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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:08 Mi 09.07.2008 | | Autor: | smilay |
Hallo,
ich soll die folgende Funktion in eine Laurentreihe entwickeln:
[mm] f(z)= {2}/{ (z^2 -4z+3)}[/mm]
Die Partialbruchentwicklung kriege ich hin mein Problem ist es dann weiter zu entwickeln, ich soll den Grenzwert der geometrischen Reihe anwenden...
Vielen Dank für die Hilfe
Grüße
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:42 Mi 09.07.2008 | | Autor: | jarjar2008 |
In diesem Fall gibts aber 3 Laurentreihen...
Fraglich ist jetzt in welchen Konvergenzradius die gefragte Laurentreihe haben soll!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:04 Mi 09.07.2008 | | Autor: | smilay |
Erst mal danke, so weit war ich schon..
das Problem dabei ist dass ich keinen Konvergenzradius gegeben habe und ich somit drei gleiche Laurentreihen rausbekomme, wo ich mir aber nicht sicher bin weil ich den Grenzwert der geometr. Reihe ja nur für z<1 anwenden darf??
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> Hallo,
> ich soll die folgende Funktion in eine Laurentreihe
> entwickeln:
> [mm]f(z)= {2}/{ (z^2 -4z+3)}[/mm]
>
> Die Partialbruchentwicklung kriege ich hin mein Problem ist
> es dann weiter zu entwickeln, ich soll den Grenzwert der
> geometrischen Reihe anwenden...
Du schreibst nicht klar, um welchen Punkt [mm] $z_0$ [/mm] denn die Laurentreihe entwickelt werden soll. Ich nehme einmal [mm] $z_0=0$ [/mm] an. Da [mm] $z_1=1$ [/mm] und [mm] $z_2=3$ [/mm] die Polstellen von $f(z)$ sind, gibt es bei Entwicklung um [mm] $z_0=0$ [/mm] eine Potenzreihe für $|z|<1$, eine erste Laurentreihe für $1<|z|<3$ und eine zweite Laurentreihe für $3<|z|$.
Für die Entwicklung die erste Laurentreihe beginnst Du so:
[mm]f(z)=\frac{2}{z^2-4z+3}=\frac{1}{z-3}-\frac{1}{z-1}=-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-\frac{z}{3}}+\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{z}}=\ldots[/mm]
Die geometrische Reihe für den ersten Bruchterm konvergiert für $|z/3|<1$, d.h. für $|z|<3$, diejenige für den zweiten Bruchterm konvergiert wegen [mm] $|1/z|<1\Leftrightarrow [/mm] 1<|z|$ für $1<|z|$. Insgesamt konvergieren die zu einer einzigen Laurentreihen kombinierten geometrischen Reihen für $1<|z|<3$.
Analog gehst Du für die zweite Laurentreihe vor:
[mm]f(z)=\frac{2}{z^2-4z+3}=\frac{1}{z-3}-\frac{1}{z-1}=\frac{1}{z}\cdot \frac{1}{1-\frac{3}{z}}+\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{z}}=\ldots[/mm]
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