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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Lagrange Multiplikation
Lagrange Multiplikation < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Lagrange Multiplikation: Zweifel
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:10 So 27.05.2012
Autor: sirgrej

Aufgabe
Benutzen sie Lagrange Optimierung um x³+4y² unter der Bedingung 4x²+2y = 7 zu maximieren.

Um die Aufgabe zu lösen habe ich die Lagrange Multiplikation benutzt. ich habe also die  [mm] \lambda [/mm] funktion aufgestellt und jeweils nach x,y, und [mm] \lambda [/mm] abgeleitet und gleich null gesetzt.
danach nach x und y aufgelöst und in meine nebenbedingung eingesetzt. durch die PQ-Formel bin ich dann auf zwei verschiedene [mm] \lambda [/mm] gekommen.

insgesamt habe ich folgende Lösungen raus:

x1= 0 ; [mm] x2=\bruch{-8\lambda}{3} [/mm] ; [mm] y=\bruch{-\lambda}{4} [/mm]

für [mm] \lambda [/mm] hab ich einmal [mm] \lambda1=0,51 [/mm] und [mm] \lambda2=0,49 [/mm]

jetzt könnte ich ja meine x und y-werte durch meine [mm] \lambda [/mm] ausrechnen und bekomme dann 3 verschiedene x-werte und 2 y- werte.

aber was bringt mir das? wie kann ich die werte interpretieren?


danke schon mal für die hilfe


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Lagrange Multiplikation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:31 So 27.05.2012
Autor: MathePower

Hallo sirgrej,


[willkommenmr]


> Benutzen sie Lagrange Optimierung um x³+4y² unter der
> Bedingung 4x²+2y = 7 zu maximieren.
>  Um die Aufgabe zu lösen habe ich die Lagrange
> Multiplikation benutzt. ich habe also die  [mm]\lambda[/mm] funktion
> aufgestellt und jeweils nach x,y, und [mm]\lambda[/mm] abgeleitet
> und gleich null gesetzt.
>  danach nach x und y aufgelöst und in meine nebenbedingung
> eingesetzt. durch die PQ-Formel bin ich dann auf zwei
> verschiedene [mm]\lambda[/mm] gekommen.
>  
> insgesamt habe ich folgende Lösungen raus:
>  
> x1= 0 ; [mm]x2=\bruch{-8\lambda}{3}[/mm] ; [mm]y=\bruch{-\lambda}{4}[/mm]
>  
> für [mm]\lambda[/mm] hab ich einmal [mm]\lambda1=0,51[/mm] und
> [mm]\lambda2=0,49[/mm]

>


Da Du 3 x-Werte bekommst, musst Du auch 3 [mm]\lambda[/mm]-Werte bekommen.

Abgesehen davon, müssen [mm]\lambda_{1}[/mm] und  [mm]\lambda_{2}[/mm] verschiedene Vorzeichen haben.

Poste doch dazu Deine bisherigen Rechenschritte.


> jetzt könnte ich ja meine x und y-werte durch meine
> [mm]\lambda[/mm] ausrechnen und bekomme dann 3 verschiedene x-werte
> und 2 y- werte.
>  


Du bekommst ebenfalls 3 y-Werte.


> aber was bringt mir das? wie kann ich die werte
> interpretieren?
>  


Diese Lösungen untersuchst Du nun auf die Art des Extremums.


>
> danke schon mal für die hilfe
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Lagrange Multiplikation: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:55 So 27.05.2012
Autor: sirgrej

Ok ich schreibe dann mal meine rechnung auf.

also aus den oben gegebenen daten stelle ich folgende lambdafunktion auf und setze sie gleich 0

[mm] h(x,y,\lambda)=x³+4y²4x²\lambda+2\lambday-7\lambda=0 [/mm]

daraus ergeben sich folgende partielle ableitungen die ich dann mit 0 gleichsetze:

[mm] \bruch{\Delta h}{\Delta x}=3x²+8\lambdax=0 [/mm]

[mm] \bruch{\Delta h}{\Delta y}=8y+2\lambda=0 [/mm]

[mm] \bruch{\Delta h}{\Delta\lambda}=4x²+2y-7=0 [/mm]

für x und y ergeben sich folgende lösungen:

x1=0 [mm] \wedge [/mm] x2= [mm] \bruch{-8\lambda}{3} [/mm]

y= [mm] \bruch{-\lambda}{4} [/mm]


wenn ich x=0 in die nebenbedingung einsetze bekomme ich für
[mm] \lambda=-14 [/mm]

die anderen beiden [mm] \lambda [/mm] bekomme ich wenn ich den x und y wert einsetze und mit hilfe der PQ-Formel auflöse.

damit hab ich dann 2 weitere [mm] \lambda [/mm]

[mm] \lambda1=0,51 [/mm] und [mm] \lambda2=0,49 [/mm]

jetzt kann mich mit den [mm] \lambda [/mm] die fehlenden x und y werte ausrechnen.

x1=0 [mm] \wedge [/mm] x2= [mm] \bruch{112}{3} \wedge x3=\bruch{-34}{25} \wedge x4=\bruch{-98}{75} [/mm]

[mm] y1=\bruch{7}{2} \wedge y2=\bruch{-51}{400} \wedge y3=\bruch{-49}{400} [/mm]


so, jetzt hab ich alle werte, was jetzt?

Bezug
                        
Bezug
Lagrange Multiplikation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:36 So 27.05.2012
Autor: MathePower

Hallo sirgrey,

> Ok ich schreibe dann mal meine rechnung auf.
>  
> also aus den oben gegebenen daten stelle ich folgende
> lambdafunktion auf und setze sie gleich 0
>  
> [mm]h(x,y,\lambda)=x³+4y²4x²\lambda+2\lambday-7\lambda=0[/mm]

>


Benutze nicht die alternative Tastenbelegung der Tasten 2 und 3,
sondern die ursprüngliche Taste 2 bzw. 3.

x^{3} bzw.  y^{2}

Das sieht dann so aus:

[mm]x^{3}[/mm] bzw.  [mm]y^{2}[/mm]

Insgesamt sieht das so aus:

[mm]h(x,y,\lambda)=x^{3}+4y^{2}+4x^{2}\lambda+2\lambda y-7 \lambda=0[/mm]


> daraus ergeben sich folgende partielle ableitungen die ich
> dann mit 0 gleichsetze:
>  
> [mm]\bruch{\Delta h}{\Delta x}=3x²+8\lambdax=0[/mm]
>  

Auch hier:

[mm]\bruch{\Delta h}{\Delta x}=3x^{2}+8\lambda x=0[/mm]


> [mm]\bruch{\Delta h}{\Delta y}=8y+2\lambda=0[/mm]
>  
> [mm]\bruch{\Delta h}{\Delta\lambda}=4x²+2y-7=0[/mm]
>


Ebenso hier:

[mm]\bruch{\Delta h}{\Delta\lambda}=4x^{2}+2y-7=0[/mm]


> für x und y ergeben sich folgende lösungen:
>  
> x1=0 [mm]\wedge[/mm] x2= [mm]\bruch{-8\lambda}{3}[/mm]
>  
> y= [mm]\bruch{-\lambda}{4}[/mm]
>  
>
> wenn ich x=0 in die nebenbedingung einsetze bekomme ich
> für
>  [mm]\lambda=-14[/mm]
>  
> die anderen beiden [mm]\lambda[/mm] bekomme ich wenn ich den x und y
> wert einsetze und mit hilfe der PQ-Formel auflöse.
>  
> damit hab ich dann 2 weitere [mm]\lambda[/mm]
>  
> [mm]\lambda1=0,51[/mm] und [mm]\lambda2=0,49[/mm]
>  


Diese [mm]\lambda[/mm]'s müssen unterschiedliche Vorzeichen haben.


> jetzt kann mich mit den [mm]\lambda[/mm] die fehlenden x und y werte
> ausrechnen.
>  
> x1=0 [mm]\wedge[/mm] x2= [mm]\bruch{112}{3} \wedge x3=\bruch{-34}{25} \wedge x4=\bruch{-98}{75}[/mm]
>
> [mm]y1=\bruch{7}{2} \wedge y2=\bruch{-51}{400} \wedge y3=\bruch{-49}{400}[/mm]
>  
>
> so, jetzt hab ich alle werte, was jetzt?


Gruss
MathePower

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