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| Aufgabe | Bestimmen sie die Lösung des AWP mit Hilfe der Laplace-Transformation
v''(t)+25*v(t)=80*sin(3t), v(0)=3, v'(0)=5 |
Hallo,
ich wollte gerade die Hausaufgaben machen, hänge hier aber.
Wenn ich auf beiden Seiten die Laplace-Transformation anwende, und mit dem Ansatz V(s)=L[v(t)](s) komme ich zur folgenden Gleichung:
[mm] s²*V(s)-s*v(0)-v'(0)+25*V(s)=80*\bruch{3}{s²+9} [/mm] also
[mm] V(s)*(s²+25)=\bruch{240}{s²+9}+3*s+5
[/mm]
<=> [mm] V(s)=\bruch{240+3*s*(s²+9)+5*(s²+9)}{(s²+9)(s²+25)}
[/mm]
<=> [mm] V(s)=\bruch{3*s³+5s²+27s+285}{(s²+9)(s²+25)}
[/mm]
jetzt versuche ich die ganze Zeit, dieses mittels Partialbruchzerlegung zu vereinfachen, aber irgendwo mache ich hier einen Fehler.
Mein Ansatz sieht wie folgt aus: Nullstellen des Nenners sind 3i, -3i, 5i, -5i
Ansatz für die PBZ: [mm] 3*s³+5*s²+27*s+285=\bruch{A}{s-3i}+\bruch{B}{s+3i}+\bruch{C}{s+5i}+\bruch{D}{s-5i}
[/mm]
und genau hier komme ich nicht weiter, habs mit Koeffizientenvergleich probiert, komme auf C=1, D=2 und der Rest ist total krum...
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> Bestimmen sie die Lösung des AWP mit Hilfe der
> Laplace-Transformation
> v''(t)+25*v(t)=80*sin(3t), v(0)=3, v'(0)=5
> Hallo,
> ich wollte gerade die Hausaufgaben machen, hänge hier
> aber.
> Wenn ich auf beiden Seiten die Laplace-Transformation
> anwende, und mit dem Ansatz V(s)=L[v(t)](s) komme ich zur
> folgenden Gleichung:
> [mm]s²*V(s)-s*v(0)-v'(0)+25*V(s)=80*\bruch{3}{s²+9}[/mm] also
> [mm]V(s)*(s²+25)=\bruch{240}{s²+9}+3*s+5[/mm]
> <=> [mm]V(s)=\bruch{240+3*s*(s²+9)+5*(s²+9)}{(s²+9)(s²+25)}[/mm]
> <=> [mm]V(s)=\bruch{3*s³+5s²+27s+285}{(s²+9)(s²+25)}[/mm]
>
> jetzt versuche ich die ganze Zeit, dieses mittels
> Partialbruchzerlegung zu vereinfachen, aber irgendwo mache
> ich hier einen Fehler.
> Mein Ansatz sieht wie folgt aus: Nullstellen des Nenners
> sind 3i, -3i, 5i, -5i
> Ansatz für die PBZ:
> [mm]3*s³+5*s²+27*s+285=\bruch{A}{s-3i}+\bruch{B}{s+3i}+\bruch{C}{s+5i}+\bruch{D}{s-5i}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Vermutlich hast Du schreiben wollen
[mm]\bruch{3*s³+5*s²+27*s+285}{(s^2+9)(s^2+25)}=\bruch{A}{s-3i}+\bruch{B}{s+3i}+\bruch{C}{s+5i}+\bruch{D}{s-5i}[/mm]
Aber wenn Du diesen Ansatz machst, erhältst Du eine komplexe Partialbruchzerlegung. Dies ist vermutlich nicht, was Du möchtest. Verwende besser den folgenden Ansatz (mit reellem $A,B,C,D$):
[mm]\frac{3s^3+5s^2+27s+285}{(s^2+9)(s^2+25)}=\frac{As+B}{s^2+9}+\frac{Cs+D}{s^2+25}[/mm]
Durch Koeffizientenvergleich der Zählerpolynome der linken und der gleichnamiggemachten rechten Seite ergibt sich, dass gelten muss $A+C=3$, $B+D=5$, $25A+9C=27$, $25B+9D=285$, woraus folgt, dass $A=0, B=15, C=3$ und $D=-10$. Also ist
[mm]\frac{3s^3+5s^2+27s+285}{(s^2+9)(s^2+25)}=\frac{15}{s^2+9}+\frac{3s-10}{s^2+25}[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:09 Di 24.06.2008 | | Autor: | HAWRaptor |
Hallo,
genau das ist mir dann auch heute in der Übung wieder eingefallen;)
Vielen Dank für die Hilfe, mit diesem erweitertem Ansatz war es dann doch relativ einfach!
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