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| Aufgabe | | Ermitteln Sie mit der Methode der Lagrangen Multiplikatoren alle Stellen, die als Extrema für die Funktion f(x,y)=y²-x² unter der Nebenbedinung x²+y²=4 in Frage kommen. |
Hallo,
brauche wieder mal Hilfe ...
also, Vorraussetzung für relative Extrema mit Nebenbedinung ist, dass der Vektor der Nebenbedingung ungleich dem Nullvektor ist,
[mm] \vektor{x² \\ y²} [/mm] = 4
diese Bedingung wär ja somit erfüllt.
Ich hab dann die Nebenbedingung sowie die Funktion in die Formel
F(x,y, [mm] \lambda [/mm] ) = f(x,y) + [mm] \lambda [/mm] g(x,y)
eingesetzt, sodass ich
F(x,y, [mm] \lambda [/mm] ) = y²-x²+ [mm] \lambda [/mm] (x²+ y² -4)
erhalten habe.
Ich hab diese Formel dann nach x, y und [mm] \lambda [/mm] abgeleitet:
F(x)= -2x + 2 [mm] \lambda [/mm] x
F(y)= 2y + 2 [mm] \lambda [/mm] y
F( [mm] \lambda [/mm] )= x²+y²-4
Und wenn ich bei diesen drei Gleichungen versuche, Variablen zu eliminieren etc. erhalte ich [mm] \lambda [/mm] =1 , x=x (wahre Aussage ???)
das ist doch nicht wirklich das Ergebnis dieser Aufgabe oder doch ?
Bitte um Hilfe, vielen Danke, kkaroline (:
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Hallo kkaroline,
> Ermitteln Sie mit der Methode der Lagrangen Multiplikatoren
> alle Stellen, die als Extrema für die Funktion
> f(x,y)=y²-x² unter der Nebenbedinung x²+y²=4 in Frage
> kommen.
> Hallo,
> brauche wieder mal Hilfe ...
>
> also, Vorraussetzung für relative Extrema mit
> Nebenbedinung ist, dass der Vektor der Nebenbedingung
> ungleich dem Nullvektor ist,
> [mm]\vektor{x² \\ y²}[/mm] = 4
>
> diese Bedingung wär ja somit erfüllt.
> Ich hab dann die Nebenbedingung sowie die Funktion in die
> Formel
> F(x,y, [mm]\lambda[/mm] ) = f(x,y) + [mm]\lambda[/mm] g(x,y)
> eingesetzt, sodass ich
> F(x,y, [mm]\lambda[/mm] ) = y²-x²+ [mm]\lambda[/mm] (x²+ y² -4)
> erhalten habe.
> Ich hab diese Formel dann nach x, y und [mm]\lambda[/mm]
> abgeleitet:
> F(x)= -2x + 2 [mm]\lambda[/mm] x
> F(y)= 2y + 2 [mm]\lambda[/mm] y
> F( [mm]\lambda[/mm] )= x²+y²-4
>
> Und wenn ich bei diesen drei Gleichungen versuche,
> Variablen zu eliminieren etc. erhalte ich [mm]\lambda[/mm] =1 ,
> x=x (wahre Aussage ???)
> das ist doch nicht wirklich das Ergebnis dieser Aufgabe
> oder doch ?
Nein.
Betrachte
[mm]-2x + 2 \lambda x=0 \gdw 2x*\left(-1+\lambda\right)=0[/mm]
Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
Daher gibt es hier 2 Fälle:
i) x=0
ii) [mm]\lambda=1[/mm]
Für jeden diese Fälle bestimmst Du nun die Werte
der beiden übrigen Variablen aus den verbleibenden Gleichungen.
> Bitte um Hilfe, vielen Danke, kkaroline (:
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:54 Do 15.04.2010 | | Autor: | kkaroline |
super, danke !
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