Laplace periodisch < Laplace-Transformation < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:33 Fr 28.11.2014 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | Sei f: [0; [mm] \infty] [/mm] --> R Laplace-transfomierbar und periodisch mit Periode T >0. Zeige durch Ausnutzung der Eigenschaften der Laplace-Transformation, dass dann
[mm] L[f](s)=F(s)=\bruch{1}{1-e^{-sT}} \integral_{0}^{T}{e^{-st} f(t) dt} [/mm] |
Hallo,
da f Laplace-transformierbar ist, gilt: [mm] F(s)=L[f](s)=\integral_{0}^{\infty}{e^{-st} f(t) dt}
[/mm]
Außerdem das f periodisch ist f(t+T)=f(t-T)=f(t) mit T >0
Jetzt wollte ich den Dämpfungssatz anwenden:
[mm] F(s+\alpha)=L[e^{-\alpha t} [/mm] f(t)] bzw. hier: [mm] F(s+T)=L[e^{-T t} [/mm] f(t)]
Und nun?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:17 Fr 28.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei f: [0; [mm]\infty][/mm] --> R Laplace-transfomierbar und
> periodisch mit Periode T >0. Zeige durch Ausnutzung der
> Eigenschaften der Laplace-Transformation, dass dann
> [mm]L[f](s)=F(s)=\bruch{1}{1-e^{-sT}} \integral_{0}^{T}{e^{-st} f(t) dt}[/mm]
>
> Hallo,
>
> da f Laplace-transformierbar ist, gilt:
> [mm]F(s)=L[f](s)=\integral_{0}^{\infty}{e^{-st} f(t) dt}[/mm]
>
> Außerdem das f periodisch ist f(t+T)=f(t-T)=f(t) mit T >0
> Jetzt wollte ich den Dämpfungssatz anwenden:
> [mm]F(s+\alpha)=L[e^{-\alpha t}[/mm] f(t)] bzw. hier: [mm]F(s+T)=L[e^{-T t}[/mm]
> f(t)]
>
> Und nun?
Schwere Aufgabe ! Daher:
schau Dir ![[]](/images/popup.gif) das an.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Fr 28.11.2014 | | Autor: | Trikolon |
Ich das Ironie oder ernst gemeint? Die Aufgabe gibt nämlich nur 2 punkte. Ich kann leider nicht kostenlos auf dieses Kapitel zugreifen. ..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Fr 28.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich das Ironie oder ernst gemeint?
Das ist ernst gemeint. Ich bin der Meinung, dass die Aufgabe schwer ist.
> Die Aufgabe gibt
> nämlich nur 2 punkte.
Echt ?
> Ich kann leider nicht kostenlos auf
> dieses Kapitel zugreifen. ..
Komisch, ich konnte das pdf problemlos sehen.
Es stammt aus dem Buch
L. Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 2
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Fr 28.11.2014 | | Autor: | Trikolon |
Besteht nicht die Möglichkeit das mit Hilfe des oben angegebenen Satzes zu zeigen. Man soll ja auch nur die Eigenschaften der Laplace Transfo verwenden. Ich habe schon eine Lösung durch direkte Rechnung gesehen, die konnte ich zwar nachvollziehen, aber das ist hier ja nicht gefragt
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Eigentlich ist es relativ einfach mit dem Zeitverschiebungssatz zu lösen.
Das Integral mit Obergrenze $T$ ist die Laplace-Transformierte einer Periode.
Eine Periode kannst Du auch darstellen als $f(t)-f(t-T)$.
Gleichsetzen, umformen, fertig.
Hilft das?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 Sa 29.11.2014 | | Autor: | Trikolon |
Könntest du mal bitte zeigen was ich hier gleichsetzen soll?
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Gerne:
Eine Periode des Signals ist $f(t)-f(t-T)$. Laplace-transformiert ist das [mm] $F(s)-e^{-sT}F(s)$, [/mm] dabei nutze ich den Zeitverschiebungssatz aus. Die Laplace-Transformation einer Periode des Signals als Integral: [mm] $\integral_{0}^{T}{e^{-st} f(t) dt}$
[/mm]
Gleichsetzen: [mm] $F(s)-e^{-sT}F(s)=\integral_{0}^{T}{e^{-st} f(t) dt}$
[/mm]
OK?
Frag nur weiter, wenn es nicht klar ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 Sa 29.11.2014 | | Autor: | Trikolon |
Vielen Dank für deine Hilfe! Jetzt steht das Ergebnis ja schon da 
Ist dieser Verschiebungssatz dasselbe wie der Dämpfungssatz, den ich oben erwähnte?
Könntest du diesen Schritt nochmal erklären:
Eine Periode des Signals ist $ f(t)-f(t-T) $. Laplace-transformiert ist das $ [mm] F(s)-e^{-sT}F(s) [/mm] $,
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Ja, ich nenne den Dämpfungssatz Zeitverschiebungssatz.
Zuerst zu $f(t)-f(t-T)$: erkennst Du, dass die Differenz dieser zwei Funktionen eine einzige Periode von $f(t)$ ist, falls $T$ die Periodendauer ist?
$f(t)=0$ für $t<0$, und die Perioden von $f(t)$ gehen von [mm] $0\ldots [/mm] T$, [mm] $T\ldots [/mm] 2T$, [mm] $2T\ldots [/mm] 3T$, und so weiter.
$f(t-T)=0$ für $t<T$, und die Perioden von $f(t)$ gehen von [mm] $T\ldots [/mm] 2T$, [mm] $2T\ldots [/mm] 3T$, [mm] $3T\ldots [/mm] 4T$, und so weiter.
Somit bleibt in $f(t)-f(t-T)$ nur die eine Periode im Zeitbereich [mm] $0\ldots [/mm] T$ übrig.
OK?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:45 Sa 29.11.2014 | | Autor: | Trikolon |
Das verstehe ich, ja.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Sa 29.11.2014 | | Autor: | Trikolon |
Wie siehts mit dem Rest aus?
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Also jetzt wäre ich um eine konkrete Frage froh, da ich nicht sehen kann, was noch unklar sein könnte.
Vielleicht ist es das beste, wenn Du den Lösungsweg mal aus Deiner Sicht aufschreibst, bis es klemmt, und ich dann korrigiere.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Sa 29.11.2014 | | Autor: | Trikolon |
Die konkrete Frage wäre wie du auf die Laplace Transformierte kommst?
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Ah, ich glaube ich sehe das Problem: der Dämpfungssatz ist das, was ich den Modulationssatz nennen würde, die Verschiebung im Bildbereich.
Ich hingegen habe den Zeitverschiebungssatz (bzw. die "Verschiebung im Origibalbereich") angewendet, der sagt:
Die Laplace-Transformierte von $f(t)$ ist $F(s)$; dann ist die Laplace-Transformierte von $f(t-T)$ einfach [mm] $e^{-sT}F(s)$.
[/mm]
OK?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Mi 03.12.2014 | | Autor: | Trikolon |
Kann man diesen Verschiebungssatz aus dem Dämpfungssatz folgern?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:26 Mi 03.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Kann man diesen Verschiebungssatz aus dem Dämpfungssatz
> folgern?
wenn ich nicht gerade ganz auf dem Schlauch sehe, würde ich sagen:
Das folgt per Definitionem, wenn man die verschobene Funktion einsetzt
und (beim Integral) ein wenig substituiert.
Warum schreibst Du Dir das nicht einfach mal hin?
Gruß,
Marcel
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