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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 So 13.05.2012 | | Autor: | drossel |
| Aufgabe | Geben Sie die Laurententwicklung der Funktionen
i) [mm] f(z)=\frac{1}{z(z^2+1)} [/mm] auf dem Kreisring K={z [mm] \in \IC; 1<|z|<\infty [/mm] }
[mm] ii)f(z)=\frac{1}{z(z^2+1)(z-2)} [/mm] auf dem Kreisring K={z [mm] \in \IC; [/mm] 1<|z|<2 }
an |
Hi ich habe mir schon einige Beispiele angeschaut, aber irgentwie krieg ich das nicht hin
für nur i) die Singularitäten sind [mm] z_1=0, z_2=i [/mm] und [mm] z_3=-i [/mm] und bei ii), die Funktion unterscheidet sich im Nenner noch um ein (z-2), vielleicht hat man dann nicht mehr so viel Arbeit, wenn man i) hat?.
zur i) wie gehe ich vor , Partialbruchzerlegung? Oder lieber ohne wie bei dem Beispiel [mm] f(z)=\frac{1}{(z-i)(z-1)}? [/mm] http://www.math.tugraz.at/~lichtenegger/kompan.pdf auf Seite 51
Ich habe da noch garkein Gefühl für habs noch nie gemacht und bin im Rechnen leider nicht so gut, würde mich aber über Hilfe sehr freuen!
Mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 So 13.05.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
du musst erst einmal Partialzerlegung machen. Und dann musst du die Nenner so umformen, dass du die Geometrische Reihe benutzen kannst. Dafür musst du dir überlegen, dass du aus |z|>1 folgern kannst, dass [mm] |\frac{i}{z}|<1 [/mm] gilt.
Viel Erfolg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 So 13.05.2012 | | Autor: | drossel |
danke, also ich bekomme hier sowas unpraktisches raus [mm] f(z)=\frac{1}{z(z^2+1)}=\frac{1}{z}-\frac{z}{z^2+1} [/mm] ich schau mal weiter, wie ich das Umformen kann...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 So 13.05.2012 | | Autor: | teo |
> danke, also ich bekomme hier sowas unpraktisches raus
> [mm]f(z)=\frac{1}{z(z^2+1)}=\frac{1}{z}-\frac{z}{z^2+1}[/mm] ich
> schau mal weiter, wie ich das Umformen kann...
Ja nur musst du [mm] \frac{z}{z^2+1} [/mm] auch noch zerlegen! Und dann unten z ausklammern...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 So 13.05.2012 | | Autor: | drossel |
okay also ich hab raus [mm] f(z)=\frac{1}{z(z^2+1)}=\frac{1}{z}-\frac{z}{z^2+1}=\frac{1}{z}-\frac{1}{2}\frac{1}{z+i}-\frac{1}{2}\frac{1}{z-i}=\frac{1}{z}-\frac{1}{2z}\frac{1}{1+\frac{i}{z}}-\frac{1}{2z}\frac{1}{1-\frac{i}{z}} [/mm] und jetzt für [mm] \frac{1}{1-\frac{i}{z}}=\summe_{n=0}^{\infty}(\frac{i}{z})^n [/mm] für [mm] |\frac{i}{z}|<1 [/mm] also |i|<|z| was wahr ist, da |z|>1 und und |i|=1, ist das bisher so okay? dann : kann man das für [mm] \frac{1}{1+\frac{i}{z}} [/mm] auch so machen indem man [mm] \frac{1}{1-\frac{-i}{z}} [/mm] schreibt .
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 So 13.05.2012 | | Autor: | teo |
> okay also ich hab raus
> [mm]f(z)=\frac{1}{z(z^2+1)}=\frac{1}{z}-\frac{z}{z^2+1}=\frac{1}{z}-\frac{1}{2}\frac{1}{z+i}-\frac{1}{2}\frac{1}{z-i}=\frac{1}{z}-\frac{1}{2z}\frac{1}{1+\frac{i}{z}}-\frac{1}{2z}\frac{1}{1-\frac{i}{z}}[/mm]
> und jetzt für
> [mm]\frac{1}{1-\frac{i}{z}}=\summe_{n=0}^{\infty}(\frac{i}{z})^n[/mm]
> für [mm]|\frac{i}{z}|<1[/mm] also |i|<|z| was wahr ist, da |z|>1
> und und |i|=1, ist das bisher so okay?
Ja genau und [mm] \frac{1}{1+\frac{i}{z}} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-\frac{i}{z})^n
[/mm]
Das [mm] z^{-1} [/mm] bleibt erst mal vorne stehn. Das wird sich später wegkürzen. Um dir die Rechnung einfacher zu machen (ich hab mich auch gerade verrechnet) fasse die beiden Summen gleich zusammen und überlege dir wie du die [mm] \frac{1}{2} [/mm] davor gleich wegbekommst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 So 13.05.2012 | | Autor: | drossel |
vielen Dank für deine Hilfe! also will jetzt zur entgültigen Darstellung der Laurentreihe kommen und haben bisher
[mm] \frac{1}{z}-\frac{1}{2z}\frac{1}{1+\frac{i}{z}}-\frac{1}{2z}\frac{1}{1-\frac{i}{z}}=\frac{1}{z}-\frac{1}{2z}( \summe_{n=0}^{\infty}(\frac{i}{z})^n +\summe_{n=0}^{\infty}(\frac{-i}{z})^n [/mm] )
meinst du das so dann noch weiter zusammenfassen (weil beide Summen konvergent ): [mm] \frac{1}{z}-\frac{1}{2z} \summe_{n=0}^{\infty}((\frac{i}{z})^n +(\frac{-i}{z})^n [/mm] )? Nur für gerade n gleichen die sich aber..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 So 13.05.2012 | | Autor: | teo |
> vielen Dank für deine Hilfe! also will jetzt zur
> entgültigen Darstellung der Laurentreihe kommen und haben
> bisher
> [mm]\frac{1}{z}-\frac{1}{2z}\frac{1}{1+\frac{i}{z}}-\frac{1}{2z}\frac{1}{1-\frac{i}{z}}=\frac{1}{z}-\frac{1}{2z}( \summe_{n=0}^{\infty}(\frac{i}{z})^n +\summe_{n=0}^{\infty}(\frac{-i}{z})^n[/mm]
> )
> meinst du das so dann noch weiter zusammenfassen (weil
> beide Summen konvergent ): [mm]\frac{1}{z}-\frac{1}{2z} \summe_{n=0}^{\infty}((\frac{i}{z})^n +(\frac{-i}{z})^n[/mm]
> )? Nur für gerade n gleichen die sich aber..
einfach weiter machen 
[mm]\frac{1}{z}-\frac{1}{2z} \summe_{n=0}^{\infty}((\frac{i}{z})^n +(\frac{-i}{z})^n = z^{-1}-\frac{1}{2}z^{-1}\summe_{n=0}^{\infty}2(\frac{i}{z})^{2n}=...?[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 So 13.05.2012 | | Autor: | drossel |
Sry wenn ich mich so blöd anstelle, in sowas bin ich echt nicht fitt.. [mm] \frac{1}{z}-\frac{1}{2z} \summe_{n=0}^{\infty}((\frac{i}{z})^n +(\frac{-i}{z})^n [/mm] = [mm] z^{-1}-\frac{1}{2}z^{-1}\summe_{n=0}^{\infty}2(\frac{i}{z})^{2n} [/mm] diese Gleichheit hätte ich jetzt nicht erkannt.. also hoffe das ist jetzt kein Blödsinn was ich schreibe [mm] \frac{1}{z}-\frac{1}{2z} \summe_{n=0}^{\infty}((\frac{i}{z})^n +(\frac{-i}{z})^n [/mm] = [mm] z^{-1}-\frac{1}{2}z^{-1}\summe_{n=0}^{\infty}2(\frac{i}{z})^{2n}= z^{-1}-z^{-1}\summe_{n=0}^{\infty}(\frac{i}{z})^{2n}= z^{-1}-z^{-1}\summe_{n=0}^{\infty}(i)^{2n}z^{-2n}= z^{-1}-z^{-1}\summe_{n=-\infty}^{0}(i)^{-2n}z^{2n} [/mm] Das wäre dann aber nur der Hauptteil der Laurentreihe oder..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 So 13.05.2012 | | Autor: | teo |
> Sry wenn ich mich so blöd anstelle, in sowas bin ich echt
> nicht fitt.. [mm]\frac{1}{z}-\frac{1}{2z} \summe_{n=0}^{\infty}((\frac{i}{z})^n +(\frac{-i}{z})^n[/mm]
> =
> [mm]z^{-1}-\frac{1}{2}z^{-1}\summe_{n=0}^{\infty}2(\frac{i}{z})^{2n}[/mm]
> diese Gleichheit hätte ich jetzt nicht erkannt.. also
> hoffe das ist jetzt kein Blödsinn was ich schreibe
> [mm]\frac{1}{z}-\frac{1}{2z} \summe_{n=0}^{\infty}((\frac{i}{z})^n +(\frac{-i}{z})^n[/mm]
> =
> [mm]z^{-1}-\frac{1}{2}z^{-1}\summe_{n=0}^{\infty}2(\frac{i}{z})^{2n}= z^{-1}-z^{-1}\summe_{n=0}^{\infty}(\frac{i}{z})^{2n}= z^{-1}-z^{-1}\summe_{n=0}^{\infty}(i)^{2n}z^{-2n}= z^{-1}-z^{-1}\summe_{n=-\infty}^{0}(i)^{-2n}z^{2n}[/mm]
ja das stimmt schon, geht aber noch weiter! was ist denn [mm] (i)^2 [/mm] und entsprechend [mm] ((i)^2)^n [/mm] ? und dann stört dich noch das [mm] z^{-1} [/mm] vor der Summe, das du einfach reinziehen kannst also hast du dann [mm] z^{-2n-1} [/mm] stehen und probier mal n=0 aus dann sollte dir was auffallen und du dann bist du fertig
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 So 13.05.2012 | | Autor: | drossel |
achso dann bleibt da übrig [mm] z^{-1}-\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^nz^{-2n-1} [/mm] und wenn ich n=0 rechne hebt sich [mm] z^{-1} [/mm] weg, die Summe geht dann ab n=1 los, muss man dann auch eine Indexverschiebung im Summanden machen oder bleibt das dann so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 So 13.05.2012 | | Autor: | teo |
> achso dann bleibt da übrig
> [mm]z^{-1}-\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^nz^{-2n-1}[/mm] und wenn ich
> n=0 rechne hebt sich [mm]z^{-1}[/mm] weg, die Summe geht dann ab n=1
> los, muss man dann auch eine Indexverschiebung im Summanden
> machen oder bleibt das dann so?
Das bleibt dann so du solltest nur, wie dus vorhin auch schon gemacht hast die Summe noch "umdrehn" also [mm] \summe_{n=-\infty}^{-1}(-1)^{-n}z^{2n-1}
[/mm]
versuch dich mal an der zweiten Aufgabe ich bin mir recht sicher, dass die Lösung, die ich gepostet habe stimmt.
Viele Grüße
Schönen Abend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 So 13.05.2012 | | Autor: | teo |
Ich habe bei ii) auch wieder Partialbruchzerlegung gemacht. Das ist allerdings a bissl aufwendiger. Naja du kannst ja mal gucken ich habe raus:
[mm]f(z)=\summe_{n=-\infty}^{-1}(-1)^{-n}z^{2n-1} + \summe_{n=0}^{\infty}-(\frac{1}{2})^{n+2}z^n[/mm]
Ich finde es sieht richtig aus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:38 So 13.05.2012 | | Autor: | drossel |
Ah okay , also nochmals vielen vielen vielen Dank!!!Bin wirklich froh! Ich werds dann auch durchrechnen und das dann noch Posten . Dir auch noch einen schönen Abend.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 So 13.05.2012 | | Autor: | drossel |
Ich hätte mal eine kleine Frage, ich habe nun raus
[mm] f(z)=\frac{1}{z(z^2+1)(z-2)}=\frac{-1}{2}z^{-1}+\frac{1}{10z}\frac{1}{1-\frac{2}{z}}+\frac{1}{10z}\frac{2-i}{1-\frac{-1}{z}}+\frac{1}{10z}\frac{2+i}{1-\frac{1}{z}}. [/mm] Was kann man machen in dem Fall [mm] \frac{1}{1-\frac{2}{z}} [/mm] , damit man da mit der geometrischen Reihe arbeiten kann, muss |2|<|z| sein, aber hier ist |2|>|z| nach Vor., was macht man da? z wieder einklammern und da noch irgentwie anders umformen? Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 So 13.05.2012 | | Autor: | teo |
> Ich hätte mal eine kleine Frage, ich habe nun raus
>
> [mm]f(z)=\frac{1}{z(z^2+1)(z-2)}=\frac{-1}{2}z^{-1}+\frac{1}{10z}\frac{1}{1-\frac{2}{z}}+\frac{1}{10z}\frac{2-i}{1-\frac{-1}{z}}+\frac{1}{10z}\frac{2+i}{1-\frac{1}{z}}.[/mm]
> Was kann man machen in dem Fall [mm]\frac{1}{1-\frac{2}{z}}[/mm] ,
> damit man da mit der geometrischen Reihe arbeiten kann,
> muss |2|<|z| sein, aber hier ist |2|>|z| nach Vor., was
> macht man da? z wieder einklammern und da noch irgentwie
> anders umformen? Lg
Hallo,
also: ich habe da schon eine ganz andere Partialbruchzerlegung raus. Nämlich: [mm] f(z)= -\frac{1}{2z}+\frac{1}{4}\frac{1}{z(1-(-\frac{i}{z}))}+\frac{1}{4}\frac{1}{z(1-(\frac{i}{z}))}+\frac{1}{2}\frac{1}{-2(1-(\frac{z}{2})}[/mm]
Du siehst hier am Ende schon was ich aus [mm]|z|<2[/mm] gemacht habe. Du musst ja für die Geometrische Reihe immer ...<1 haben. Also ist das in diesem Fall andersrum.
Wenn du das dann hast. Dann gehst du für die ersten Drei Teile genauso vor wie bei i) den letzten Teil formst du separat um, das ist dann der Nebenteil.
Viel Erfolg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:44 So 13.05.2012 | | Autor: | drossel |
achso okay danke, dann weiss ich jetzt , wie man vorgeht. Hmm ich komme bei der PBZ immer irgendwie auf das Ergebnis, was ich habe. Aber wenigstens hab ich was dazugelernt.
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