Laurentreihen bestimmen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:55 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Diary |
| Aufgabe | Es ist [mm] f(z)=\bruch{2}{z*(z^2+1)}
[/mm]
Man soll nun die Laurentreihen in den folgenden Bereichen bestimmen:
[mm] A=\{z \in \IC | 0<|z|<\bruch{1}{2} \}
[/mm]
[mm] B=\{z \in \IC | 0<|z-i|<1 \}
[/mm]
[mm] C=\{z \in \IC | 2<|z-i|<3 \} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
es geht um obige Aufgabe.
Ich habe mir dazu bisher Folgendes überlegt:
Partialbruchzerlegung von f:
[mm] f(z)=\bruch{2}{z} [/mm] - [mm] \bruch{1}{z+i} [/mm] - [mm] \bruch{1}{z-i}
[/mm]
Es ist 0 ein Pol 1. Ordnung von f. Daher gilt für die Laurenkoeffizienten
[mm] a_{n}=0 \forall n\le2 [/mm] (Das kann man aus der Formel für die Laurentkoeffizienten ablesen)
[mm] a_{-1}=Res_{0}f=2 [/mm] (das braucht man glaube ich nicht unedingt so ausrechnen)
Dann ist [mm] \bruch{2}{z} [/mm] gerade der Hauptteil der Laurentreihe (also der Teil von -1 bis [mm] -\infty)
[/mm]
Es bleibt also noch [mm] \bruch{1}{z+i} [/mm] - [mm] \bruch{1}{z-i} [/mm] als Nebenteil.
Ich habe jeden Bruch einzeln in eine geometrische Reihe umgeformt. Dabei habe ich ausgenutzt, dass auf A gilt: [mm] |z|<\bruch{1}{2}
[/mm]
Ich bekomme dann:
[mm] \bruch{1}{z+i}=...=-i*\summe_{k=0}^{\infty}(iz)^k
[/mm]
[mm] \bruch{1}{z-i}=...=i*\summe_{k=0}^{\infty}(-iz)^k
[/mm]
Das setzte ich nun alles zusammen und erhalte:
[mm] f(z)=\bruch{2}{z} [/mm] + [mm] i*\summe_{k=0}^{\infty}z^k*(i^k-(-i)^k)=\summe_{k=-1}^{\infty}z^k*i*(i^k-(-i)^k)
[/mm]
Das wäre dann die Laurentreihe in A.
Zu B:
Wieder wie bei A:
Es ist i ein Pol 1. Ordnung von f. Daher gilt für die Laurenkoeffizienten
[mm] a_{n}=0 \forall n\le2 [/mm]
[mm] a_{-1}=Res_{i}f=-1
[/mm]
Dann ergibt sich, dass - [mm] \bruch{1}{z-i} [/mm] der Hauptteil der Laurentreihe ist.
Jetzt müsste ich noch [mm] \bruch{2}{z} [/mm] - [mm] \bruch{1}{z+i} [/mm] entwickeln.
Ich habe geschafft [mm] \bruch{1}{z+i} [/mm] in eine geometrische Reihe auf B zu entwickeln. Nur leider bleibt das [mm] \bruch{2}{z} [/mm] immer noch stehen.
Hat jemand hier eine Idee, wie ich das anders angehen sollte?
Dann zur Menge C:
Es gilt |z|>1 auf C, also [mm] |\bruch{1}{z}|<1.
[/mm]
Hier habe ich wieder das gleiche Problem. Ich habe 3 Summanden. Wenn ich einen für den Hauptteil und den anderen für den Nebenteil hernehme, bleibt mir der Dritte übrig. Ich hab mir dann eine andere Darstellung für f gesucht, nämlich:
[mm] f(z)=\bruch{i}{z}*(\bruch{1}{z+i} [/mm] - [mm] \bruch{1}{z-i})
[/mm]
Dann habe ich wieder in geometrische Reihen entwickelt:
[mm] \bruch{1}{z+i}=...=\bruch{1}{z}*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{-i}{z})^k [/mm] und
[mm] -\bruch{1}{z-i}=...=\bruch{-1}{z}*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{i}{z})^k
[/mm]
Eine Reihe kann ich dann noch von 0 bis [mm] -\infty [/mm] laufen lassen. Beim Zusammensetzen hab ich dann aber das Problem, dass Eine der beiden Reihen bei -1 und nicht bei 0 beginnen lassen muss. Das gelingt mir aber noch nicht.
So, ich hoffe dass ich mich jetzt nicht vertippt habe und ich freue mich auf Ratschläge!
Liebe Grüße,
Diary
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Hallo Diary,
> Es ist [mm]f(z)=\bruch{2}{z*(z^2+1)}[/mm]
> Man soll nun die Laurentreihen in den folgenden Bereichen
> bestimmen:
> [mm]A=\{z \in \IC | 0<|z|<\bruch{1}{2} \}[/mm]
> [mm]B=\{z \in \IC | 0<|z-i|<1 \}[/mm]
>
> [mm]C=\{z \in \IC | 2<|z-i|<3 \}[/mm]
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo zusammen,
>
> es geht um obige Aufgabe.
> Ich habe mir dazu bisher Folgendes überlegt:
> Partialbruchzerlegung von f:
> [mm]f(z)=\bruch{2}{z}[/mm] - [mm]\bruch{1}{z+i}[/mm] - [mm]\bruch{1}{z-i}[/mm]
>
> Es ist 0 ein Pol 1. Ordnung von f. Daher gilt für die
> Laurenkoeffizienten
> [mm]a_{n}=0 \forall n\le2[/mm] (Das kann man aus der Formel für
> die Laurentkoeffizienten ablesen)
> [mm]a_{-1}=Res_{0}f=2[/mm] (das braucht man glaube ich nicht
> unedingt so ausrechnen)
> Dann ist [mm]\bruch{2}{z}[/mm] gerade der Hauptteil der
> Laurentreihe (also der Teil von -1 bis [mm]-\infty)[/mm]
>
> Es bleibt also noch [mm]\bruch{1}{z+i}[/mm] - [mm]\bruch{1}{z-i}[/mm] als
> Nebenteil.
> Ich habe jeden Bruch einzeln in eine geometrische Reihe
> umgeformt. Dabei habe ich ausgenutzt, dass auf A gilt:
> [mm]|z|<\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Ich bekomme dann:
> [mm]\bruch{1}{z+i}=...=-i*\summe_{k=0}^{\infty}(iz)^k[/mm]
> [mm]\bruch{1}{z-i}=...=i*\summe_{k=0}^{\infty}(-iz)^k[/mm]
> Das setzte ich nun alles zusammen und erhalte:
> [mm]f(z)=\bruch{2}{z}[/mm] +
> [mm]i*\summe_{k=0}^{\infty}z^k*(i^k-(-i)^k)=\summe_{k=-1}^{\infty}z^k*i*(i^k-(-i)^k)[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Das wäre dann die Laurentreihe in A.
>
> Zu B:
> Wieder wie bei A:
> Es ist i ein Pol 1. Ordnung von f. Daher gilt für die
> Laurenkoeffizienten
> [mm]a_{n}=0 \forall n\le2[/mm]
> [mm]a_{-1}=Res_{i}f=-1[/mm]
>
> Dann ergibt sich, dass - [mm]\bruch{1}{z-i}[/mm] der Hauptteil der
> Laurentreihe ist.
> Jetzt müsste ich noch [mm]\bruch{2}{z}[/mm] - [mm]\bruch{1}{z+i}[/mm]
> entwickeln.
> Ich habe geschafft [mm]\bruch{1}{z+i}[/mm] in eine geometrische
> Reihe auf B zu entwickeln. Nur leider bleibt das
> [mm]\bruch{2}{z}[/mm] immer noch stehen.
> Hat jemand hier eine Idee, wie ich das anders angehen
> sollte?
Hier musst Du die Summanden in eine Reihe um i entwickeln:
[mm]\bruch{1}{z}=\summe_{k=-\infty}^{+\infty} {a_{k}*\left(z-i\right)^{k}}[/mm]
[mm]\bruch{1}{z+i}=\summe_{k=-\infty}^{+\infty} {b_{k}*\left(z-i\right)^{k}}[/mm]
[mm]\bruch{1}{z-i}=\summe_{k=-\infty}^{+\infty} {c_{k}*\left(z-i\right)^{k}}[/mm]
> Dann zur Menge C:
> Es gilt |z|>1 auf C, also [mm]|\bruch{1}{z}|<1.[/mm]
> Hier habe ich wieder das gleiche Problem. Ich habe 3
> Summanden. Wenn ich einen für den Hauptteil und den
> anderen für den Nebenteil hernehme, bleibt mir der Dritte
> übrig. Ich hab mir dann eine andere Darstellung für f
> gesucht, nämlich:
> [mm]f(z)=\bruch{i}{z}*(\bruch{1}{z+i}[/mm] - [mm]\bruch{1}{z-i})[/mm]
> Dann habe ich wieder in geometrische Reihen entwickelt:
>
> [mm]\bruch{1}{z+i}=...=\bruch{1}{z}*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{-i}{z})^k[/mm]
> und
>
> [mm]-\bruch{1}{z-i}=...=\bruch{-1}{z}*\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{i}{z})^k[/mm]
Hier gilt dasselbe wie zu B) geschrieben.
>
> Eine Reihe kann ich dann noch von 0 bis [mm]-\infty[/mm] laufen
> lassen. Beim Zusammensetzen hab ich dann aber das Problem,
> dass Eine der beiden Reihen bei -1 und nicht bei 0 beginnen
> lassen muss. Das gelingt mir aber noch nicht.
>
> So, ich hoffe dass ich mich jetzt nicht vertippt habe und
> ich freue mich auf Ratschläge!
>
> Liebe Grüße,
> Diary
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 Do 25.11.2010 | | Autor: | Diary |
Hallo MathePower,
danke für deine Antwort, Du hast mir schonmal ziemlich weitergeholfen!
Ich habe jetzt folgende Lösung für die Laurentreihe auf der Menge B:
Hauptteil: [mm] -\bruch{1}{z-i} [/mm] (dazu siehe auch mein erster post)
Die anderen beiden Summanden entwickeln ergibt (in Kurzform):
[mm] \bruch{2}{z}=...=\bruch{2}{i}* \summe_{k=0}^{\infty}(-\bruch{z-i}{i})^k [/mm] auf B
[mm] \bruch{1}{z+i}=...=\bruch{1}{2i} \summe_{k=0}^{\infty}(-\bruch{z-i}{2i})^k [/mm] auf B
Jetzt setze ich alles zusammen und erhalte:
[mm] f(z)=\summe_{k=-1}^{\infty}i^{k-1}*(2-(\bruch{1}{2})^{k+1})*(z-i)^k
[/mm]
Damit habe ich die Laurentreihe in B bestimmt.
Jetzt noch zur Laurentreihe in C:
Ich entwickle alle 3 Summanden:
[mm] \bruch{2}{z}=...=\summe_{k=-1}^{-\infty}2i*i^k*(z-i)^k
[/mm]
[mm] \bruch{1}{z+i}=...=\summe_{k=-1}^{-\infty}(\bruch{1}{2i})^{k+1}*(z-i)^k
[/mm]
Die beiden kann ich also zu meinem Hauptteil zusammensetzen.
Jetzt muss ich noch [mm] \bruch{1}{z-i} [/mm] in meinen Nebenteil entwickeln. Das bereitet mir Schwierigkeiten. Mit den vorherigen Mitteln (einfach umformen) komme ich nicht weiter. Ich habe mir schon überlegt
z-i=:x zu setzten und dann auszunutzen, dass [mm] \bruch{1}{x} [/mm] die Ableitung von [mm] (log(x-1+1)+2*\pi*n)' [/mm] ist und dafür hat man eine Reihenentwicklung. Die ist aber dann um z-i-1 und nicht um z-i. Das könnte ich ausgleichen, indem ich den Binomischen Lehrsatz anwende. Aber das sieht dann etwas zu kompliziert aus für die Aufgabe.
Ich habe auch versucht, [mm] \bruch{2}{z} [/mm] oder [mm] \bruch{1}{z+i} [/mm] in den Nebenteil zu entwickeln, aber leider bist jetzt ohne Erfolg. Über einen Denkanstoß hier würde ich mich freuen.
Liebe Grüße,
Diary
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Hallo Diary,
> Hallo MathePower,
>
> danke für deine Antwort, Du hast mir schonmal ziemlich
> weitergeholfen!
>
> Ich habe jetzt folgende Lösung für die Laurentreihe auf
> der Menge B:
>
> Hauptteil: [mm]-\bruch{1}{z-i}[/mm] (dazu siehe auch mein erster
> post)
> Die anderen beiden Summanden entwickeln ergibt (in
> Kurzform):
>
> [mm]\bruch{2}{z}=...=\bruch{2}{i}* \summe_{k=0}^{\infty}(-\bruch{z-i}{i})^k[/mm]
> auf B
>
> [mm]\bruch{1}{z+i}=...=\bruch{1}{2i} \summe_{k=0}^{\infty}(-\bruch{z-i}{2i})^k[/mm]
> auf B
>
> Jetzt setze ich alles zusammen und erhalte:
>
> [mm]f(z)=\summe_{k=-1}^{\infty}i^{k-1}*(2-(\bruch{1}{2})^{k+1})*(z-i)^k[/mm]
> Damit habe ich die Laurentreihe in B bestimmt.
>
> Jetzt noch zur Laurentreihe in C:
> Ich entwickle alle 3 Summanden:
>
> [mm]\bruch{2}{z}=...=\summe_{k=-1}^{-\infty}2i*i^k*(z-i)^k[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{z+i}=...=\summe_{k=-1}^{-\infty}(\bruch{1}{2i})^{k+1}*(z-i)^k[/mm]
Hier muss es doch lauten:
[mm]\bruch{1}{z+i}=...=\summe_{k=-1}^{-\infty}\red{\left(-1\right)^{k}}(\bruch{1}{2i})^{k+1}*(z-i)^k[/mm]
>
> Die beiden kann ich also zu meinem Hauptteil
> zusammensetzen.
>
> Jetzt muss ich noch [mm]\bruch{1}{z-i}[/mm] in meinen Nebenteil
> entwickeln. Das bereitet mir Schwierigkeiten. Mit den
> vorherigen Mitteln (einfach umformen) komme ich nicht
> weiter. Ich habe mir schon überlegt
> z-i=:x zu setzten und dann auszunutzen, dass [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> die Ableitung von [mm](log(x-1+1)+2*\pi*n)'[/mm] ist und dafür hat
> man eine Reihenentwicklung. Die ist aber dann um z-i-1 und
> nicht um z-i. Das könnte ich ausgleichen, indem ich den
> Binomischen Lehrsatz anwende. Aber das sieht dann etwas zu
> kompliziert aus für die Aufgabe.
Ich würde das so machen:
[mm]\bruch{1}{z-i}=\bruch{1}{3*\left(\bruch{z-i}{3}\right)}=\bruch{1}{3}*\left(\bruch{z-i}{3}\right)^{-1}[/mm]
>
> Ich habe auch versucht, [mm]\bruch{2}{z}[/mm] oder [mm]\bruch{1}{z+i}[/mm] in
> den Nebenteil zu entwickeln, aber leider bist jetzt ohne
> Erfolg. Über einen Denkanstoß hier würde ich mich
> freuen.
>
> Liebe Grüße,
> Diary
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:37 Do 25.11.2010 | | Autor: | Diary |
Hallo MathePower,
Das [mm] (-1)^k [/mm] hatte ich wirklich verschlampt in meiner Reihenentwicklung. Find ich klasse, dass Du das durchrechnest 
Zu dem Tipp hier habe ich noch eine Frage:
[mm] \bruch{1}{z-i}=\bruch{1}{3\cdot{}\left(\bruch{z-i}{3}\right)}=\bruch{1}{3}\cdot{}\left(\bruch{z-i}{3}\right)^{-1} [/mm]
Mir ist klar, dass auf C gilt: [mm] |\bruch{z-i}{3}|<1. [/mm] Das hilft mir für eine Entwicklung in eine geom. Reihe. Nur bekomme ich wie gesagt, aus [mm] \bruch{1}{z-i} [/mm] keinen Nebenteil raus (also die Summe von [mm] k=0...\infty). [/mm] Was mir hier dein Tipp helfen soll, weiß ich nicht. Vielleicht könntest Du mir hier noch etwas mehr verraten? Und war mein Ansatz mit dem Logarithmus falsch oder nur "zu kompliziert"?
Liebe Grüße,
Diary
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Hallo Diary,
> Hallo MathePower,
>
> Das [mm](-1)^k[/mm] hatte ich wirklich verschlampt in meiner
> Reihenentwicklung. Find ich klasse, dass Du das
> durchrechnest
>
> Zu dem Tipp hier habe ich noch eine Frage:
>
> [mm]\bruch{1}{z-i}=\bruch{1}{3\cdot{}\left(\bruch{z-i}{3}\right)}=\bruch{1}{3}\cdot{}\left(\bruch{z-i}{3}\right)^{-1}[/mm]
>
> Mir ist klar, dass auf C gilt: [mm]|\bruch{z-i}{3}|<1.[/mm] Das
> hilft mir für eine Entwicklung in eine geom. Reihe. Nur
> bekomme ich wie gesagt, aus [mm]\bruch{1}{z-i}[/mm] keinen Nebenteil
> raus (also die Summe von [mm]k=0...\infty).[/mm] Was mir hier dein
> Tipp helfen soll, weiß ich nicht. Vielleicht könntest Du
Hier bekommst Du auch keinen Nebenteil heraus.
Schreibe das mal wie folgt:
[mm]\bruch{1}{z-i}=\summe_{k=-\infty}^{+\infty}a_{k}*\left(\bruch{z-i}{3}\right)^{k}[/mm]
Hieraus erkennst Du, daß alle [mm]a_{k}=0, \ k \not= -1[/mm] ist.
Demnach kann es keinen Nebenteil geben.
> mir hier noch etwas mehr verraten? Und war mein Ansatz mit
> dem Logarithmus falsch oder nur "zu kompliziert"?
Ich denke der Ansatz war nur "zu kompliziert".
>
> Liebe Grüße,
> Diary
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Do 25.11.2010 | | Autor: | Diary |
Hallo MathePower,
jetzt habe ich verstanden, was du gemeint hast. Ich habe zwar keinen Nebenteil, kann aber formal alle Koeffizienten im Nebenteil =0 setzten. Gab es einen bestimmten Grund, warum du bei deinem Tipp 3 im Nenner ausgeklammert hast? Wolltest Du es mir nur deutlicher machen?
Mit diesem Trick hätte ich auch auf der Menge A alternativ argumentieren können:
[mm] \bruch{2}{z}=\summe_{k=0}^{-\infty}a_{k}z^k, [/mm] wobei [mm] a_{k}=2 [/mm] für k=-1 und 0 sonst.
In solchen Fällen bekommt man also die Reihenentwicklung vom Summand, welcher im Nenner die Singularität hat um welche man entwickelt, immer "geschenkt". Entweder nehme ich dazu meine Methode oder Deine, wobei Deine auch auf (echte) Kreisringe wie die Menge C anwendbar ist.
(Mit "in solchen Fällen" meine ich: Fälle, in denen man eine konkrete Partialbruchzerlegung hat und die Singularitäten gerade die NST der Nenner der Summanden sind)
Wenn das jetzt alles stimmt, dann bin ich zufrieden und sage nochmal Danke Schön für die gute Unterstützung!
Liebe Grüße,
Diary
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Hallo Diary,
> Hallo MathePower,
>
> jetzt habe ich verstanden, was du gemeint hast. Ich habe
> zwar keinen Nebenteil, kann aber formal alle Koeffizienten
> im Nebenteil =0 setzten. Gab es einen bestimmten Grund,
> warum du bei deinem Tipp 3 im Nenner ausgeklammert hast?
> Wolltest Du es mir nur deutlicher machen?
>
Im Hinterkopf hatte ich eine geometrische für
[mm]\bruch{1}{z-i}[/mm]
Und daß diese für [mm]\vmat{z-i} < 1[/mm] konvergiert.
Daher auch der Tipp mit der 3 im Nenner ausklammern.
>
> Mit diesem Trick hätte ich auch auf der Menge A alternativ
> argumentieren können:
> [mm]\bruch{2}{z}=\summe_{k=0}^{-\infty}a_{k}z^k,[/mm] wobei [mm]a_{k}=2[/mm]
> für k=-1 und 0 sonst.
>
> In solchen Fällen bekommt man also die Reihenentwicklung
> vom Summand, welcher im Nenner die Singularität hat um
> welche man entwickelt, immer "geschenkt". Entweder nehme
> ich dazu meine Methode oder Deine, wobei Deine auch auf
> (echte) Kreisringe wie die Menge C anwendbar ist.
> (Mit "in solchen Fällen" meine ich: Fälle, in denen man
> eine konkrete Partialbruchzerlegung hat und die
> Singularitäten gerade die NST der Nenner der Summanden
> sind)
>
> Wenn das jetzt alles stimmt, dann bin ich zufrieden und
> sage nochmal Danke Schön für die gute Unterstützung!
Ich habe gerade ![[]](/images/popup.gif) hier gesehen,
falls der Entwicklungspunkt eine Nullstelle des Nenner ist, folgendermaßen vorgeht:
[mm]f\left(z\right)=\bruch{1}{z^{3}+z}=\bruch{1}{z-i}*\left(\bruch{A}{z}+\bruch{B}{z+i}\right)[/mm]
Das heißt, nur der Klammerausdruck ist in eine Reihe zu entwickeln.
Im Fall C ist aber nur gewährleistet, daß die so
erhaltene Laurentreihe für [mm]\vmat{z-i} > 2 [/mm] konvergiert.
>
> Liebe Grüße,
> Diary
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Sa 27.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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