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| Aufgabe | Lösen Sie das Problem:
[mm] \Delta [/mm] u = 0
u(x,-1)=0, u(x,1)=1+sin(2x)
[mm] u_x(0,y)=u_x(2*\pi,y)=0
[/mm]
für -1<y<1, [mm] 0\le [/mm] x [mm] \le 2*\pi [/mm] |
Hallo zusammen!
Ich habe versucht Variablen zu trennen, also den Ansatz u=X(x)Y(y). Damit und mit [mm] u_x(0,y)=u_x(2*\pi,y)=0 [/mm] erhalte ich für [mm] X_n(x)=\cos(\bruch{1}{2}(n-\bruch{1}{2}) [/mm] x), als Lösung zu [mm] X''+\lambda [/mm] X =0.
Aber dann bleibt für Y:
Y'' - [mm] \lambda [/mm] Y =0 mit der Anfangsbedingung Y(-1)=0.
und da komme ich irgendwie nicht weiter! Allgemeine Lösung der Differentialgleichung wäre ja [mm] Y_n(y)=a_n*e^{\lambda y}+b_n*e^{-\lambda y}. [/mm] Aber mit Y(-1)=0 ergibt das ja keinen Sinn!
Wer kann mir helfen, bzw. findet meinen Denk-/Rechenfehler?
Vielen Dank schon mal 
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Hallo schneckennudel91,
> Lösen Sie das Problem:
> [mm]\Delta[/mm] u = 0
> u(x,-1)=0, u(x,1)=1+sin(2x)
> [mm]u_x(0,y)=u_x(2*\pi,y)=0[/mm]
> für -1<y<1, [mm]0\le[/mm] x [mm]\le 2*\pi[/mm]
>
> Hallo zusammen!
>
> Ich habe versucht Variablen zu trennen, also den Ansatz
> u=X(x)Y(y). Damit und mit [mm]u_x(0,y)=u_x(2*\pi,y)=0[/mm] erhalte
> ich für [mm]X_n(x)=\cos(\bruch{1}{2}(n-\bruch{1}{2})[/mm] x), als
> Lösung zu [mm]X''+\lambda[/mm] X =0.
>
> Aber dann bleibt für Y:
> Y'' - [mm]\lambda[/mm] Y =0 mit der Anfangsbedingung Y(-1)=0.
>
> und da komme ich irgendwie nicht weiter! Allgemeine
> Lösung der Differentialgleichung wäre ja
> [mm]Y_n(y)=a_n*e^{\lambda y}+b_n*e^{-\lambda y}.[/mm] Aber mit
> Y(-1)=0 ergibt das ja keinen Sinn!
>
Es gibt ja noch eine Bedingung an Y: Y(1)=1.
> Wer kann mir helfen, bzw. findet meinen
> Denk-/Rechenfehler?
> Vielen Dank schon mal
>
Gruss
MathePower
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Vielen Dank für deine Antwort, MathePower!
Aber wie kommst du da drauf?
Und ich sehe gerade auch nicht, wo das hinführt. Kannst du das noch etwas erklären? Das wäre super
Ich habe mir mittlerweile überlegt, dass man die [mm] Y_n(y) [/mm] auch anders darstellen kann:
[mm] a_n*sinh(\bruch{1}{2}(n-\bruch{1}{2})y) [/mm] + [mm] b_n*sinh(\bruch{1}{2}(n-\bruch{1}{2})(1+y))
[/mm]
Dann folgt mit Y(-1)=0, dass [mm] a_n=0 [/mm] für alle n und somit:
u(x,y)=C + [mm] \summe_{n=1}^{\infty} b_n cos(\bruch{1}{2}(n-\bruch{1}{2})x)*sinh(\bruch{1}{2}(n-\bruch{1}{2})(1+y))
[/mm]
C ist dann 1 und den sin(2x) verpackt man in eine Fourierreihe.
Hab ich was übersehen?
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Hallo schneckennudel91,
> Vielen Dank für deine Antwort, MathePower!
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> Aber wie kommst du da drauf?
> Und ich sehe gerade auch nicht, wo das hinführt. Kannst
> du das noch etwas erklären? Das wäre super
>
Es ist doch
[mm]u\left(x,1\right)=X\left(x\right)*Y\left(1\right)=1+\sin\left(2x\right)[/mm]
Damit ist auch [mm]Y\left(1\right)=1[/mm]
> Ich habe mir mittlerweile überlegt, dass man die [mm]Y_n(y)[/mm]
> auch anders darstellen kann:
> [mm]a_n*sinh(\bruch{1}{2}(n-\bruch{1}{2})y)[/mm] +
> [mm]b_n*sinh(\bruch{1}{2}(n-\bruch{1}{2})(1+y))[/mm]
> Dann folgt mit Y(-1)=0, dass [mm]a_n=0[/mm] für alle n und somit:
>
> u(x,y)=C + [mm]\summe_{n=1}^{\infty} b_n cos(\bruch{1}{2}(n-\bruch{1}{2})x)*sinh(\bruch{1}{2}(n-\bruch{1}{2})(1+y))[/mm]
>
> C ist dann 1 und den sin(2x) verpackt man in eine
> Fourierreihe.
>
> Hab ich was übersehen?
Gruss
MathePower
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