Laplace Tr. einer Wurzel < Laplace-Transformation < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie die Laplace Transformierten von :
[mm] 3t^{4} [/mm] - [mm] 2t^{3/2} [/mm] + 6 |
Wie berechnet man denn die Laplace Transformierte einer Wurzel (hier hoch 3/2)?
Wenn man partiell integriert, verschwindet die Wurzel ja nicht irgendwann.
Es gibt ja noch die Korrespondenzformel:
[mm] t^{n} [/mm] S(t) => [mm] n!/s^{n+1}
[/mm]
Aber wie berechnet man dann die Fakultät eines Bruchs?
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Hallo Valkyrion,
> Berechnen Sie die Laplace Transformierten von :
> [mm]3t^{4}[/mm] - [mm]2t^{3/2}[/mm] + 6
> Wie berechnet man denn die Laplace Transformierte einer
> Wurzel (hier hoch 3/2)?
> Wenn man partiell integriert, verschwindet die Wurzel ja
> nicht irgendwann.
> Es gibt ja noch die Korrespondenzformel:
> [mm]t^{n}[/mm] S(t) => [mm]n!/s^{n+1}[/mm]
> Aber wie berechnet man dann die Fakultät eines Bruchs?
Die Fakultät eines Bruches berechnet man mit der ![[]](/images/popup.gif) Gamma-Funktion.
Siehe auch: Gamma-Funktion - Fortsetzung der Fakultät
Gruss
MathePower
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aber dann habe ich doch auch wieder nichts gewonnen!? Denn die GammaFunktion ist ja wieder ein Integral mit ner Wurzel und weiteren eulerschen Faktor [mm] e^{-irgendwas}. [/mm] Und wie berechne ich dann dieses Integral (denn die Wurzel verschwindet ja nicht irgendwann oder doch? und wie?)
Gibt es keine Korrespondenzformel wie für Potenzen ($ [mm] t^{n} [/mm] $ S(t) => $ [mm] n!/s^{n+1} [/mm] $)?
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Hallo Valkyrion,
> aber dann habe ich doch auch wieder nichts gewonnen!? Denn
> die GammaFunktion ist ja wieder ein Integral mit ner Wurzel
> und weiteren eulerschen Faktor [mm]e^{-irgendwas}.[/mm] Und wie
> berechne ich dann dieses Integral (denn die Wurzel
> verschwindet ja nicht irgendwann oder doch? und wie?)
> Gibt es keine Korrespondenzformel wie für Potenzen ([mm] t^{n}[/mm]
> S(t) => [mm]n!/s^{n+1} [/mm])?
>
In der Korrespondenz abelle zur n-ten Wurzel
wird auch die Gamma-Funktion benutzt.
Gruss
MathePower
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ja, ok:
Gamma(1+1/n) = [mm] \integral_{0}^{infinity}{t^{1+1/n-1}*e^{-t}dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{infinity}{t^{1/n}*e^{-t}dt}!?
[/mm]
Aber jetzt bin ich doch wieder am Anfang. wie rechne ich dieses Integral aus? selbst nach mehrfacher partieller Integration bleibt die Variable t zweimal vorhanden (als Basis der Wurzelpotenz und bei e). Muss ich da substituieren? Mit was?
Grüße
Valkyrion
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:43 So 01.06.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo Valkyrion,
als Ingenieur bin ich recht pragmatisch an diese Aufgabe rangegangen und versuchte, sie mit möglichst vielen Korrespondenzen zu lösen. Es kommt sogar dabei was recht einfaches raus.
Du suchst die Laplace-Transformierte von [mm] 2\wurzel(t^3) [/mm]. Aus einer Korrespondenztabelle entnehme ich den Zusammenhang
[mm] L(t^{\alpha}) = \bruch{\Gamma(\alpha+1)}{t^{\alpha+1} [/mm]
Dein Wert eingesetzt ergibt dann als Laplacetransformierte
[mm] 2\bruch{\Gamma(\bruch{5}{2})}{t^{\bruch{5}{2}}} [/mm]
Für ganzzahlige positive Werte der Gammafunktion wissen wir, dass wir auf die Fakultät zur Berechnung des Ausdrucks setzen können, also machte ich mich auf die Suche nach einem Ausdruck, der es erlaubt, eine Wurzelfunktion mit Hilfe bereits bekannter Ausdrücke zu bestimmen. Bei Wikipedia wurde ich fündig mit dem schönen Ausdruck
[mm]\Gamma(n+\bruch{1}{2}) = \bruch{(2n)!}{n! \cdot 4^n}\cdot\wurzel{\pi} [/mm]
Für n = 2 komme ich damit auf
[mm] \Gamma(\bruch{5}{2}) = \bruch{3}{4} \cdot \wurzel{(\pi)} [/mm]
Damit ergibt sich dann als Laplacetransformierte (die 2 als Faktor nicht vergessen!)
[mm]\bruch{3 \wurzel(\pi)}{2t^{\bruch{5}{2}}} [/mm]
Da ich kein Gefühl für die Richtigkeit der Lösung hatte, habe ich mal Wolfram Alpha um Hilfe gebeten und siehe da, diese Lösungsmaschine liefert das gleiche Ergebnis.
Viele Grüße,
Infinit
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Ok erst mal danke dafür! das klappt jetzt!
Könntest Du noch den Link zu dem Wikipedia Artikel reinstellen?
Was ist aber mit höheren Wurzeln? Also beispielsweise:
[mm] L(t^{1/3})?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:36 So 01.06.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
schau mal unter "Funktionalgleichungen und spezielle Werte" hier.
Es gibt Rekursionsgleichungen für die Werte der Gammafunktion, aber da bin ich kein Experte drin. Generell sollte man wohl nicht davon ausgehen, dass man immer eine geschlossene Lösung findet.
Viele Grüße,
Infinit
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