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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:55 Fr 15.06.2012 | | Autor: | DerBaum |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Sei $(X,\mathcal{A},\mu)$ ein Maßraum. Seien $f_1,f_2\in\mathcal{L}^1(\mu),\alpha_1,\alpha_2\in\mathbb{R}$
Beweisen Sie:
a) $\alpha_1f_1+\alpha_2f_2\in\mathcal{L}^1(\mu)$
b)$\int{(\alpha_1f_1+\alpha_2f_2)}d\mu}=\alpha_1\int{f_1d\mu}+\alpha_2\int{f_2d\mu$ |
Guten Tag,
ich sitze gerade an der Aufgabe.
Bei der Teilaufgabe b) habe ich mir schon einige Gedanken gemacht, jedoch habe ich bei der a) Probleme und weiß nicht, wie ich das angehen soll.
Die b) habe ich folgendermaßen gelöst:
Zunächst zeigen wir: $\int{\alpha f\mu}=\alpha\int{f d\mu}$ für alle $f\in\mathcal{L}^1,\alpha\in\mathbb{R}$
Für $\alpha=0$:
$0*\int{f d\mu}=0=\int{0*f d\mu}$
Somit trivial.
Sei nun $\alpha >0$ und $f\ge 0$ eine beliebige Treppenfunktion mit $0\leq \varphi \leq f$, so gilt $0\leq \alpha\varphi\leq\alpha f$ und es folgt aus der Definition des Integrals:
$$\alpha\int{\varphi d\mu}=\int{(\alpha\varphi)d\mu}\leq\int{(\alpha f) d\mu} \Rightarrow \alpha \int{f d\mu}\leq \int{(\alpha f) d\mu}$$
Anwendung auf [mm]\frac{1}{\alpha}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
und $\alpha f$ (anstatt auf $\alpha$ und $f$) ergibt die gewünschte Gleichheit.
Für $\alpha >0$ und $f\in\mathcal{L}^1$ gilt $(\alpha f)^+=\alpha$ und $(\alpha f)^-=\alpha f^-$
Es folgt:
$$\int{(\alpha f) d\mu}=\int{(\alpha f)^+ d\mu}-\int{(\alpha f)^- d\mu$$
$$=\alpha \int{f^+d\mu}-\alpha\int{f^-d\mu}=\alpha\int{f d\mu}$$
Es folgt aus $(-f)^+=f^-$ und $(-f)^-=f^+$ die Gleichung
$$\int{(-f)d\mu}=\int{f^-d\mu}-\int{f^+ d\mu}=-\left(\int{f^+d\mu}-\int{f^-d\mu\right)=-\int{f d\mu}$$
Damit ist $\int{\alpha f d\mu}=\alpha\int{f d\mu}$ gezeigt.
Für $f_1,f_2\in\mathcal{L}^1$ schreiben wie $f_1=f_1^+-f_1^-$ und $f_2=f_2^+-f_2^-$
Es gilt:
$$h=h^+-h^-=f_1^+-f_1^-+f_2^+-f_2^-$$
$$\int{h^+d\mu}+\int{f_1^-d\mu}+\int{f_2^- d\mu}=\int{h^-d\mu}+\int{f_1^+d\mu}+\int{f_2^+ d\mu}$$
Die Behauptung folgt nun, wenn wir beachten, dass $\int{h^+d\mu}$ und $\int{h^-d\mu}$ endlich sind, da
$$0\leq h^+ = (f_1+f_2)^+\leq f_1^+ + f_2^+$$
und
$$0\leq h^- = (f_1+f_2)^-\leq f_1^- + f_2^-$$
und die Rechten Seiten integrierbar sind.
Kann man das so stehen lassen?
Und hat jemand vielleicht einen Tipp zur a)?
Vielen Dank
DerBaum
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Di 19.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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