*\varphi\right)}{\partial x \partial y}*\bruch{\partial \varphi}{\partial x}*\bruch{\partial \varphi}{\partial y}+\bruch{\partial^{2}\left(f+\lambda*\varphi\right)}{\partial y^{2}}*\left( \ \bruch{\partial \varphi}{\partial x} \ \right)^{2}[/mm]
ein Kriterium, das über die Art des Extremums entscheidet.
Ist [mm]\Delta < 0[/mm], so handelt es sich um ein Maximum.
Ist [mm]\Delta > 0[/mm], so handelt es sich um ein Minimum.
Gruss
MathePower
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