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| Aufgabe | | Rechnen Sie den Laplace Operator von kartesischen Koordinaten in Polardarstellung um. |
Hallo!
ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
An der Kettenregel verzweifle ich noch!
[mm] \Delta [/mm] * g = [mm] \Delta [/mm] f°h berechnen wobei h der Transformationsdiffeomorphismus ist.
kann ich also schreiben g(x,y) = [mm] g(r,\phi)? [/mm]
wobei [mm] x(r,\phi) [/mm] = [mm] r*cos(\phi) [/mm] und y(r,phi) = r*sin(phi)
und umgekehrt r(x,y) = [mm] \wurzel(x^{2}+y^{2})), \phi [/mm] = arctan(y/x)
wie berechne ich jetzt mein [mm] \bruch{\partial g}{(\partial x)^2} [/mm] konkret nach der Kettenregel?
Gruß Kevin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:57 Mi 20.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Rechnen Sie den Laplace Operator von kartesischen
> Koordinaten in Polardarstellung um.
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> Hallo!
Hallo,
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> ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> An der Kettenregel verzweifle ich noch!
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> [mm]\Delta[/mm] * g = [mm]\Delta[/mm] f°h berechnen wobei h der
> Transformationsdiffeomorphismus ist.
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> kann ich also schreiben g(x,y) = [mm]g(r,\phi)?[/mm]
> wobei [mm]x(r,\phi)[/mm] = [mm]r*cos(\phi)[/mm] und y(r,phi) = r*sin(phi)
Nee, das verwirrt irgendwie! Denn auf der linken Seite sind [mm] $x,y\in\IR$ [/mm] und auf der rechten Seite sind [mm] $r\in\IR_{+}$ [/mm] und [mm] $\varphi\in]-\pi,\pi]$. [/mm] In der nächsten Zeile ist $x$ aufeinmal eine Funktion von $r$ und [mm] $\varphi$, [/mm] bzw. abhängig von Ihnen. Das sieht sehr unschön aus.
Entweder formst Du an dieser Stelle die kartesischen Koordinaten in Polarform um und erhälst für [mm] $y\geqslant [/mm] 0$
[mm] $g(x,y)=g(\sqrt{x^2+y^2}\cos(\arccos(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}})),\sqrt{x^2+y^2}\sin(\arccos(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}})))$
[/mm]
und für $y<0$
[mm] $g(x,y)=g(\sqrt{x^2+y^2}\cos(-\arccos(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}})),\sqrt{x^2+y^2}\sin(-\arccos(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}})))$
[/mm]
wobei [mm] $(x,y)\neq(0,0)$. [/mm] (Hinweis: Für diese Berechnung stellst Du zunächst fest, dass Du jeden Punkt [mm] $(x,y)\in\IR^2$ [/mm] in der Form [mm] $re^{i\varphi}$ [/mm] schreiben kannst. Dabei bezeichnet $r$ den Abstand vom Punkt $(x,y)$ zum Ursprung, also [mm] $r=\sqrt{x^2+y^2}$, [/mm] und [mm] $\varphi$ [/mm] den Öffnungswinkel. Damit dieser eindeutig ist, müssen wir [mm] $\varphi\in]-\pi,\pi]$ [/mm] fordern. Nun verwendest Du die Eulersche Formel
[mm] $re^{i\varphi}=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)=\sqrt{x^2+y^2}\cos\varphi+i\sqrt{x^2+y^2}\sin\varphi$
[/mm]
Nun benötigst Du noch [mm] $\varphi$. [/mm] Dazu siehe mal bei Wikipedia nach "Polarform" und dort im Abschnitt "Umrechnungsformeln - Von der algebraischen Form in die Polarform". Mit Hilfe des dort unten stehenden Teil über den Arkuscosinus können wir [mm] $\varphi$ [/mm] darstellen, müssen allerdings eine Fallunterscheidung [mm] $y\geqslant [/mm] 0$ und $y<0$ machen. Das führt zu der von mir genannten Form.)
Umgekehrt kannst Du dies sicherlich auch vollständig in Polarkoordinaten schreiben.
> und umgekehrt r(x,y) = [mm]\wurzel(x^{2}+y^{2})), \phi[/mm] =
> arctan(y/x)
Auch das ist nicht so gut. Arbeite doch mit Abbildungen. Denn die Umformung von kartesischen Koordinaten in die Polarform und umgekehrt sind nichts anderes als Transformationsabbildungen. (Da Du zuvor von Transformationen gesprochen hast, dachte ich, dass Du Transformationsabbildungen benötigst.)
> wie berechne ich jetzt mein [mm]\bruch{\partial g}{(\partial x)^2}[/mm]
Versuche es mal mit meiner Formulierung (ich habe es allerding selber noch nicht versucht) und leite meinen Ausdruck zweimal nach $x$ ab. Beachte hierbei, dass der Laplace-Operator durch
[mm] $\triangle g(x,y):=\frac{\partial^2g}{\partial x^2}(x,y)+\frac{\partial^2g}{\partial y^2}(x,y)$
[/mm]
definiert ist.
> konkret nach der Kettenregel?
Ja.
> Gruß Kevin
Gruß
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