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Laplace: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:48 Mo 14.01.2008
Autor: anna_h

Aufgabe
ich soll [mm] F(s)=\bruch{1}{s²*(1+s²)} [/mm] mit PZB und mit dem Faltungssatz lösen.

habe ich gemacht. Natürlich sollte das selbe rauskommen, tut es aber bei mir nicht.

Hier meine Lösung mit PZB:

[mm] \bruch{A}{s}+\bruch{b}{s²}+\bruch{C+sD}{1+s²} [/mm]
[mm] s=As³+As^{4}+Bs+Bs³+Cs³+Ds^{4} [/mm]
nach auflösen:A=0,B=1;C=-1;D=0;
[mm] F(s)=\bruch{1}{s²}-\bruch{1}{1+s²} [/mm]
-> f(t)=t-sin(t)
---------------------------------------------
Jetzt mim Faltungssatz:

[mm] f_{1}(u)=sin(u) [/mm]
[mm] f_{2}(t-u)=t-u [/mm]

[mm] f(t)=\integral_{0}^{t}{[sin(u)]*u) du} [/mm]
=sin(t)-t*cos(t)
Wo ist mein Fehler? Ich habe keine Ahnung
        
Bezug
Laplace: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:56 Di 15.01.2008
Autor: rainerS

Hallo!

> ich soll [mm]F(s)=\bruch{1}{s²*(1+s²)}[/mm] mit PZB und mit dem
> Faltungssatz lösen.
>  
> habe ich gemacht. Natürlich sollte das selbe rauskommen,
> tut es aber bei mir nicht.
>  
> Hier meine Lösung mit PZB:
>  
> [mm]\bruch{A}{s}+\bruch{b}{s²}+\bruch{C+sD}{1+s²}[/mm]
>  [mm]s=As³+As^{4}+Bs+Bs³+Cs³+Ds^{4}[/mm]
>  nach auflösen:A=0,B=1;C=-1;D=0;
>  [mm]F(s)=\bruch{1}{s²}-\bruch{1}{1+s²}[/mm]
>  -> f(t)=t-sin(t)

>  ---------------------------------------------
>  Jetzt mim Faltungssatz:
>  
> [mm]f_{1}(u)=sin(u)[/mm]
>  [mm]f_{2}(t-u)=t-u[/mm]

[ok]



>  
> [mm]f(t)=\integral_{0}^{t}{[sin(u)]*u) du}[/mm] =sin(t)-t*cos(t)

[notok]

Der Faltungssatz sagt:

[mm] f(t) = \integral_{0}^{t}f_1(u)*f_2(t-u) du} = \integral_{0}^{t}{[sin(u)]*(t-u) du} = t -\sin t[/mm].

Viele Grüße
   Rainer


Bezug
                
Bezug
Laplace: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:26 Sa 19.01.2008
Autor: anna_h

So wollte gerade die Aufgabe nochmal durchrechnen und ich habe unten bei dem Integral 0-cos(t)-0,5t² raus.
Da stimmt doch wieder was nicht
Bezug
                        
Bezug
Laplace: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:26 Sa 19.01.2008
Autor: rainerS

Hallo!

> So wollte gerade die Aufgabe nochmal durchrechnen und ich
> habe unten bei dem Integral 0-cos(t)-0,5t² raus.
>  Da stimmt doch wieder was nicht

Du meinst, beim dem Integral:

[mm]\integral_{0}^{t}{[\sin(u)]*(t-u) du} = t* \integral_{0}^{t} \sin u du - \integral_{0}^{t} u\sin u du [/mm]
  [mm] = t*\left[-\cos u\right]_0^t - \integral_{0}^{t} u\sin u du = t*(1-\cos t) - \integral_{0}^{t} u\sin u du [/mm]

Das verbleibende Integral ergibt mit partieller Integration:

[mm] \integral_{0}^{t} u\sin u du = \left[-u\cos u\right]_0^t - \integral_{0}^{t} 1* (-\cos u) du = -t \cos t + sin t[/mm]

Viele Grüße
   Rainer
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Bezug
Laplace: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:35 Sa 19.01.2008
Autor: anna_h

Ich habe jetzt nicht auf die schnelle jeden Schritt nachfolzogen, aber du hast doch jetz ein anderes Ergebniss wie weiter oben raus, oder?
Bezug
                                        
Bezug
Laplace: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:42 Sa 19.01.2008
Autor: rainerS

Hallo!

> Ich habe jetzt nicht auf die schnelle jeden Schritt
> nachfolzogen, aber du hast doch jetz ein anderes Ergebniss
> wie weiter oben raus, oder?

Nein: [mm] t*(1-\cos t) - (-t \cos t + \sin t ) = t -\sin t[/mm].

Viele Grüße
  Rainer
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