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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:35 Sa 17.09.2011 | | Autor: | Fishbon3 |
| Aufgabe | a)
Geben Sie für die Funkion (siehe auch die Abb. rechts)
[mm] f(t)=\begin{cases} sin(t), & \mbox{falls } t \in \mbox{ [0, pi/2 [ } \\ 0, & \mbox{sonst }\end{cases}[/mm] [Dateianhang nicht öffentlich]
die rechnerische Funktionsvorschrift ohne Fallunterscheidungen (d.h ohne { }) mit Hilfe der Einheitssprungfunktion $ [mm] \sigma(t)$ [/mm] an.
b)
Berechnen Sie die Laplace-Transformierte F(s) für die in Teilaufgabe a) definierte Funktion f(t).
Stellen Sie das Ergebnis als einen einzigen Bruch dar (anstelle einer Summe mehrerer Brüche) und vereinfachen Sie es so weit wie möglich
c)
Die Funktion g(t) sei für t [mm] \ge [/mm] 0 mit Periode T = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] periodisch durch
g(t) = sin(t) falls t [mm] \in [/mm] [0, [mm] \bruch{\pi}{2}[
[/mm]
gegeben und es sei g(t) = 0 für t<0 erfüllt (siehe auch die Abb. rechts). [Dateianhang nicht öffentlich]
Berechnen Sie die Laplace-Transformierte G(s). |
Hallo erstmal. Dies ist mein erster Beitrag hier in diesem Forum.
Hoffentlich halbwegs vernünftig.
Ich habe mehrerer solcher Aufgaben bereits gelöst. Bei dieser Aufgabe habe ich jedoch Probleme mit Aufgabenteil b.
Zur Aufgabe selbst
zu a)
f(t) = ($ [mm] \sigma(t)$ [/mm] - $ [mm] \sigma(t- \bruch{\pi}{2})$)*sin(t)
[/mm]
zu b) Hier habe ich erstmal ausmultipliziert was zu folgendem führt
F(s) = L($ [mm] \sigma(t)$ [/mm] * sin(t)) - L ($ [mm] \sigma(t-\bruch{\pi}{2})$*sin(t))
[/mm]
Der zweite Teil schreit nach Verschiebungssatz jedoch fehlt bei sin(t) noch das [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] welches ich einbaue und gleichzeitig wieder abziehe (hier die unsicherheit), also
F(s) = L($ [mm] \sigma(t)$ [/mm] * sin(t)) - L ($ [mm] \sigma(t-\bruch{\pi}{2})$*sin(t-\bruch{\pi}{2})+$ \sigma(t-\bruch{\pi}{2})$)
[/mm]
Dies transformiert ergibt
F(s) = [mm] \bruch{1}{s^{2} +1} [/mm] - [mm] e^{-s*\bruch{\pi}{2}}*\bruch{1}{s^{2}+1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{s}*e^{-s*\bruch{\pi}{2}}
[/mm]
Dies ist jedoch nicht korrekt. Richtig müsste es heißen
F(s) = [mm] \bruch{1-s*e^{-s*\bruch{\pi}{2}}}{s^{2}+1}
[/mm]
c)
Dies ist dann wieder einfach. Es gilt [mm] \bruch{1}{1-e^{-s*T}} [/mm] * F(s) . T ist in diesem Fall [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
Dies ergibt dann [mm] \bruch{1}{1-e^{-s*\bruch{\pi}{2}}} [/mm] * F(s)
Ich hoffe mir kann geholfen werden
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:28 So 18.09.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Fishbon3,
zunächst einmal ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]") .
Dein Ansatz zur Bestimmung der Anteile zur Laplacetrareansformation ist fast richtig, allerdings hast Du bei dem abzuziehenden Anteil etwas zuviel des Guten getan.
Denke zunächst bitte daran, dass Du ab Werten, die größer sind als Pi/2, den zweiten Sinus vom ersten gerade abziehst, so wie Du es auch in der ersten Zeile geschrieben hast und dass laut Definition, sonst existiert keine Laplacetransformierte, die Zeitfunktionen für negative Zeiten identisch Null sind.
Um zu Deinem Teilsinus zu kommen, ziehst Du also ab t > Pi/2 einen Sinus vom ursprünglichen Sinus, der bereits ab t = 0 läuft, ab.
In beiliegendem Bildchen habe ich die drei Funktionen mal aufgezeichnet.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Für den Sinus bekommst Du als Laplacetransformierte
[mm] \bruch{1}{s^2 +1} [/mm] und für den zeitverschobenen Sinus
[mm] \bruch{e^{-s\bruch{\pi}{2}}}{s^2 + 1} [/mm]
Das führt dann insgesamt zu
[mm] \bruch{1-e^{-s\bruch{\pi}{2}}}{s^2+1} [/mm]
Viele Grüße,
Infinit
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 So 18.09.2011 | | Autor: | Fishbon3 |
Hallo und danke für die schnelle Antwort. Jedoch scheint mir als ob dein angegebenes Ergebnis nicht korrekt ist. Laut Musterlösung und Wolfram Alpha lautet das Ergebnis für Aufgabenteil b
F(s) = [mm] \bruch{1-s*e^{-s*\bruch{\pi}{2}}}{s^{2}+1}
[/mm]
Dieses s im Zähler bringt mich zur Verzweiflung
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:07 So 18.09.2011 | | Autor: | Infinit |
Das mit dem s im Zähler kann ich nicht nachvollziehen. Solch ein Faktor deutet auf eine Ableitung im Zeitbereich hin, aber die sehe ich nirgendwo.
Viele Grüße,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:30 So 18.09.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Fishbon3,
mein Hinweis mit der Ableitung brachte mich, so glaube ich eben, auf die Spur Deiner Lösung, die jedoch aus meiner Sicht immer noch verkehrt ist.
Es ist richtig, dass gilt
[mm] \sin ( x - \bruch{\pi}{2}) = - cos (x)[/mm] und wenn man dies ansetzt und beachtet, dass der Kosinus die Ableitung des Sinus ist, dann erklärt dies den Faktor s im Zähler, die e-Funktion gibt die Zeitverschiebung der Heavisidefunktion an. Mit dem Minuszeichen vor dem Cosinus und der Notwendigkeit des Subtrahierens hätte ich jedoch dann ein Pluszeichen im Zähler erwartet.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 So 18.09.2011 | | Autor: | Fishbon3 |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo nochmal. Also ich habe es jetzt warscheinlich etwas kompliziert, aber richtig gelöst bekommen über das Laplace Integral. Da diese Aufgabe jedoch einer von 5 Klausuraufgaben entspricht für die nur 60 Minuten Zeit ist muß dies auf jeden fall auch mit der Heavyside Funktion machbar sein.
Hier jedenfalls die Rechnung
Sei y = \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{sin(t)*e^{-s*t} dt}
Partielle Integration:
$y =\left[\sin(t)*(-\frac{1}{s}e^{-s*t})\right]_{0}^{\pi/2}} $ - \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos(t)*(-\bruch{1}{s}*e^{-s*t})dt}
Konstanten rausgezogen
$y =\left-\frac{1}{s}[\sin(t)*e^{-s*t}\right]_{0}^{\pi/2}} $ +\bruch{1}{s}* \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos(t)*e^{-s*t}dt}
Nochmal Partielle Integration
$y =\left-\frac{1}{s}[\sin(t)*e^{-s*t}\right]_{0}^{\pi/2}} \left +\frac{1}{s}[\cos(t)*(-\bruch{1}{s}e^{-s*t})\right]_{0}^{\pi/2}} -\bruch{1}{s} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}-sin(x)*(-\bruch{1}{s} *e^{-s*t} )dt$
Konstanten wieder rausgezogen
$y =\left-\frac{1}{s}[\sin(t)*e^{-s*t}\right]_{0}^{\pi/2}} \left -\frac{1}{s^2}[\cos(t)*e^{-s*t}\right]_{0}^{\pi/2}} -\bruch{1}{s^{2}} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}sin(x)*e^{-s*t} dt$
Nun steht das Ausgangsintegral links als y und rechts als -\bruch{1}{s^{2}}*y. Dieses auf die andere Seite gebracht und y ausgeklammert ergibt inklusive Werte einsetzen
$y(\bruch{s^{2}+1}{s^{2}})= -\bruch{1}{s}*e^{-s*\bruch{\pi}{2}}-\bruch{1}{s^{2}}*(-1)$
Erweitert und auf einen Nenner gebracht
$y(\bruch{s^{2}+1}{s^{2}}) = -\bruch{s*e^{-s*\bruch{\pi}{2}}+1}{s^{2}}$
Nun mit \bruch{s^{2}}{s^{2}+1} multipliziert was als Endergebnis ergibt
$y= \bruch{1-s*e^{-s\bruch{\pi}{2}}}{s^{2}} * (\bruch{s^{2}}{s^{2}+1})$
$y= \bruch{1-s*e^{-s\bruch{\pi}{2}}}{s^{2}+1} = F(s)$
Das richtige Ergebnis hab ich nun. Befriedigend ist dies für mich jedoch nicht. Würds gerne über den Verschiebungssatz lösen da dies dann auch in der Klausur der Fall sein wird. Und die oben aufgeführte Rechnung ist unter Zeitdruck leider fehleranfällig
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Hallo Fishbon3,
> Hallo nochmal. Also ich habe es jetzt warscheinlich etwas
> kompliziert, aber richtig gelöst bekommen über das
> Laplace Integral. Da diese Aufgabe jedoch einer von 5
> Klausuraufgaben entspricht für die nur 60 Minuten Zeit ist
> muß dies auf jeden fall auch mit der Heavyside Funktion
> machbar sein.
> Hier jedenfalls die Rechnung
>
> Sei y = [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{sin(t)*e^{-s*t} dt}[/mm]
>
> Partielle Integration:
> [mm]y =\left[\sin(t)*(-\frac{1}{s}e^{-s*t})\right]_{0}^{\pi/2}}[/mm]
> -
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos(t)*(-\bruch{1}{s}*e^{-s*t})dt}[/mm]
> Konstanten rausgezogen
> [mm]y =\left-\frac{1}{s}[\sin(t)*e^{-s*t}\right]_{0}^{\pi/2}}[/mm]
> [mm]+\bruch{1}{s}* \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos(t)*e^{-s*t}dt}[/mm]
>
> Nochmal Partielle Integration
> [mm]y =\left-\frac{1}{s}[\sin(t)*e^{-s*t}\right]_{0}^{\pi/2}} \left +\frac{1}{s}[\cos(t)*(-\bruch{1}{s}e^{-s*t})\right]_{0}^{\pi/2}} -\bruch{1}{s} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}-sin(x)*(-\bruch{1}{s} *e^{-s*t} )dt[/mm]
> Konstanten wieder rausgezogen
> [mm]y =\left-\frac{1}{s}[\sin(t)*e^{-s*t}\right]_{0}^{\pi/2}} \left -\frac{1}{s^2}[\cos(t)*e^{-s*t}\right]_{0}^{\pi/2}} -\bruch{1}{s^{2}} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}sin(x)*e^{-s*t} dt[/mm]
> Nun steht das Ausgangsintegral links als y und rechts als
> [mm]-\bruch{1}{s^{2}}*y.[/mm] Dieses auf die andere Seite gebracht
> und y ausgeklammert ergibt inklusive Werte einsetzen
> [mm]y(\bruch{s^{2}+1}{s^{2}})= -\bruch{1}{s}*e^{-s*\bruch{\pi}{2}}-\bruch{1}{s^{2}}*(-1)[/mm]
>
> Erweitert und auf einen Nenner gebracht
> [mm]y(\bruch{s^{2}+1}{s^{2}}) = -\bruch{s*e^{-s*\bruch{\pi}{2}}+1}{s^{2}}[/mm]
>
> Nun mit [mm]\bruch{s^{2}}{s^{2}+1}[/mm] multipliziert was als
> Endergebnis ergibt
>
> [mm]y= \bruch{1-s*e^{-s\bruch{\pi}{2}}}{s^{2}} * (\bruch{s^{2}}{s^{2}+1})[/mm]
>
> [mm]y= \bruch{1-s*e^{-s\bruch{\pi}{2}}}{s^{2}+1} = F(s)[/mm]
>
> Das richtige Ergebnis hab ich nun. Befriedigend ist dies
> für mich jedoch nicht. Würds gerne über den
> Verschiebungssatz lösen da dies dann auch in der Klausur
> der Fall sein wird. Und die oben aufgeführte Rechnung ist
> unter Zeitdruck leider fehleranfällig
>
Schreibe Deine unter a) gefundenen Funktion f(t) aus:
[mm]f(t) = \sigma(t) \sin\left(t\right) - \sigma(t- \bruch{\pi}{2}) *\sin\left(t\right)[/mm]
Den Sinus im zweiten Ausdruck kannst Du auch so schreiben:
[mm]\sin\left(t\right)=cos\left(t-\bruch{\pi}{2}\right)[/mm]
Dann steht da:
[mm]f(t) = \sigma(t) \sin\left(t\right) - \sigma(t- \bruch{\pi}{2}) *cos\left(t-\bruch{\pi}{2}\right)[/mm]
Damit kannst Du den Verschiebungssatz anwenden.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:22 Mo 19.09.2011 | | Autor: | Fishbon3 |
*klatsch*
Darauf hätte ich wirklich selbst kommen können (müssen?)
Vielen dank
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