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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:15 Sa 16.11.2013 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Morgen,
es soll nachgerechnet werden, dass die Funktion
[mm] $f(x,\xi)=\frac{1-\lVert x\rVert^2}{\Vert x-\xi\rVert^n}, x\in B_1(0)\subset\mathbb{R}^n,\xi\in S_1(0)$
[/mm]
aufgefasst als Funktion in $x$ in [mm] $B_1(0)\setminus\left\{0\right\}$
[/mm]
eine harmonische Funktion ist.
Das ist natürlich eine Menge Rechenarbeit. |
Ich muss also bestätigen, dass
[mm] $\Delta [/mm] f=0$.
Dazu habe ich mir jetzt mal irgendein [mm] $i\in\left\{1,\dots,n\right\}$ [/mm] genommen und versucht, die zweite partielle Ableitung nach [mm] $x_i$ [/mm] zu berechnen.
Ich weiß nicht genau, ob ich hier die ganze Rechnung hinschreiben sollte, weil sie eher länglich ist, aber andererseits müssen Sie meine Rechnung ja irgendwie auch nachvollziehen können, um mir zu sagen, wo ich falsch oder richtig liege.
Ich habe also zunächst die erste partielle Ableitung mit der Quotientenregel ausgerechnet und ich erhalte
[mm] $f_{x_i}=\frac{-2x_i\lVert x-\xi\rVert^n-(1-\lVert x\rVert^2)\frac{n}{2}\lVert x-\xi\rVert^{n-2}(2x_i-2\xi_i)}{\lVert x-\xi\rVert^{2n}}$
[/mm]
Dabei habe ich unter Anderem auch die Kettenregel verwendet, z.B. um [mm] $\frac{\partial}{\partial x_i}(\lVert x-\xi\rVert^n)$ [/mm] zu berechnen. Zur Kontrolle:
[mm] $\frac{\partial}{\partial x_i}(\lVert x-\xi\rVert^n)=\frac{1}{2}n\lVert x-\xi\rVert^{n-2}(2x_i-2\xi_i)$
[/mm]
Vielleicht erstmal nur bis zu dieser Stelle.
Hätte jemand Lust und Muße, mir zu sagen, ob ich bis hierhin korrekt gerechnet habe?
Schöne Grüße!
mikexx
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 Sa 16.11.2013 | | Autor: | mikexx |
Ich frage mal etwas spezieller.
Was ist die partielle Ableitung von [mm] $\lVert x-\xi\rVert^n$ [/mm] nach [mm] $x_i$?
[/mm]
Ich habe das, wie gesagt, mit der Kettenregel gemacht.
Zuerst habe ich
[mm] $\lVert x-\xi\rVert^n$ [/mm] geschrieben als [mm] $(\sum_{i=1}^{n}(x_i-\xi_i)^2)^{n/2}$.
[/mm]
Als innere Funktionen habe ich dann [mm] $u:=\lVert x-\xi\rVert^2=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\xi_i)^2$ [/mm] gesetzt und hiervon ist die partielle Ableitung nach [mm] $x_i$ [/mm] doch [mm] $2x_i-2\xi_i$, [/mm] oder?
Die äußere Funktion [mm] $z:=u^{n/2}$ [/mm] ist, nach u abgeleitet: [mm] $\frac{n}{2}u^{\frac{n}{2}-1}$ [/mm] und nach Resubstituieren ist das
[mm] $\frac{n}{2}\lVert x-\xi\rVert^{n-2}$.
[/mm]
Insgesamt komme ich also auf die partielle Ableitung
[mm] $\frac{n}{2}\lVert x-\xi\rVert^{n-2}(2x_i-2\xi_i)$.
[/mm]
Stimmt das?
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Hallo mikex,
tut mir Leid, dass noch niemand vorher darauf geantwortet hat, obwohl deine Frage eigentlich sehr vorbildlich gestellt war.
Dann wollen wir mal 
> [mm]f_{x_i}=\frac{-2x_i\lVert x-\xi\rVert^n-(1-\lVert x\rVert^2)\frac{n}{2}\lVert x-\xi\rVert^{n-2}(2x_i-2\xi_i)}{\lVert x-\xi\rVert^{2n}}[/mm]
$ = [mm] \frac{-2x_i\lVert x-\xi\rVert^n- n (1-\lVert x\rVert^2)\lVert x-\xi\rVert^{n-2}(x_i-\xi_i)}{\lVert x-\xi\rVert^{2n}}$
[/mm]
Und als Tipp: Nun reicht es, den Zähler zu betrachten!
Klammere dann [mm] $\lVert x-\xi\rVert^{n-2}$ [/mm] aus und fasse geeignet zusammen.
Gruß,
Gono.
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