Lagrange mit Hesse-Matrix? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich habe noch eine Frage zu dem Thema Lagrange.
Wenn ich Untersuchungen auf dem Rand und im Inneren machen muss, brauche ich aber nie die Hesse-Matrix, oder? Dann vergleiche ich anschließend nur meine stationären Punkte mit den Punkten aus dem Lagrange-Verfahren, richtig?
Demnach brauche ich die Hesse-Matrix nur, wenn ich kein Lagrange-Verfahren im Anschluss benötige, also wenn ich keine Nebenbedingung habe, oder?
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> Hallo!
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> Ich habe noch eine Frage zu dem Thema Lagrange.
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> Wenn ich Untersuchungen auf dem Rand und im Inneren machen
> muss, brauche ich aber nie die Hesse-Matrix, oder? Dann
> vergleiche ich anschließend nur meine stationären Punkte
> mit den Punkten aus dem Lagrange-Verfahren, richtig?
Hallo,
ich weiß ja nicht so genau, was Ihr in Eurer Vorlesung so getrieben habt - und ich bin mir sicher, zu dem Thema nicht alles zu wissen, was man wissen könnte.
Aus meiner Sicht hängt die Vorgehensweise von der gestellten Aufgabe ab.
Wenn es die Aufgabe ist, die globalen Extrema einer stetigen Funktion über einem Kreis mit Rand zu ermitteln, so kannst Du das so tun, wie Du sagst.
Wenn man sich aber auch für die relativen Extrema interessiert, müßtest Du schon nachschauen, ob sich im Inneren etwas anfindet.
Gruß v. Angela
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> Demnach brauche ich die Hesse-Matrix nur, wenn ich kein
> Lagrange-Verfahren im Anschluss benötige, also wenn ich
> keine Nebenbedingung habe, oder?
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Was meinst du mit den relativen Extrema? Die lokalen?
Also dazu müsste man dann zusätzlich zum Lagrange-Verfahren noch die Hesse-Matrix auf die stationären Punkte der ersten partiellen Ableitungen ohne die Nebenbedingungen ansetzen?
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> Was meinst du mit den relativen Extrema? Die lokalen?
Hallo,
ja, genau.
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> Also dazu müsste man dann zusätzlich zum Lagrange-Verfahren
> noch die Hesse-Matrix auf die stationären Punkte der ersten
> partiellen Ableitungen ohne die Nebenbedingungen ansetzen?
Ja, jedenfalls mache ich das so.
Um mal bei dem Beispiel des Kreises zu bleiben: die stationären Punkte, die sowieso außerhalb des Kreise liegen, läßt man natürlich außen vor, die interessieren nicht.
Gruß v. Angela
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Wieso außerhalb ds Kreises? Ich kenne nur innerhalb der Kreises (also ohne Nebenbedingung) oder auf dem Kreis, bei einer kompakten Menge (wobei ich damit dann auch Nebenbedingungen mit = einschließe).
Ich glaube Nebenbedingungen mit < hatten wir gar nicht. Meinst du solche Nebenbedingungen? Ich meine mich daran erinnern zu können, dass du so etwas mal erwähnt hast. Aber dann brauche ich ja auch kein Lagrange, richtig?
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> Wieso außerhalb ds Kreises? Ich kenne nur innerhalb der
> Kreises (also ohne Nebenbedingung)
Hallo,
wenn ich die stationären Punkte innerhalb des Kreises suche, rechne ich ja erstmal über ganz [mm] \IR^2 [/mm] und schaue dann, welche der erhaltenen Punkte im Kreis liegen.
> oder auf dem Kreis, bei
> einer kompakten Menge (wobei ich damit dann auch
> Nebenbedingungen mit = einschließe).
>
> Ich glaube Nebenbedingungen mit < hatten wir gar nicht.
> Meinst du solche Nebenbedingungen?
Ich meinte < und [mm] \le.
[/mm]
> Ich meine mich daran
> erinnern zu können, dass du so etwas mal erwähnt hast. Aber
> dann brauche ich ja auch kein Lagrange, richtig?
Fürs Kreisinnere brauchst Du Lagrange nicht. Man muß halt bloß gucken, welche der gefundenen Punkte wirklich in Inneren liegen.
Gruß v. Angela
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> wenn ich die stationären Punkte innerhalb des Kreises
> suche, rechne ich ja erstmal über ganz [mm]\IR^2[/mm] und schaue
> dann, welche der erhaltenen Punkte im Kreis liegen.
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Liegen dann nicht alle stationären Punkte im Kreis? Ich schaue doch dann mit der Hesse-Matrix ob es sich um Minima, Maxima, Sattelpunkte handelt?
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> > wenn ich die stationären Punkte innerhalb des Kreises
> > suche, rechne ich ja erstmal über ganz [mm]\IR^2[/mm] und schaue
> > dann, welche der erhaltenen Punkte im Kreis liegen.
> >
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> Liegen dann nicht alle stationären Punkte im Kreis? Ich
> schaue doch dann mit der Hesse-Matrix ob es sich um Minima,
> Maxima, Sattelpunkte handelt?
Hallo,
es könnte doch sein, daß ich irgendeine Funktion f(x,y) nicht auf ganz [mm] \IR^2 [/mm] betrachten soll, sondern die lokalen Extremwerte innerhalb des Keises mit dem Radius 5 um den Punkt 1, 2 sagen soll.
Dann wäre die NB [mm] (x-1)^2+(y-2)^3<5^2.
[/mm]
Der Kreisrand würde hier niemanden interessieren.
Ich mache dann eine normale Untersuchung, 1. partielle Ableitungen =0. mal angenommen, ich habe nun hierbei die Punkte (2, 5) und (10, 2) gefunden.
Der erste Punkt liegt in meinem Gebiet, denn es ist [mm] (2-1)^2+(5-2)^3= 10<5^2,
[/mm]
der zweite nicht, dann es ist [mm] (10-1)^2+(2-2)^3= 81\not<5^2.
[/mm]
Aber falls Ihr solche Aufgaben nicht hattet, oder das irgendwie anders löst, belaste Dich nicht damit.
Gruß v. Angela
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Nein, hatten wir nicht.
Also ist es durchaus richtig zu sagen, dass wenn ich eine Nebenbedingung habe, die kompakt ist, wo ich also auf dem Rand unterdsuchen muss, dass ich dann niemals zwingend eine Hesse-Matrix brauche, sondern dass der Vergleich aller meiner Punkte nachher ausreicht? => dann globale Extrema
Wenn lokale gefragt sind, müsste ich aber nochmal auf meine stationären Punkte aus dem ersten Schritt meine Hesse-Matrix benutzen, richtig? Denn die am Rand liefern mir ja nur globale Extrema, oder?
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Wenn Du eine "kompakte Nebenbedingung" hast und nur nach globalen Extrema gefragt ist, berechnest Du einfach die stationären Punkte auf dem Rand und im Inneren und vergleichst die Funktionswerte.
> Wenn lokale gefragt sind, müsste ich aber nochmal auf meine
> stationären Punkte aus dem ersten Schritt meine
> Hesse-Matrix benutzen, richtig? Denn die am Rand liefern
> mir ja nur globale Extrema, oder?
Die am Rand liefern Dir Extrema am Rand. Bezogen auf den gesamten zu untersuchenden Bereich müssen die nicht unbedingt global sein. Es kann bloß passieren, daß sie global sind.
Angenommen, ich trage meinen ![[]](/images/popup.gif) Südwester, großes Bild.
Das globale Maximum ist ganz oben auf dem Kopf.
Bei der Untersuchung des Randes verfolgt man den Verlauf der dunklen Einfassung unten am Rand. Wenn Du sie im Geiste entlanggehst, merkst Du, daß der Rand vorne am Schirm ein Maximum hat. Bezogen auf den ganzen Hut ist das aber nicht global. das würdest Du beim Einsetzen der Funktionswerte ja herausbekommen. Der oben auf dem Kopf wäre der größte.
Wenn Du aber nur (!) den Kreisrand untersuchst, ist dort ganz gewiß ein globales Min und ein globales Max.
Das globale Maximum des Randes ist vorne am Schirm, das globale Minimum im Nacken.
Gruß v. Angela
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> Die am Rand liefern Dir Extrema am Rand. Bezogen auf den
> gesamten zu untersuchenden Bereich müssen die nicht
> unbedingt global sein.
> Wenn Du aber nur (!) den Kreisrand untersuchst, ist dort
> ganz gewiß ein globales Min und ein globales Max.
Das meine ich doch: Wenn ich den Rand untersuche habe ich auf globale Maxima/Minima?
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> > Die am Rand liefern Dir Extrema am Rand. Bezogen auf den
> > gesamten zu untersuchenden Bereich müssen die nicht
> > unbedingt global sein.
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> > Wenn Du aber nur (!) den Kreisrand untersuchst, ist dort
> > ganz gewiß ein globales Min und ein globales Max.
>
>
> Das meine ich doch: Wenn ich den Rand untersuche habe ich
> auf globale Maxima/Minima?
Hallo,
auch hier kommt es auf die Fragestellung an. Natürlich könnte man die Funktion über dem Kreisrand auch auf lokale Minima untersuchen.
Ich könnte mir aber vorstellen ,daß das bei Euch gar nicht dran kommt, sondern daß Ihr bloß die globalen sagen sollt.
Gruß v. Angela
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