Laplace-Gleichung "Rückwärts" < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 Mo 31.12.2012 | | Autor: | JBourne |
| Aufgabe | U= [mm] \bruch{a}{\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} [/mm] +b
Zeigen Sie: U(x,y,z) ist eine Lösung der sogen. Laplace-Gleichung
[mm] \Delta{U} [/mm] = [mm] U_{xx} [/mm] + [mm] U_{yy} [/mm] + [mm] U_{zz}=0 [/mm] |
Ich habe die Gleichung U(x,y,z) je zwei Mal nach x, y und z abgeleitet, bzw. nur zwei Mal nach x, da die Funktion symetrisch ist und man sich die Ableitungen nach y und z sparen kann.
Als Ergebniss habe ich folgendes:
[mm] D_{x}= \bruch{-(a*x)}{\wurzel[3]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}
[/mm]
[mm] D_{xx} =\bruch{3*a*x^{2}}{\wurzel[5]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} [/mm] - [mm] \bruch{a}{\wurzel[3]{(x^2 + y^2 + z^2)}}
[/mm]
somit
[mm] D_{yy} =\bruch{3*a*y^{2}}{\wurzel[5]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} [/mm] - [mm] \bruch{a}{\wurzel[3]{(x^2 + y^2 + z^2)}}
[/mm]
[mm] D_{zz} =\bruch{3*a*z^{2}}{\wurzel[5]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} [/mm] - [mm] \bruch{a}{\wurzel[3]{(x^2 + y^2 + z^2)}}
[/mm]
Nun aber meine Frage, was soll ich weiter machen?
Für ein Tipp wäre ich sehr dankbar!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:07 Mo 31.12.2012 | | Autor: | JBourne |
Ich habe die Lösung gefunden!
Man soll einfach weiter vereinfachen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:02 Di 01.01.2013 | | Autor: | reverend |
> Ich habe die Lösung gefunden!
> Man soll einfach weiter vereinfachen...
Ach ja? Das musst Du mal vorrechnen.
Da stimmt offenbar bei der "Vereinfachung" auch etwas nicht.
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Hallo JBourne,
aua! Da ist ziemlich viel falsch.
> U= [mm]\bruch{a}{\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}[/mm] +b
>
> Zeigen Sie: U(x,y,z) ist eine Lösung der sogen.
> Laplace-Gleichung
>
> [mm]\Delta{U}[/mm] = [mm]U_{xx}[/mm] + [mm]U_{yy}[/mm] + [mm]U_{zz}=0[/mm]
> Ich habe die Gleichung U(x,y,z) je zwei Mal nach x, y und
> z abgeleitet, bzw. nur zwei Mal nach x, da die Funktion
> symetrisch ist und man sich die Ableitungen nach y und z
> sparen kann.
Das ist einerseits klar, aber andererseits nicht gut ausgedrückt.
> Als Ergebniss habe ich folgendes:
>
> [mm]D_{x}= \bruch{-(a*x)}{\wurzel[3]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}[/mm]
Falsch.
Du kannst die Ableitung entweder nur per Kettenregel oder mit Ketten- und Quotientenregel bestimmen. So stimmt es jedenfalls nicht.
Schreib doch mal [mm] u^{-2/3} [/mm] und [mm] u^{-3/2} [/mm] anders auf. Vielleicht liegt es ja auch nur daran, dass Du die Regeln der Potenzrechnung nicht (mehr) kannst?
> [mm]D_{xx} =\bruch{3*a*x^{2}}{\wurzel[5]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}[/mm] - [mm]\bruch{a}{\wurzel[3]{(x^2 + y^2 + z^2)}}[/mm]
Das ist auch falsch und wäre es auch dann, wenn die erste Ableitung stimmt(e).
> somit
>
> [mm]D_{yy} =\bruch{3*a*y^{2}}{\wurzel[5]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}[/mm] -
> [mm]\bruch{a}{\wurzel[3]{(x^2 + y^2 + z^2)}}[/mm]
>
>
> [mm]D_{zz} =\bruch{3*a*z^{2}}{\wurzel[5]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}[/mm] -
> [mm]\bruch{a}{\wurzel[3]{(x^2 + y^2 + z^2)}}[/mm]
Entsprechend: auch falsch.
> Nun aber meine Frage, was soll ich weiter machen?
> Für ein(en!) Tipp wäre ich sehr dankbar!
Gar nicht weitermachen. Besser von vorne anfangen.
Übrigens heißt es "rückwärts".
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Di 08.01.2013 | | Autor: | JBourne |
Ah, sorry, ich war mit der Eingabe der Formeln hier etwas überfordert...
Es sollte natürlich nicht 5. Wurzel aus... sondern [mm] (Wurzel)^5 [/mm] sein.. und bei der zweiten [mm] (Wurzel)^3
[/mm]
Auf dem Papier hatte ich es auch so...
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Hallo JBourne,
aha!
> Hm, und was ist da Falsch?
>
> Wenn [mm]U(x,y,z)= \bruch{a}{\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}[/mm]
> dann
> ist doch [mm]U_{x}= \bruch{-(a\cdot{}x)}{\wurzel[3]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}[/mm]
Nein.
[mm] U_x=\bruch{-ax}{\wurzel{(x^2+y^2+z^2)^3}}
[/mm]
> und [mm]U_{xx} =\bruch{3\cdot{}a\cdot{}x^{2}}{\wurzel[5]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}[/mm]
> - [mm]\bruch{a}{\wurzel[3]{(x^2 + y^2 + z^2)}}[/mm]
Entsprechend auch nicht.
> Komischerweise habe ich das auch als Ergebniss in Matlab
Nein, das hat Dein Matlab nicht. Dein Matlab gibt nämlich die Wurzeln hier als gebrochene Exponenten aus.
> und die Potenzregeln kann ich wohl... [mm]u^{-3/2}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel[3]{u}}[/mm] und jetzt?
Und das ist der Kern des ganzen: das ist falsch.
[mm] u^{-\bruch{3}{2}}=\bruch{1}{\wurzel{u^3}}
[/mm]
Grüße
reverend
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