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| Aufgabe | Entwickeln Sie die Funktion
[mm] $\bruch{2z}{z²+4}$
[/mm]
in den Gebieten
D1 := {z aus C | 0 < |z-2i| < 4} und
D2 := {z aus C ||z-2i| > 4}
in einer Laurentreihe um den Punkt [mm] $z_0 [/mm] = 2i$. |
Hallo beisammen, danke für die viele Hilfe, die ich hier schon erhalten habe.
Auch habe ich schon viel über die Laurent-Entw. aus dem Thread von Nadine (Pacapear) gelernt, aber mir ist Folgendes in dieser Aufgabe noch nicht klar:
Mit der Partialbruchzerlegung bekommt man:
[mm] $\bruch{2z}{z²+4}=\bruch{1}{z-2i}+\bruch{1}{z+2i}$
[/mm]
Nun soll nach Musterlösung die Funktion [mm] $\bruch{1}{z+2i}$ [/mm] um [mm] $z_0=2i$ [/mm] entwickelt werden.
Diese wird dann folgend in D1 und D2 entwickelt.
Nun ist mir etwas unklar (aus Erfahrungen mit anderen Aufgaben):
Warum nur dieser Summand? Normal werden doch alle Summanden jeweils nach ihren Nullstellen entwickelt?
Sry, falls es offensichtlich ist (aber dann mache ich wenigstens keine Umstände ^^ und ich muss mich sowieso mal mit diesem Forum aktiv auseinandersetzen ;) )- ich tue mich mit diesen Entwicklungen jedenfalls noch recht hart...
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:38 Mi 21.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Entwickeln Sie die Funktion
> [mm]\bruch{2z}{z²+4}[/mm]
Aha ! Im Quelltest sieht man, dass [mm]\bruch{2z}{z^2+4}[/mm] gemeint ist.
> in den Gebieten
> D1 := {z aus C | 0 < |z-2i| < 4} und
> D2 := {z aus C ||z-2i| > 4}
> in einer Laurentreihe um den Punkt [mm]z_0 = 2i[/mm].
> Hallo
> beisammen, danke für die viele Hilfe, die ich hier schon
> erhalten habe.
> Auch habe ich schon viel über die Laurent-Entw. aus dem
> Thread von Nadine (Pacapear) gelernt, aber mir ist
> Folgendes in dieser Aufgabe noch nicht klar:
>
> Mit der Partialbruchzerlegung bekommt man:
>
> [mm]\bruch{2z}{z²+4}=\bruch{1}{z-2i}+\bruch{1}{z+2i}[/mm]
Wieder: [mm]\bruch{2z}{z^2+4}=\bruch{1}{z-2i}+\bruch{1}{z+2i}[/mm]
>
> Nun soll nach Musterlösung die Funktion [mm]\bruch{1}{z+2i}[/mm] um
> [mm]z_0=2i[/mm] entwickelt werden.
> Diese wird dann folgend in D1 und D2 entwickelt.
>
> Nun ist mir etwas unklar (aus Erfahrungen mit anderen
> Aufgaben):
> Warum nur dieser Summand? Normal werden doch alle
> Summanden jeweils nach ihren Nullstellen entwickelt?
Es soll also die Funktion [mm] $f(z):=\bruch{1}{z-2i}+\bruch{1}{z+2i}$ [/mm] in eine Laurentreihe mit Entwicklungspunkt [mm]z_0=2i[/mm] entwickelt werden.
Klar mußt Du Dich nur um den 2. Summanden kümmern ! Warum ? Darum:
[mm] $\bruch{1}{z-2i}$
[/mm]
ist doch schon die Laurententwicklung von [mm] $g(z):=\bruch{1}{z-2i}$ [/mm] um [mm]z_0=2i[/mm] !!!
FRED
>
> Sry, falls es offensichtlich ist (aber dann mache ich
> wenigstens keine Umstände ^^ und ich muss mich sowieso mal
> mit diesem Forum aktiv auseinandersetzen ;) )- ich tue mich
> mit diesen Entwicklungen jedenfalls noch recht hart...
>
> Danke
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo Fred,
danke :) und entschuldige die Fehler -.-
Und ja, habe ich nicht gesehen.. - in Laurent geht es ja schließlich um [mm] $z-z_0$ [/mm] - hier eben 2i.
Zwar sind mir noch ein paar weitere Punkte nicht ganz klar, aber die will ich selber noch etwas durchdenken - wollte mich jedenfalls erstmal bedanken 
Aber falls mir jemand einen Tipp für diesen (wie ich befürchte ebenfalls offensichtlichen)Schritt geben will, wäre ich ebenfalls dankbar:
Man Entwickelt nach Aufgabe um den Punkt [mm] $z_0=2i$ [/mm] an der Grenze 4.
Warum versucht man dann in der Musterlösung bei der geometrischen Reihe auf den Nenner 4i zu kommen?
Also auf z.B.: [mm] §\bruch{1}{1-\bruch{z-z_0}{4i}}§
[/mm]
lG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Mi 21.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> danke :) und entschuldige die Fehler -.-
>
> Und ja, habe ich nicht gesehen.. - in Laurent geht es ja
> schließlich um [mm]z-z_0[/mm] - hier eben 2i.
>
> Zwar sind mir noch ein paar weitere Punkte nicht ganz klar,
> aber die will ich selber noch etwas durchdenken - wollte
> mich jedenfalls erstmal bedanken
>
> Aber falls mir jemand einen Tipp für diesen (wie ich
> befürchte ebenfalls offensichtlichen)Schritt geben will,
> wäre ich ebenfalls dankbar:
>
> Man Entwickelt nach Aufgabe um den Punkt [mm]z_0=2i[/mm] an der
> Grenze 4.
> Warum versucht man dann in der Musterlösung bei der
> geometrischen Reihe auf den Nenner 4i zu kommen?
> Also auf z.B.: [mm]§\bruch{1}{1-\bruch{z-z_0}{4i}}§[/mm]
Wir wollen also $ [mm] f(z):=\bruch{1}{z-2i}+\bruch{1}{z+2i} [/mm] $ im Ringgebiet [mm] D_1 [/mm] in eine Laurentreihe entwickeln.
Diese Entwicklung hat einen Hauptteil und einen Nebenteil. Der Hauptteil ist [mm] \bruch{1}{z-2i} [/mm] und der Nebenteil [mm] \bruch{1}{z+2i} [/mm] ist holomorph auf [mm] D_1 \cup \{ 2i \}= \{z \in \IC: |z-2i|<4\}.
[/mm]
Also entwickelt man [mm] \bruch{1}{z+2i} [/mm] in eine Potenzreihe um [mm] z_0=2i.
[/mm]
Das machmal ( mit Hilfe der geometrischen Reihe)
FRED
>
> lG
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Mit dieser Überlegung
$a\summe_{k=0}^{\infty} (\frac{(z-2i)}{b})^k = \frac{a}{1-\frac{(z-2i)}{b}$ für $ |z-2i| < |b| $
kommt man ja weiter:
Da für $|z-2i| < 4$ gesucht ist - also ohne Betragsstriche bei der 4 - könnte man schließen, dass $|z-2i|$ kleiner 4 oder 4i sein müsste, da beides zum Betrag die 4 ergeben würde.
Trotzdem wird in der Musterlösung nur die 4i verwendet.
:-S
Die Entwicklung an sich ist dann "kein" Problem mehr, sobald ich weiß, was denn b sein soll. (Bisher waren es nunmal einfach immer die Nullstellen... )
Oh man, ich fühl mich noch mieser, wenn ich meine Gedankengänge aufschreibe, statt Fragen zu stellen und dann über die Antworten zu grübeln -.-
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€dit: Dass außer 4 und 4i es noch weitere Möglichkeiten gäbe, und somit meine Argumentation leider nicht gerade prickelnd ist, sehe ich ein >_<
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Hallo Teflonkabel,
> Mit dieser Überlegung
> [mm]a\summe_{k=0}^{\infty} (\frac{(z-2i)}{b})^k = \frac{a}{1-\frac{(z-2i)}{b}[/mm]
> für [mm]|z-2i| < |b|[/mm]
> kommt man ja weiter:
>
> Da für [mm]|z-2i| < 4[/mm] gesucht ist - also ohne Betragsstriche
> bei der 4 - könnte man schließen, dass [mm]|z-2i|[/mm] kleiner 4
> oder 4i sein müsste, da beides zum Betrag die 4 ergeben
> würde.
> Trotzdem wird in der Musterlösung nur die 4i verwendet.
> :-S
>
> Die Entwicklung an sich ist dann "kein" Problem mehr,
> sobald ich weiß, was denn b sein soll. (Bisher waren es
> nunmal einfach immer die Nullstellen... )
>
Es ist doch
[mm]z+2i=\left(z-2i\right)+4i[/mm]
Damit ist
[mm]\bruch{1}{z+2i}=\bruch{1}{4i+\left(z-2i\right)}=\bruch{1}{4i}*\bruch{1}{1-\left(-\bruch
{z-2i}{4i}\right)}[/mm]
> Oh man, ich fühl mich noch mieser, wenn ich meine
> Gedankengänge aufschreibe, statt Fragen zu stellen und
> dann über die Antworten zu grübeln -.-
Gruss
MathePower
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Oh man,
danke...
Hatte Fred schon recht, hätte mehr rumprobieren müssen.
Dies automatisch sehen tue ich leider noch nicht, da ich vor lauter Baustellen die Schaufel nicht seh.
Aber diese Frage ist mir nun klar
Vielen Dank
(Ich komme so auf jeden Fall viel schneller vorwärts bemühe mich aber, nicht zu viele für die Allgemeinheit triviale Anliegen zu stellen)
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