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| Aufgabe | Leite aus
i) $ [mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}*A_{ij}*det(A_{(ij)})$ [/mm] und
ii) [mm] $det(A^t)=det(A)$ [/mm]
ab, dass
$ [mm] \summe_{j=1}^{n} (-1)^{i+j}*A_{ij}*det(A_{(ij)})$,
[/mm]
wobei [mm] $A_{ij}$ [/mm] der Eintrag der i-ten Reihe und j-ten Spalte der Matrix $A$ ist, und [mm] $A_{(ij)}$ [/mm] Matrix $A$ ihne Reihe $i$ und Spalte $j$. |
Hallo,
ich komme hier nicht so wirklich weiter. Mein Lösungsansatz ist folgender:
$ [mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}*A_{ij}*det(A_{(ij)}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}*det(A_{ij}*A_{(ij)})$.
[/mm]
Wenn ich jetzt die Determinante von [mm] $A^t$ [/mm] nehme, erhalte ich
$ [mm] det(A^t) [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n} (-1)^{i+j}*det(A_{ij}*(A_{(ij)})^t)$.
[/mm]
Da aber [mm] $detA^t=detA$, [/mm] ist das gleich an
$ det(A) = [mm] \summe_{j=1}^{n} (-1)^{i+j}*det(A_{ij}*A_{(ij)}) [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n} (-1)^{i+j}*A_{ij}*det(A_{(ij)}) [/mm] $,
was zu beweisen war. Kann man das so machen, und wenn nicht, wie wäre es dann beser?
Liebe Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:50 So 21.12.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo MeMeansMe,
gewöhn dir bitte an mathematische Aussagen zu formulieren, die Sinn machen, dann helfen dir bestimmt auch mehr Personen!
Die Aufgabe sollte also richtig lauten:
Sei A eine [mm] $(n\times [/mm] n)$-Matrix.
Leite aus
i) [mm]det(A)=\summe_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}*A_{ij}*det(A_{(ij)})[/mm] und
ii) [mm]det(A^t)=det(A)[/mm]
ab, dass
[mm]\summe_{j=1}^{n} (-1)^{i+j}*A_{ij}*det(A_{(ij)})=\summe_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}*A_{ij}*det(A_{(ij)})[/mm],
wobei [mm]A_{ij}[/mm] der Eintrag der i-ten Zeile und j-ten Spalte der Matrix [mm]A[/mm] ist, und [mm]A_{(ij)}[/mm] die Matrix, die aus [mm]A[/mm] resultiert, wenn man ihre [mm]i[/mm]-te Zeile und [mm]j[/mm]-te Spalte streicht.
Soweit zur richtigen Formulierung der Aufgabenstellung.
Zu dem Beweis ein paar Hilfen, die dir klar machen sollten, ob du richtig bewiesen hast:
Die ![[]](/images/popup.gif) transponierte Matrix der [mm] $(n\times [/mm] n)$-Matrix
$$A= [mm] \pmat{ a_{11} & ... & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & ... & a_{nn} }$$
[/mm]
ist die an der Diagonalen gespiegelte Matrix
[mm] $$A^T= \pmat{ a_{11} & ... & a_{n1} \\ \vdots & & \vdots\\ a_{1n} & ... & a_{nn} }.$$
[/mm]
Nun folgt aus der Voraussetzung direkt
[mm] $$det(A^T) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}*A_{ij}^T*det(A_{(ij)}^T),$$ [/mm] wobei man aus der obigen Matrixdarstellung bzw. der Def. (Transponierte) leicht ablesen kann, dass [mm] A_{ij}^T=A_{ji}.
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow det(A^T) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}*A_{ij}^T*det(A_{(ij)}^T) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^{j+i}*A_{ji}*det(A_{(ij)}^T)$$ [/mm] Da "Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte bei [mm] $A^T$" \Leftrightarrow [/mm] "Streichen der j-ten Zeile und i-ten Spalte bei $A$" (leicht aus obiger Matrixdarstellung ablesbar) folgt nun
[mm] $$det(A^T) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}*A_{ij}^T*det(A_{(ij)}^T) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^{j+i}*A_{ji}*det(A_{(ij)}^T)= \summe_{j=1}^{n} (-1)^{i+j}*A_{ij}*det(A_{(ij)})$$
[/mm]
Nun folgt mit i) und ii)
[mm] $$\summe_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}*A_{ij}*det(A_{(ij)})=det(A)=det(A^T) [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n} (-1)^{i+j}*A_{ij}*det(A_{(ij)})$$ [/mm] Q.E.D.
MfG Ladon
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