Lagrange Multiplikationsverf. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:10 Mo 07.07.2014 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | Sei M := {(x, y, z) [mm] \in \IR^{3} [/mm] | [mm] 2x^{2} [/mm] + [mm] 3y^{2} [/mm] + [mm] 6z^{2} [/mm] = 1} und sei h: [mm] \IR^{3} \to \IR, [/mm] (x, y, z) [mm] \mapsto y^{2} +4z^{2}-4yz-2xz-2xy
[/mm]
Entscheiden Sie, ob minh(M) und maxh(M) existieren. Wenn ja, an welchen Stellen in M werden diese Werte angenommen? |
Hallo.
Ich habe versucht die Aufgabe mit Lagrange zu lösen. Meine Funktion lautet dann:
L(x,y,z, [mm] \lambda) [/mm] = [mm] y^{2} +4z^{2}-4yz-2xz-2xy [/mm] + [mm] \lambda*( 2x^{2} [/mm] + [mm] 3y^{2} [/mm] + [mm] 6z^{2}-1)
[/mm]
Die partiellen Ableitungen:
[mm] L_{x}= -2z-2y+4x\lambda [/mm] = 0
[mm] L_{y}= 2y-4z-2x+6y\lambda [/mm] = 0
[mm] L_{z}= 8z-4y-2x+12z\lambda [/mm] = 0
[mm] L_{\lambda}= 2x^{2} [/mm] + [mm] 3y^{2} [/mm] + [mm] 6z^{2}-1 [/mm] = 0
Nun habe ich aber Probleme das Gleichungssystem zu lösen. Bin ich auf dem richtigen Weg, oder geht das ganze einfacher?
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Hallo,
was Du tust, sieht bisher richtig aus, ob es einen einfacheren Weg gibt, kann ich Dir nicht sagen. Der von Dir eingeschlagene ist jedenfalls ein ganz normaler.
Jetzt mußt Du das Gleichungssystem lösen.
Wirf eine Variable nch der anderen heraus.
Aus Gleichung 1 bekommst Du
[mm] 2\lambda [/mm] x=y+z.
1.Fall: [mm] x\not=0:
[/mm]
es folgt [mm] \lambda=\bruch{y+z}{2x}
[/mm]
2.Fall: x=0.
Dann ist z=-y
Nun verfolgst Du beide Fälle getrennt weiter. Setzt in die verbleibenden Gleichungen ein, löst weiter auf...
LG Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:46 Di 08.07.2014 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu Angela:
die ganze "Lagrange-Rechnerei" wird Dir nicht viel helfen ohne den Nachweis, dass minh(M) und maxh(M) existieren. Warum existieren minh(M) und maxh(M) ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Di 08.07.2014 | | Autor: | Calculu |
minh(M) und maxh(M) existieren, da M kompakt und h stetig und stetige Funktionen auf kompakten Mengen ihr Max/Min annehmen.
Das Gleichungssystem konnte ich trotz seitenweiser Rechnungen nicht lösen :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:51 Mi 09.07.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Angela hat dir doch gezeigt wie es geht. hast du das gefundene [mm] \lambda [/mm] denn nun eingesetzt? Dann zeig mal, wie weit du damit kommst.
gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:33 Mi 09.07.2014 | | Autor: | Calculu |
Ja, das hab ich auch verstanden und so befolgt. Wahrscheinlich hab ich mich irgendwo verrechnet. Wird halt irgendwann ein großer unübersichtlicher Term. Kucke später nochmal drüber. 
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