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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:44 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe 1 | Problem 1
Lagrange auf (also Extremwerte gesucht auf):
[mm] C_1 [/mm] => Kreis mit Radius r=2 und Zentrum [mm] P_1(-1,0)
[/mm]
[mm] C_2 [/mm] => Kreis mit Radius r=2 und Zentrum [mm] P_2(1,0)
[/mm]
mit:
[mm] C_1 \cap C_2
[/mm]
der Funktion: f(x,y)=x²+y²-2*y+1 |
| Aufgabe 2 | Problem 2
E:={(x,y,z): [mm] x²+y²\ge [/mm] 2, x²+y²+z² [mm] \le [/mm] 4}
der Funktion: f(x,y,z)= -3x+2y |
Hallo alle zusammen
Also ich habe ein kleines Problem bei den zusammengesetzten Randbedingungen, und zwar:
Problem 1
Mit [mm] C_1 \cap C_2 [/mm] ist ja die Menge von [mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2 [/mm] gemeint, welche sie gemeinsam haben, also die Schnittfläche 2er Kreise.
Also wenn ich jetzt die Extremwerte auf dem Rand dieser Schnittfläche bestimmen will, stimmt es, wenn ich es mit folgender Funktion mache:
[mm] f(x,y,\lambda_1,\lambda_2)=x²+y²-2*y+1 [/mm] + [mm] \lambda_1 [/mm] * ((x+1)²+y²-2) + [mm] \lambda_2 [/mm] * ((x-1)²+y²-2)
Würde das hier stimmen?
Sollten in den Schnittpunkten der beiden Kreise, also in P(0,1) und P(0,-1) relative Extremwerte darstellen, bekomme ich sie durch Lagrange heraus oder muss ich sie gesondert untersuchen?
Problem 2
Gesucht sind hier im Raum die Extremwerte, liege ich mir folgendem richtig:
[mm] f(x,y,\lambda) [/mm] = -3x+2y + [mm] \lambda [/mm] * (x²+y²-2)
und
[mm] f(x,y,\lambda) [/mm] = -3x+2y + [mm] \lambda [/mm] * (x²+y²+z² -4)
Somit habe ich den Zylinder gesondert und die Kugel gesondert untersucht, jetzt müsste ich ja noch herausfinden was passiert, wenn sich Zylinder und Kugel schneiden:
[mm] f(x,y,\lambda) [/mm] = -3x+2y + [mm] \lambda_1 [/mm] * (x²+y²-2) + [mm] \lambda_2 [/mm] * (x²+y²+z² -4)
Liege ich hiermit richtig, dass ich mit letzterem Lagrange Multiplikator NUR die beiden Kreise auf der Oberfläche der Kugel "oben" und "unten" berücksichtige oder berücksichtige ich hiermit auch die verbleibende Oberfläche der Kugel mit Lagrange?
Eine etwas elementarere Frage:
Gibt es einen etwas einwandfreieren Weg, um die z Koordinate des Schnittes Zylinder - Kugel auf der Oberfläche herauszufinden als meiner:
Mein Ansatz: Meine Funktionen schneiden sich im Raum ummer auf der selben Höhe bzw. auf der selben Koordinate z, somit:
Betrachte ich mir x²+y²=2 so kann ich sagen, dass P(1,0,z) (=Punkt auf der Oberfläche der Kugel) die selbe z-Koordinate haben wird wie P(0,1,z). Folglich für P (1,0,z):
x²-2=0
x²+z²-4=0
x²-2=x²+z²-4
z²=2
Dankesehr für eure Aufmerksamkeit
lg
Zuggel
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Hallo Zuggel,
> Problem 1
>
> Lagrange auf (also Extremwerte gesucht auf):
>
> [mm]C_1[/mm] => Kreis mit Radius r=2 und Zentrum [mm]P_1(-1,0)[/mm]
> [mm]C_2[/mm] => Kreis mit Radius r=2 und Zentrum [mm]P_2(1,0)[/mm]
>
> mit:
>
> [mm]C_1 \cap C_2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> der Funktion: f(x,y)=x²+y²-2*y+1
>
> Problem 2
>
> E:={(x,y,z): [mm]x²+y²\ge[/mm] 2, x²+y²+z² [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
4}
>
> der Funktion: f(x,y,z)= -3x+2y
> Hallo alle zusammen
>
> Also ich habe ein kleines Problem bei den zusammengesetzten
> Randbedingungen, und zwar:
>
> Problem 1
>
> Mit [mm]C_1 \cap C_2[/mm] ist ja die Menge von [mm]C_1[/mm] und [mm]C_2[/mm] gemeint,
> welche sie gemeinsam haben, also die Schnittfläche 2er
> Kreise.
>
> Also wenn ich jetzt die Extremwerte auf dem Rand dieser
> Schnittfläche bestimmen will, stimmt es, wenn ich es mit
> folgender Funktion mache:
>
> [mm]f(x,y,\lambda_1,\lambda_2)=x²+y²-2*y+1[/mm] + [mm]\lambda_1[/mm] *
> ((x+1)²+y²-2) + [mm]\lambda_2[/mm] * ((x-1)²+y²-2)
Korrekt heißt das:
[mm]f\left(x,y,\lambda_1,\lambda_2\right)=x²+y²-2*y+1 + \lambda_{1} * \left(\left(x+1\right)^{2}+y²-\red{4}\right) + \lambda_{2} * \left(\left(x-1)\right)^{2}+y²-\red{4}\right)[/mm]
>
> Würde das hier stimmen?
> Sollten in den Schnittpunkten der beiden Kreise, also in
> P(0,1) und P(0,-1) relative Extremwerte darstellen, bekomme
> ich sie durch Lagrange heraus oder muss ich sie gesondert
> untersuchen?
Die Schnittpunkte der beiden Kreise bekommst Du auch durch Lagrange.
> Dankesehr für eure Aufmerksamkeit
> lg
> Zuggel
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:25 Di 09.12.2008 | | Autor: | Zuggel |
> > Also wenn ich jetzt die Extremwerte auf dem Rand dieser
> > Schnittfläche bestimmen will, stimmt es, wenn ich es mit
> > folgender Funktion mache:
> >
> > [mm]f(x,y,\lambda_1,\lambda_2)=x²+y²-2*y+1[/mm] + [mm]\lambda_1[/mm] *
> > ((x+1)²+y²-2) + [mm]\lambda_2[/mm] * ((x-1)²+y²-2)
>
>
> Korrekt heißt das:
>
> [mm]f\left(x,y,\lambda_1,\lambda_2\right)=x²+y²-2*y+1 + \lambda_{1} * \left(\left(x+1\right)^{2}+y²-\red{4}\right) + \lambda_{2} * \left(\left(x-1)\right)^{2}+y²-\red{4}\right)[/mm]
>
>
> >
> > Würde das hier stimmen?
> > Sollten in den Schnittpunkten der beiden Kreise, also
> in
> > P(0,1) und P(0,-1) relative Extremwerte darstellen, bekomme
> > ich sie durch Lagrange heraus oder muss ich sie gesondert
> > untersuchen?
>
>
> Die Schnittpunkte der beiden Kreise bekommst Du auch durch
> Lagrange.
Dankesehr für die Richtigstellung :)
Gibt es eigentlich eine Grundregel welche man beachten muss, wenn man einen die Nebenbedingung durch Lagrange aufstellt, im Falle, dass sich die Bedingung durch das Zusammensetzen 2er Funktionen ergibt (wie bei Problem 2)?
Sofern nicht anders spezifiziert ist die Nebenbedingung dann das Ergebnis des Schnittes der Funktionen?
Und wenn der Schnitt ein Punkt darstellt?
Zu Problem 1:
Was bedeutet denn:
[mm] C_1 \cup C_2
[/mm]
bzw wie heißt das Symbol?
Und gibt es:
[mm] C_1 \supseteq C_2 [/mm] - also was würde dies bedeuten bzw wie heißt dieses Symbol?
lg
Zuggel
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Hallo Zuggel,
> > > Also wenn ich jetzt die Extremwerte auf dem Rand dieser
> > > Schnittfläche bestimmen will, stimmt es, wenn ich es mit
> > > folgender Funktion mache:
> > >
> > > [mm]f(x,y,\lambda_1,\lambda_2)=x²+y²-2*y+1[/mm] + [mm]\lambda_1[/mm] *
> > > ((x+1)²+y²-2) + [mm]\lambda_2[/mm] * ((x-1)²+y²-2)
> >
> >
> > Korrekt heißt das:
> >
> > [mm]f\left(x,y,\lambda_1,\lambda_2\right)=x²+y²-2*y+1 + \lambda_{1} * \left(\left(x+1\right)^{2}+y²-\red{4}\right) + \lambda_{2} * \left(\left(x-1)\right)^{2}+y²-\red{4}\right)[/mm]
>
> >
> >
> > >
> > > Würde das hier stimmen?
> > > Sollten in den Schnittpunkten der beiden Kreise,
> also
> > in
> > > P(0,1) und P(0,-1) relative Extremwerte darstellen, bekomme
> > > ich sie durch Lagrange heraus oder muss ich sie gesondert
> > > untersuchen?
> >
> >
> > Die Schnittpunkte der beiden Kreise bekommst Du auch durch
> > Lagrange.
>
> Dankesehr für die Richtigstellung :)
>
> Gibt es eigentlich eine Grundregel welche man beachten
> muss, wenn man einen die Nebenbedingung durch Lagrange
> aufstellt, im Falle, dass sich die Bedingung durch das
> Zusammensetzen 2er Funktionen ergibt (wie bei Problem 2)?
> Sofern nicht anders spezifiziert ist die Nebenbedingung
> dann das Ergebnis des Schnittes der Funktionen?
> Und wenn der Schnitt ein Punkt darstellt?
>
> Zu Problem 1:
>
> Was bedeutet denn:
>
> [mm]C_1 \cup C_2[/mm]
>
> bzw wie heißt das Symbol?
Das ist die Vereinigung von [mm]C_1[/mm] und [mm]C_2[/mm],
das heißt die Punktepaare können entweder aus [mm]C_1[/mm]
oder [mm]C_{2}[/mm] kommen.
>
> Und gibt es:
>
> [mm]C_1 \supseteq C_2[/mm] - also was würde dies bedeuten bzw wie
> heißt dieses Symbol?
Das ist das Teilmengensymbol, welches hier bedeutet, daß [mm]C_1[/mm] eine Obermenge von [mm]C_2[/mm] ist. Konkret heißt das, daß [mm]C_2[/mm] identisch mit [mm]C_1[/mm] oder eben eine echte
Teilmenge davon ist.
>
> lg
> Zuggel
Gruß
MathePower
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