Lagrange Multi. Extremstellen < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:25 Mi 10.07.2013 | | Autor: | Runo667 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Extremalstellen der Funktion f(x,y)=x²+y² mit Hilfe der Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren unter der Nebenbedingung h(x,y)=(x-1)²+y²-1=0. |
Bin nun so weit:
Erst [mm] g(x,y,\lambda)=(x²+y²)+\lambda(x²-2x+y²) [/mm] --> [mm] g(x,y,\lambda)=x²+y²+\lambdax²-2x\lambda+\lambday²
[/mm]
Ableiten nach x, y und [mm] \lambda
[/mm]
nach x: [mm] 2x+2x\lambda-2\lambda=0 [/mm] :Gleichung 1
nach y: [mm] 2y+2y\lambda=0 [/mm] :Gleichung 2
nach [mm] \lambda: [/mm] x²-2x+y²=0 :Gleichung 3
Gleichung 1 nach [mm] \lambda [/mm] auflösen:
[mm] 2x+2x\lambda-2\lambda=0 [/mm] --> [mm] 2x+\lambda(2x-2)=0 [/mm] --> [mm] \lambda=-\bruch{2x}{2x-2}
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] von Gleichung 1 einsetzen in Gleichung 2:
[mm] 2y+2y*(-\bruch{2x}{2x-2})=0
[/mm]
[mm] 2y+-\bruch{4xy}{2x-2}=0 [/mm] --> [mm] \bruch{4xy+(2y(2x-2))}{2x-2} [/mm]
[mm] ->\bruch{4xy+4xy-2y}{2x-2} [/mm] jetzt habe ich das hier dastehen.
Wie mache ich weiter? Müsste das "Ergebnis" aus Gleichung 2 eigentlich in Gleichung 3 einsetzen, allerdings weiß ich nicht wie?
Wäre für jede Hifle dankbar.
Grüße
Runo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Runo667,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bestimmen Sie die Extremalstellen der Funktion
> f(x,y)=x²+y² mit Hilfe der Methode der Lagrangeschen
> Multiplikatoren unter der Nebenbedingung
> h(x,y)=(x-1)²+y²-1=0.
>
> Bin nun so weit:
>
> Erst [mm]g(x,y,\lambda)=(x²+y²)+\lambda(x²-2x+y²)[/mm]
> --> [mm]g(x,y,\lambda)=x²+y²+\lambdax²-2x\lambda+\lambday²[/mm]
>
> Ableiten nach x, y und [mm]\lambda[/mm]
>
> nach x: [mm]2x+2x\lambda-2\lambda=0[/mm] :Gleichung 1
>
> nach y: [mm]2y+2y\lambda=0[/mm]
> :Gleichung 2
>
> nach [mm]\lambda:[/mm] x²-2x+y²=0
> :Gleichung 3
>
> Gleichung 1 nach [mm]\lambda[/mm] auflösen:
>
> [mm]2x+2x\lambda-2\lambda=0[/mm] --> [mm]2x+\lambda(2x-2)=0[/mm] -->
> [mm]\lambda=-\bruch{2x}{2x-2}[/mm]
>
> [mm]\lambda[/mm] von Gleichung 1 einsetzen in Gleichung 2:
>
> [mm]2y+2y*(-\bruch{2x}{2x-2})=0[/mm]
> [mm]2y+-\bruch{4xy}{2x-2}=0[/mm] -->
> [mm]\bruch{4xy+(2y(2x-2))}{2x-2}[/mm]
>
> [mm]->\bruch{4xy+4xy-2y}{2x-2}[/mm] jetzt habe ich das hier
> dastehen.
> Wie mache ich weiter? Müsste das "Ergebnis" aus Gleichung
> 2 eigentlich in Gleichung 3 einsetzen, allerdings weiß ich
> nicht wie?
Löse diese Gleichung 2 nach y auf
und setze die gewonnenen Erkenntnisse
in Gleichung 3 ein.
> Wäre für jede Hifle dankbar.
>
> Grüße
>
> Runo
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Mi 10.07.2013 | | Autor: | Runo667 |
Erst einmal Vielen Dank für die Antwort.
Ich habs mal mit dem Ansatz versucht.
Nach y aufgelöst: [mm] 0=\bruch{y(8x-2)}{2x-2}
[/mm]
Somit [mm] y=\bruch{8x-2}{2x-2}
[/mm]
Eingesetzt in Gleichung 3: [mm] x^{2}-2x+y^{2}=0
[/mm]
--> [mm] x^{2}-2x+\bruch{64x^{2}-32x+4}{4x^{2}-8x+4}=0
[/mm]
Wenn ich das versuche aufzulösen komme ich auf [mm] -58x^{2}+20x=0
[/mm]
x(-58x+20)=0 x1=0 [mm] x2=\bruch{20}{58}
[/mm]
Falls das korrekt sein sollte, was ich bezweifle :(, woher hole ich mir die y-Werte.
Grüße
Runo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:42 Mi 10.07.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Erst einmal Vielen Dank für die Antwort.
>
> Ich habs mal mit dem Ansatz versucht.
>
> Nach y aufgelöst: [mm]0=\bruch{y(8x-2)}{2x-2}[/mm]
> Somit [mm]y=\bruch{8x-2}{2x-2}[/mm]
Wann ist ein Produkt 0
Was du gerechnet hast ist grausig, ich nehm mal an du bist zu müde
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:22 Do 11.07.2013 | | Autor: | Runo667 |
Wenn ich super rechnen könnte, wäre ich nicht auf Hilfe angewiesen.
Naja...: Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist:
[mm] 0=\bruch{y(8x-2)}{2x-2} [/mm] Daraus lese ich dann: y=0 [mm] x=\bruch{8}{2}
[/mm]
Das könnte ich in die dritte Gleichung einsetzten: [mm] x^{2}-2x+y^{2}
[/mm]
und hätte dann [mm] y^{2}=-8
[/mm]
Damit könnte ich auch die Extremstellen berechnen.
Jetzt richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:22 Do 11.07.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Wenn ich super rechnen könnte, wäre ich nicht auf Hilfe
> angewiesen.
> Naja...: Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren
> Null ist:
Ja.
>
> [mm]0=\bruch{y(8x-2)}{2x-2}[/mm] Daraus lese ich dann: y=0
Ja
> [mm]x=\bruch{8}{2}[/mm]
Nein, 8x-2=0 fürht zu einer anderen Lösung.
>
> Das könnte ich in die dritte Gleichung einsetzten:
Ja, aber bitte den korrigierten Wert. Und x=0 solltest du ebenfalls weiter verfolgen.
> [mm]x^{2}-2x+y^{2}[/mm]
Das ist keine Gleichung
>
> und hätte dann [mm]y^{2}=-8[/mm]
Nein
>
> Damit könnte ich auch die Extremstellen berechnen.
>
> Jetzt richtig?
Vom Prinzip ja.
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:39 Do 11.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die Extremalstellen der Funktion
> f(x,y)=x²+y² mit Hilfe der Methode der Lagrangeschen
> Multiplikatoren unter der Nebenbedingung
> h(x,y)=(x-1)²+y²-1=0.
>
> Bin nun so weit:
>
> Erst [mm]g(x,y,\lambda)=(x²+y²)+\lambda(x²-2x+y²)[/mm]
> --> [mm]g(x,y,\lambda)=x²+y²+\lambdax²-2x\lambda+\lambday²[/mm]
>
> Ableiten nach x, y und [mm]\lambda[/mm]
>
> nach x: [mm]2x+2x\lambda-2\lambda=0[/mm] :Gleichung 1
>
> nach y: [mm]2y+2y\lambda=0[/mm]
> :Gleichung 2
>
> nach [mm]\lambda:[/mm] x²-2x+y²=0
> :Gleichung 3
>
> Gleichung 1 nach [mm]\lambda[/mm] auflösen:
>
> [mm]2x+2x\lambda-2\lambda=0[/mm] --> [mm]2x+\lambda(2x-2)=0[/mm] -->
> [mm]\lambda=-\bruch{2x}{2x-2}[/mm]
>
> [mm]\lambda[/mm] von Gleichung 1 einsetzen in Gleichung 2:
>
> [mm]2y+2y*(-\bruch{2x}{2x-2})=0[/mm]
> [mm]2y+-\bruch{4xy}{2x-2}=0[/mm] -->
> [mm]\bruch{4xy+(2y(2x-2))}{2x-2}[/mm]
>
> [mm]->\bruch{4xy+4xy-2y}{2x-2}[/mm] jetzt habe ich das hier
> dastehen.
> Wie mache ich weiter? Müsste das "Ergebnis" aus Gleichung
> 2 eigentlich in Gleichung 3 einsetzen, allerdings weiß ich
> nicht wie?
> Wäre für jede Hifle dankbar.
Grausam, was Du da treibst !!!
Wir haben die Gleichungen:
(1) [mm] x+\lambda(x-1)=0
[/mm]
(2) [mm] (1+\lambda)y=0
[/mm]
(3) [mm] x^2-2x+y^2=0.
[/mm]
Aus (2) folgt: y=0 oder [mm] \lambda=-1.
[/mm]
Ist [mm] \lambda=-1, [/mm] so folgt aus (1) der Widerspruch 1=0.
Also ist [mm] \lambda \ne [/mm] 1 und somit y=0.
Aus (3) folgt dann x=0 oder x=2
Damit hast Du die Punkte (0,0) und (2,0)
FRED
>
> Grüße
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> Runo
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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