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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:18 Do 06.07.2006 | | Autor: | Milka_Kuh |
| Aufgabe | Gegeben ist f: [mm] \IC [/mm] \ {a,b} [mm] \to \IC, [/mm] f(z) = [mm] \bruch{1}{(z-a)(z-b)} [/mm] mit a,b [mm] \in \IC [/mm] mit 0<|a|<|b|.
Bestimmw die Laurent-Reihe auf:
a) [mm] B_{|a|}(0)
[/mm]
b) [mm] A_{|a|,|b|}(0) [/mm] (= [mm] B_{|b|}(0) [/mm] \ [mm] \overlineB_{|a|}(0))
[/mm]
c) [mm] A_{|b|,\infty}(0) [/mm] |
Hallo,
Ich habe bei der Aufgabe Probleme.
Eine Laurent-Reihe ist definiert als f(z) = [mm] \summe_{n= - \infty}^{\infty} a_{n}(z-a)^{n}
[/mm]
Zunächst habe ich mit der Partialbruchzerlegung die Funktion zerlegt:
f(z) = [mm] \bruch{1}{(z-a)(z-b)}=... [/mm] = [mm] \bruch{1}{(a-b)(z-a)}+ \bruch{1}{(b-a)(z-b)}
[/mm]
Die Koeffizienten der Laurent-Reihe sind eindeutig bestimmt durch:
[mm] a_{n}= \bruch{1}{2i\pi} \integral_{\partial B_{s}(a)}^{}{ \bruch{f(s)}{(s-a)^{n+1}} ds}
[/mm]
Wenn ich jetzt für die Teilaufgabe a) diese Formel drauf anwende, komme ich auf nichts vernünftiges. Ich weiß aber auch nicht, ob ich auf der richtigen Spur bin, der zu Lösung führt:
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2i\pi} \integral_{\partial B_{|a|}(0)}^{}{ \bruch{f(s)}{(s-a)^{n+1}} ds} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2i\pi} \integral_{\partial B_{|a|}(0)}^{}{ \bruch{1}{(a-b)(s-a)^{n+2}}+\bruch{1}{(b-a)(s-a)^{n+1}(s-b)} ds} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2i\pi} \integral_{\partial B_{|a|}(0)}^{}{ \bruch{1}{(a-b)(s-a)^{n+2}}ds}+\bruch{1}{2i\pi} \integral_{\partial B_{|a|}}^{}{\bruch{1}{(b-a)(s-a)^{n+1}(s-b)} ds}
[/mm]
Jetzt muss ich eine Wegparametrisierung finden; ich habe einfach den Weg [mm] \mu [/mm] von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] genommen:
[mm] \bruch{1}{2i\pi} \integral_{0}^{2\pi}{ \bruch{1}{(a-b)(\mu(t)-a)^{n+2}}(n+2)(\mu(t)-a)^{n+1}\mu'(t)dt}+\bruch{1}{2i\pi} \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{(b-a)(\mu(t)-a)^{n+1}(\mu(t)-b)}(\mu'(t)(\mu(t)-a)^{n+1}+(n+1)(\mu(t)-a)^{n}\mu'(t)(\mu(t)-b) )dt}
[/mm]
Kann mir bitte jemand weiterhelfen?
Danke!
milka
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Hallo,
inzwischen habe ich die Aufgabe versucht, weiterauszuarbeiten. Ich bin nun ganz anders vorgegangen wie beim 1.Posting.
Nach der Partialbruchzerlegung gilt ja: f(z)= [mm] \bruch{1}{a-b}(z-a)^{-1}- \bruch{1}{a-b}(z-b)^{-1}
[/mm]
Da steckt zumindest beim 1.Summanden schon mal ein Teil der Laurent-Reihe f(z)= [mm] \summe_{n=-\infty}^{\infty} a_{n}(z-a)^{n} [/mm] drin:
Also kann ich schreiben:
f(z)= [mm] \bruch{1}{a-b}(z-a)^{-1}- \bruch{1}{a-b}(z-b)^{-1} [/mm] = [mm] \summe_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}(z-a)^{n}-\summe_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}(z-b)^{n} [/mm] mit [mm] a_{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a-b} [/mm] und [mm] a_{n} [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \not= [/mm] -1
Nun versteh ich aber nicht ganz, wie die bei a),b) und c) angegebenen Kreisscheiben bzw. Ringe in diese Reihe miteinfließen. ICh vermute, dass es auf allen 3 dieselbe ist?? Kann mir da jemand weiterhelfen, wie ich die angegebenen Gebiete einbaue in die Reihe.
Vielen Dank,
milka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Di 11.07.2006 | | Autor: | PeterB |
Hallo Milka,
ich versuche es mal:
zunächst zu deinen Ansätzen: Der zweite ist zwar richtig, leider aber für eine andere Aufgabe. Man könnte natürlich auch die Laurent-Entwicklungen um a und um b bestimmen würde man als vernünftiger Mathematiker wohl auch tun, aber die Aufgabe ist nun mal anders gestellt. Du sollst a) die LE auf einem Kreis um 0 bestimmen = der Taylorentwicklung, b) auf dem Kreisring um 0 mit den Radien |a| und |b|, und c) auf dem Komplement eines Kreises. Alle diee Enwicklungen dürfen daher nur Potenzen von z (mit Koeffitienten) enthalten. (nicht von z-a oder z-b).
Dein erster Ansatz ist wohl nicht falsch, aber die Integrale sollten in dem entsprechenden Gebiet sein, und sie tatsächlich aus zu rechnen ist wohl ziemlich hart.
Ich würde folgender Maßen vorgehen:
Erst mal in Partialbrüche zerlegen, das hast du ja auch schon gemacht:
f(z)= $ [mm] \bruch{1}{a-b}(z-a)^{-1}- \bruch{1}{a-b}(z-b)^{-1} [/mm] $
Dann bestimmen wir jetzt die Laurent Reihen für die beien Summanden. Beim ersten müssen wir zwischen |z|<|a| und |z|>|a| unterscheiden, da bei a ein Pol ist, beim zweiten genau so für b. Um die Aufgabe zu lösen müssen wir dann für a) die beiden inneren Laurent-Entwicklungen addieren, für c) die beiden Entwicklngen für die äußeren z und bei b) die Entwicklung des ersten Summanden für äußere z und des zweiten Summanden für innere z.
Wie bestimmen wir nun die Entwicklungen für beide Summanen? Nun ich mache es mal für den ersten vor: Die Entwicklung für |z|<|a| ist sehr einfach, da es sich im wesentlichen um die geometrische Reihe handelt:
$ [mm] \bruch{1}{a-b}(z-a)^{-1}=\summe_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}(z)^{n}$ [/mm] mit [mm] $a_n=0$ [/mm] für <0 und [mm] $a_n=-(a-b)^{-1}*a^{-n-1}$ [/mm] für [mm] $n\ge [/mm] 0$.
Wenn dir die geometrische Reihe in dieser Form nicht vertraut ist, überprüfst du das leicht, indem du auf beiden Seiten mit (z-a) mal nimmst. (Rechenfehler sind natürlich nicht ausgeschlossen!) Diese Reihe konvergiert auch für |z|<|a|, was wir ja auch so erwarten. Wie ist das mit der Entwicklung für die äußeren z? Nun hier wenden wir den Trick an, den man in der Funktionentheorie immer anwendet: wir substituieren z durch [mm] $\frac [/mm] 1 w $ entwickeln dass für [mm] $|w|<\frac [/mm] 1 {|a|}$, und substituieren dann wieder zurück:
$ [mm] \bruch{1}{a-b}(z-a)^{-1}= \bruch{1}{a-b}\frac{w}{1-aw}=\summe_{n=-\infty}^{\infty}b'_{n}(w)^{n}=\summe_{n=-\infty}^{\infty}b_{n}(z)^{n}$ [/mm] mit [mm] $b_n:=b'_{-n}:=0$ [/mm] für [mm] $n\ge [/mm] 0$ und [mm] $b_n:=b_{-n}:=(a-b)^{-1}*a^{-n-1}$ [/mm] für n<0. Wobei ich wieder die geometrische Reihe verwendet habe. (Sie ist schon brutal praktisch!). Fertig!
Ich hoffe, dass das diesmal verständlich war, ich hab da ein kleines Erklärungs Problem.
Grüße
Peter
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Hallo Peter,
vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Ich hab nicht alles verstanden, was du da alles meinst. Das hört sich alles für total perfekt an, vll. liegt es daran, dass ich deinen Text mind. 5 mal durchgelesen habe, bis ich einigermaßen verstanden habe, was du meinst.
Die Aufgabe scheint ganz schön schwer zu sein...
> Wie bestimmen wir nun die Entwicklungen für beide Summanen?
> Nun ich mache es mal für den ersten vor: Die Entwicklung
> für |z|<|a| ist sehr einfach, da es sich im wesentlichen um
> die geometrische Reihe handelt:
>
> [mm]\bruch{1}{a-b}(z-a)^{-1}=\summe_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}(z)^{n}[/mm]
> mit [mm]a_n=0[/mm] für <0 und [mm]a_n=-(a-b)^{-1}*a^{-n-1}[/mm] für [mm]n\ge 0[/mm].
Wie kommst du auf die obige Gleichheit? Ich komm auf keine geom.Reihe, selbst wenn ich (z-a) multipliziere, erhalte ich: [mm] \bruch{1}{a-b} [/mm] = [mm] \summe_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}(z)^{n}(z-a)
[/mm]
Ich erkenne keine geom. Reihe, und wie kommst du auf [mm] a_n=-(a-b)^{-1}*a^{-n-1}?
[/mm]
Soweit ich das jetzt verstanden habe, muss ich bei Aufgabe
a) den Fall |z| < |a| und |z| < |b|
b) den Fall |z| > |a| und |z| < |b| und
c) den Fall |z| > |a| und |z| >|b|
betrachten, oder?
Danke, milka
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:34 Mi 12.07.2006 | | Autor: | PeterB |
Hallo,
Sorry war gestern Abend noch weg, also:
Meine Schreibweise war etwas irreführend, die Klammern um z sollten natürlich weg, und ich ersetze mal die [mm] $a_n$ [/mm] und bekomme:
$ [mm] \bruch{1}{a-b}(z-a)^{-1}=\summe_{n=0}^{\infty}-(a-b)^{-1}a^{-n-1}z^{n} [/mm] $
Wenn ich jetzt beide Seiten mit (z-a) multipliziere bekomme ich:
$ [mm] \bruch{1}{a-b}=\summe_{n=0}^{\infty}-(a-b)^{-1}(a^{-(n+1)}z^{n+1} -a^{-n}z^{n})$
[/mm]
Auf der rechten Seite also eine klassische Teleskobsumme. (Ich habe den einen Exponenten umgeammert, um es noch deutlicher zu machen.) und damit, ist die rechte Seite für [mm] |\frac [/mm] z a|<1 genau die linke Seite. Der zweit Teil geht genauso, nur mit dem [mm] $w=z^{-1}$ [/mm] Trick.
Güße
Peter
Ich hatte natürlich mal wieder mit den Vorzeichen geschlampt. Jetzt stimmt es aber.
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