Landau-Symbol-Teilmenge-Prüfen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 Di 16.10.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Wir betrachten den Grenzwert x -> 0. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussage für die Landau-Symbole O und o:
[mm] O(x^{\frac{3}{2}})\subset o(x)\subset O(x^{\frac{1}{2}}) [/mm] |
Wie zeigt man eine solche Teilmengen-ketten bei landausymbolen?
[mm] O(x^{\frac{3}{2}}) [/mm] bedeutet [mm] lim_{x->0} [/mm] | [mm] \frac{O(x^{3/2})}{x^{3/2}}| [/mm] < + [mm] \infty
[/mm]
o(x) bedeutet [mm] lim_{x->0}| \frac{o(x)}{x}|=0
[/mm]
[mm] O(x^{\frac{1}{2}}) [/mm] bedeutet [mm] lim_{x.->0} [/mm] | [mm] \frac{O(x^{1/2})}{x^{1/2}}| [/mm] < + [mm] \infty
[/mm]
NUn:
[mm] O(x^{\frac{3}{2}})\subset [/mm] o(x) bedeutet
[mm] lim_{x->0}| \frac{o(x)}{O(x^{\frac{3}{2}})}|=0
[/mm]
Ich galub ich denke da ganz falsch, würd mich freuen, wenn mir wer ein "Muster" erklärt wie ich da ran gehen.
Ganz liebe Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Di 16.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Wir betrachten den Grenzwert x -> 0. Beweisen oder
> widerlegen Sie die folgenden Aussage für die
> Landau-Symbole O und o:
> [mm]O(x^{\frac{3}{2}})\subset o(x)\subset O(x^{\frac{1}{2}})[/mm]
>
> Wie zeigt man eine solche Teilmengen-ketten bei
> landausymbolen?
>
> [mm]O(x^{\frac{3}{2}})[/mm] bedeutet [mm]lim_{x->0}[/mm] |
> [mm]\frac{O(x^{3/2})}{x^{3/2}}|[/mm] < + [mm]\infty[/mm]
>
> o(x) bedeutet [mm]lim_{x->0}| \frac{o(x)}{x}|=0[/mm]
>
> [mm]O(x^{\frac{1}{2}})[/mm] bedeutet [mm]lim_{x.->0}[/mm] |
> [mm]\frac{O(x^{1/2})}{x^{1/2}}|[/mm] < + [mm]\infty[/mm]
>
> NUn:
> [mm]O(x^{\frac{3}{2}})\subset[/mm] o(x) bedeutet
> [mm]lim_{x->0}| \frac{o(x)}{O(x^{\frac{3}{2}})}|=0[/mm]
>
> Ich galub ich denke da ganz falsch,
Ja.
> würd mich freuen, wenn
> mir wer ein "Muster" erklärt wie ich da ran gehen.
Zur ersten Inklusion:
Ist [mm] f(x)=O(x^{3/2}), [/mm] so mußt Du prüfen ob stets auch f(x)=o(x) gilt. Wenn ja, so ist die Inklusion [mm] O(x^{\frac{3}{2}})\subset [/mm] o(x) richtig, anderenfalls nicht.
FRED
>
> Ganz liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Sa 20.10.2012 | | Autor: | Lu- |
ZZ.:
[mm] O(x^{3/2})\subset [/mm] o(x)
f(x)= [mm] O(x^{3/2})
[/mm]
d.h. [mm] \exists [/mm] C>=0 [mm] (\exists [/mm] Umgebung von 0)
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] U : |f(x)| <= C [mm] |x^{3/2}|
[/mm]
ZuZeigen:
f(x) = o(x) , d.h. [mm] \overline{lim_{x->0}} \frac{f(x)}{x} [/mm] =0
ABer wie zeige ich das??
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:09 So 21.10.2012 | | Autor: | fred97 |
Aus |f(x)| [mm] \le [/mm] C $ [mm] |x^{3/2}| [/mm] $ für alle x [mm] \in [/mm] U folgt
[mm] |\bruch{f(x)}{x}|\le [/mm] C $ [mm] |x^{1/2}| [/mm] $ für alle x [mm] \in [/mm] U
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:02 So 21.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo
Okay,danke
> $ [mm] |\bruch{f(x)}{x}|\le [/mm] $ C $ [mm] |x^{1/2}| [/mm] $ für alle x $ [mm] \in [/mm] $ U
Und jetzt geht man mit der ungleichung mit x-> 0 oder?
Da wenn [mm] a_n [/mm] <= [mm] b_n [/mm] auch bei den Limitten lim [mm] a_n [/mm] <= lim [mm] b_n [/mm] ist.
[mm] lim_{x->0} |\frac{f(x)}{x}| [/mm] <= [mm] lim_{x->0}C |x^{1/2}|
[/mm]
Die rechte seite geht gegen 0. Da der Ausdruck aber größer als 0 ist wegen den Betrag muss er nach 0 konvergieren.
Und wenn der Betrag einer Zahl 0 ist, ist auch die zahl selbst 0
=> [mm] \overline{lim}_{x->0} \frac{f(x)}{x}=0
[/mm]
Passt das?
2te Richtung:
o(x) [mm] \subset O(x^{1/2})
[/mm]
o(x) d.h. [mm] \overline{lim}_{x->0} \frac{o(x)}{x}=0
[/mm]
ZuZeigen [mm] \exists [/mm] C [mm] \ge [/mm] 0 [mm] (\exists [/mm] Umgebung von =) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] U: |o(x)|<= C [mm] |x^{1/2}|
[/mm]
Ich habe probiert die zuzeigende Ungleichung durch x zu dividieren,aber dann kommt auf der rechten seite der term C [mm] x^{-1/2} [/mm] mit dem ich dann nicht viel anfangen kommte...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:39 So 21.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Die zweite Richtung habe ich leider noch immer nicht hinbekommen ;(
EIne von euch mit einer Idee??
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 23.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 So 21.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Zu zeigen: Für [mm] $x\to [/mm] 0$ ist [mm] $o(x)\subseteq O(|x|^{1/2})$.
[/mm]
Sei [mm] $f\in o(x)\Rightarrow \lim\frac [/mm] {f(x)} x = [mm] 0\Rightarrow \frac [/mm] {|f(x)|} {|x|} < 1$ für $x$ in einer Umgebung von $0$, [mm] $x\ne [/mm] 0$. Für diese $x$ ist $|f(x)| < |x|$. Ist zusätzlich $|x| < 1$, so ist $|x| < [mm] \sqrt {|x|}\;,$ [/mm] also [mm] $|f(x)|<\sqrt {|x|}\;.$ [/mm] Hieraus folgt [mm] $\frac [/mm] {|f(x)|} [mm] {\sqrt {|x|} }< [/mm] 1$ für $x$ in einer Umgebung von $0$, [mm] $x\ne 0\;,$ [/mm] also [mm] $f\in O(|x|^{1/2})\;.$
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:33 So 21.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Vielen Dank!! ;D
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 So 21.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Lu,
dieselbe Aufgabe findest Du auch hier. Allerdings bin ich in meiner Antwort von Grenzprozessen für [mm] $x\to\infty$ [/mm] und nicht wie hier für [mm] $x\to [/mm] 0$ ausgegangen.
Die Landausymbole stellen Mengen von Funktionen dar. So ist
[mm] $f\in O(x^{3/2}) \gdw$ [/mm] Es gibt ein $C$ und eine Umgebung $U$ von $0$ mit [mm] $\frac [/mm] {|f(x)|} [mm] {x^{3/2}} [/mm] < C$ für alle [mm] $x\in U\;.$
[/mm]
Und [mm] $g\in [/mm] o(x) [mm] \gdw \lim_{x\to 0} \frac [/mm] {g(x)} x = [mm] 0\;.$
[/mm]
Man schreibt oft $g=o(x)$ für [mm] $g\in [/mm] o(x)$ oder setzt die Landaumengen in Terme anstelle von Funktionen ein, z. B. [mm] $e^{o(x)}$. [/mm] Dies muß man dann auch als Mengen interpretieren.
EDIT: [mm] $x^{3/2}$ [/mm] und damit auch [mm] $O(x^{3/2})$ [/mm] ist ja nur für positive $x$ definiert. Da wir hier [mm] $x\to [/mm] 0$ betrachten, ist wohl [mm] $O(|x|^{3/2})$ [/mm] gemeint.
Güße,
Wolfgang
|
|
|
|
