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Forum "Mechanik" - Lagrange 1. Art - Kugel
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Lagrange 1. Art - Kugel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:45 Fr 13.11.2009
Autor: XPatrickX

Aufgabe
Ein Teilchen bewege sich reibungsfrei auf der Innenfläche einer Hohlkugel mit dem Radius R.
Formulieren Sie die Zwangsbedingung und bestimmen Sie die Bewegungsgleichung im Lagrange-Fomralismus 1.Art in kartesichen Koordinaten.  

Hallo,

es gilt ja für die Bewegungsgleichung
[mm] $$m\ddot{\vec{r}}=\vec{F}_{Grav}+\lambda \nabla [/mm] f [mm] \quad (\ast)$$ [/mm]

Mit der Zwangsbedingung:

[mm] $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-R^2=0$ [/mm]

[mm] $\nabla [/mm] f = 2(x,y,z)$

Leite ich jetzt noch die Funktion f nach der Zeit ab erhalte ich noch die Bedingungen:

[mm] $2x\dot{x}+2y\dot{y}+2z\dot{z}=0 \gdw x\dot{x}+y\dot{y}+z\dot{z}=0 [/mm] $

[mm] $\dot{x}^2+x\ddot{x}+\dot{y}^2+y\ddot{y}+\dot{z}^2+z\ddot{z}=0$ [/mm]


Somit ergibt sich die Bew.-Gl. [mm] $(\ast)$ [/mm] in Komponenten:

[mm] $$m\ddot{x}=2\lambda [/mm] x$$
[mm] $$m\ddot{y}=2\lambda [/mm] y$$
[mm] $$m\ddot{z}=-mg+2\lambda [/mm] z$$


Jetzt muss ich versuchen das [mm] \lambda [/mm] zu ermitteln. Doch das will mir nicht so recht gelingen.
Ich könnte diese drei Gleichungen jeweils mit x,y,z multiplizieren und addieren. Dann erhalte ich mit der Funktion f und den zweiten Ableitungen:
[mm] $\lambda=\frac{m}{2R^2}(zg-(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2))$ [/mm]

Darf [mm] \lambda [/mm] denn von den Ableitungen abhängen? Und dann bin ich ja immer noch weit davon entfernt, die Bewegunsgleichungen zu lösen...?

Danke!
Viele Grüße
Patrick

        
Bezug
Lagrange 1. Art - Kugel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:19 Fr 13.11.2009
Autor: leduart

Hallo
Die 3 Gleichungen sind doch einfache lin Dgl. die kannst du lösen, dann in f einsetzen ergibt [mm] \lambda [/mm]
oder erst Anfangsbed. einsetzen  und dann [mm] \lambda [/mm] bestimmen.
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
Lagrange 1. Art - Kugel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:38 So 15.11.2009
Autor: XPatrickX

Hallo leduart,

aber wenn ich die DGLs löse erhalte ich ja ziemlich komplzierte Ausdrücke: [mm] x(t)=c_1*\exp(\sqrt{2\lambda/m)}+c_2\exp(-\sqrt{2\lambda/m}) [/mm] etc. Ich glaube mittlerweile, dass ich die gar nicht explizit lösen muss, sondern das aufstellen schon reicht.

Teil b.) der Aufgabe lautet nämlich nun:

Untersuchen Sie die Bewegung für kleine Auslenkungen mit den Anfangsbedingungen [mm] \vec{r}(0)=-R\vec{e_z}, \; \vec{v}(0)=v_0\vec{e_x} [/mm]

Wichtig ist hier wohl das mit den kleinen Auslenken. Das heißt [mm] $z\approx [/mm] -R$ oder [mm] $z=-R+\zeta$ [/mm]

Nun soll ich irgendwie auf einfache DGLs kommen:
[mm] \dot{x}=... [/mm]
[mm] \dot{y}=... [/mm]
[mm] \dot{z}=... [/mm]
Mit Termen linear in [mm] x,y,\zeta. [/mm]

Ich frage mich nur wie????

Bezug
                
Bezug
Lagrange 1. Art - Kugel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:46 Mo 16.11.2009
Autor: XPatrickX

Hallo nochmal,

also ich bin inzwischen etwas weiter gekommen.

[mm] $\lambda=\frac{m}{2R^2}(zg-(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)) [/mm] $

Nun ist [mm] (\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)=v^2 [/mm] und wegen [mm] 1/2mv^2=mgz [/mm] folgt für [mm] \lambda: [/mm]

[mm] $\lambda=\frac{m}{2R^2}(zg-2gz)=-\frac{mg}{2R^2}z$ [/mm]


Damit erhalte ich die DGLs:

[mm] \ddot{x}=-\frac{g}{R^2}zx [/mm]

[mm] \ddot{y}=-\frac{g}{R^2}zy [/mm]

[mm] \ddot{z}=-g-\frac{g}{R^2}z^2 [/mm]


Diese soll ich nun für kleine Auslenkungen lösen mit den Anfangsbedingungen:
[mm] $\vec{r}(0)=-R\vec{e_z}, \quad \vec{v}(0)=v_0\vec{e_x}$ [/mm]




Ich versuche mich mal an der ersten Gleichung:

Jetzt ersetze ich [mm] z:=-R+\zeta [/mm]

[mm] $\ddot{x}=-\frac{g}{R^2}(-R+\zeta)x=g/R x-g/R^2 \zeta [/mm] x$ Das Produkt [mm] \zeta*x [/mm] vernachlässige ich, sodass ich auf die Gleichung:
[mm] \ddot{x}-\frac{g}{R}x=0 [/mm] komme.

Ansatz mit der e-Funtion liefert die Gleichung:
[mm] x(t)=c_1\exp(\sqrt{g/R}t)+c_2\exp(-\sqrt{g/R}t) [/mm]

Mit den Anfangsbedingungen komme ich auf:
[mm] x(t)=v_0\sqrt{R/g}\sinh(\sqrt{g/R}*t) [/mm]

Kann das realistisch sein, dass der [mm] \sinh [/mm] rauskommt? Das ist ja dann eigentlich keine richtige Schwingung....


Danke :)



Bezug
                        
Bezug
Lagrange 1. Art - Kugel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:03 Mo 16.11.2009
Autor: leduart

Hallo
Deine Lösung ist falsch du hast doch
als Lösung [mm] e^{\sqrt{-\frac{g}{R^2}}}und [/mm] damit den normalen sin oder cos.
Gruss leduart

Bezug
                                
Bezug
Lagrange 1. Art - Kugel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:09 Mo 16.11.2009
Autor: XPatrickX

Ja das dachte ich auch erst, aber wenn ich [mm] z:=\red{-}R+\zeta [/mm] ersetze, dann kürzt sich doch das Minus aus der DGL raus und ich komme schließlich auf:

[mm] $\ddot{x}-\frac{g}{R}x=0$ [/mm]

Hier erhalte ich doch [mm] exp(\sqrt{\red{+}g/R}) [/mm]


Ich sehe keinen Fehler...?




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Bezug
Lagrange 1. Art - Kugel: Fehler gefunden!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:00 Di 17.11.2009
Autor: XPatrickX

Hallo,

ich habe den Fehler gefunden. Die pot. Energie lautet $mg(R+z)$. Damit passt alles.

Das Thema kann somit auf erledigt gestellt werden.

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