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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Laurententwicklung um unendlic
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Laurententwicklung um unendlic: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:12 Mi 30.05.2012
Autor: nhard

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Aufgabe
Gegeben ist die auf $\mathbb{C}\backslash\{0,i\}$ holomorphe Funktion
$$f(z)=\frac{1}{z(z-i)^2}$$
Ermitteln sie die Laurentreihe um das Gebiet $K_{\infty}(1,\infty):=\{z:0<|z|<\infty\}$ um den Punkt $z_0=\infty$

Hallo :)

Ich wüsste gerne, wie man diese Aufgabe richtig löst.
Meine Idee ist:
Ersetze $\xi=\bruch{1}{z}$. Dann müsste man doch die Funtion jetzt um $\xi=0$ entwickeln oder?
Das wäre dann bei mir:
$\bruch{1}{z(z-i)^2}&=\xi\bruch{1}{(\bruch{1}{\xi}-i)^2}=\xi^3\bruch{1}{(1-i\xi)^2}=\xi^3\left(\sum_{n=0}^{\infty}(i\xi)^n}\right)^2$
$=\xi^3\sum_{n,m=0}^{\infty}\left(\xi i\right)^{n+m}=\xi^3\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)(i\xi)^k=\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)i^k\xi^{k+3}$

Ist das soweit richtig? Kann ich vor allem das Quadrat der Summe so umschreiben? Ich würde jetzt eigentlich nur noch das $\xi$ durch $z$ ersetzen..

Lieben Dank schonmal für euere Mühe :)

        
Bezug
Laurententwicklung um unendlic: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:43 Do 31.05.2012
Autor: fred97


> Gegeben ist die auf [mm]\mathbb{C}\backslash\{0,i\}[/mm] holomorphe
> Funktion
>  [mm]f(z)=\frac{1}{z(z-i)^2}[/mm]
>  Ermitteln sie die Laurentreihe um das Gebiet
> [mm]K_{\infty}(1,\infty):=\{z:0<|z|<\infty\}[/mm]


Du meinst sicher [mm]K_{\infty}(1,\infty):=\{z:1<|z|<\infty\}[/mm]


> um den Punkt
> [mm]z_0=\infty[/mm]
>  Hallo :)
>  
> Ich wüsste gerne, wie man diese Aufgabe richtig löst.
>  Meine Idee ist:
>  Ersetze [mm]\xi=\bruch{1}{z}[/mm]. Dann müsste man doch die
> Funtion jetzt um [mm]\xi=0[/mm] entwickeln oder?
>  Das wäre dann bei mir:
>  
> [mm]\bruch{1}{z(z-i)^2}&=\xi\bruch{1}{(\bruch{1}{\xi}-i)^2}=\xi^3\bruch{1}{(1-i\xi)^2}=\xi^3\left(\sum_{n=0}^{\infty}(i\xi)^n}\right)^2[/mm]
>  [mm]=\xi^3\sum_{n,m=0}^{\infty}\left(\xi i\right)^{n+m}=\xi^3\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)(i\xi)^k=\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)i^k\xi^{k+3}[/mm]
>  
> Ist das soweit richtig?


Ja



> Kann ich vor allem das Quadrat der
> Summe so umschreiben?


Ja, mit dem Cauchyprodukt kommt das raus.

Die Entwicklong gilt für [mm] |\xi|<1 [/mm]


> Ich würde jetzt eigentlich nur noch
> das [mm]\xi[/mm] durch [mm]z[/mm] ersetzen..

Nein, durch 1/z

FRED

>  
> Lieben Dank schonmal für euere Mühe :)


Bezug
                
Bezug
Laurententwicklung um unendlic: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:19 Do 31.05.2012
Autor: nhard

Vielen Dank für die Antwort!
Das es sowas wie das Cauchyprodukt gibt vergess ich ja so schnell....

Bezug
                        
Bezug
Laurententwicklung um unendlic: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:05 Do 31.05.2012
Autor: fred97


> Vielen Dank für die Antwort!
>  Das es sowas wie das Cauchyprodukt gibt vergess ich ja so
> schnell....

Wie hast Du denn [mm] (\sum_{n=0}^{\infty}(i\xi)^n)^2 [/mm] berechnet ?

FRED


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